资源简介

3.1椭圆
【教材课后习题P115】
1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．
2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标分别为，，；
（2），．
3．求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形：
（1）； （2）．
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点；
（3）焦距是8，离心率等于0.8．
5．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．
6．如图，圆的半径为定长，A是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
7．彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．
8．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
9．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
10．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线
11．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．
12．已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
13．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
14．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．
（1）这组直线何时与椭圆有两个公共点？
（2）当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．
【教材习题答案】
1．答案：椭圆，理由见解析，
解析：点M的轨迹是椭圆，由满足可知，动点到定点的距离之和为10，且，所以动点的轨迹为椭圆.由可得，，焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：
2．答案：（1）；（2）或
解析：（1）由焦点坐标分别为，，则椭圆焦点在轴上. 所以，设椭圆方程为:，所以，所以椭圆方程为:
（2）由，，解得，，所以椭圆方程为:或
3．解析：（1）由题设，椭圆的标准方程为，∴且长轴在x轴上，长轴长，短轴长，∴，焦点坐标为，顶点坐标为、，
（2）由题设，椭圆的标准方程为，∴且长轴在y轴上，长轴长，短轴长，∴，焦点坐标为，顶点坐标为、，
4．答案：（1）1；（2）或；（3）或
解析：（1）根据题意，椭圆经过点，，且，则椭圆的焦点在x轴上，且，b，则椭圆的方程为：1；
（2）根据题意，要求椭圆长轴长是短轴长的3倍，即，若椭圆经过点，分2种情况讨论：
①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：，
②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：，
（3）根据题意，即，又，所以，因为，所以，若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：．若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：．
5．答案：，，，.
解析：由椭圆方程可得，设是椭圆上一点，则，代入椭圆，则，所以点P的坐标为，，，.
6．答案：椭圆，理由见解析
解析：连接、，如下图所示：
因为线段的垂直平分线和半径相交于点，由中垂线的性质可得，因为点A在半径为的圆内，则，因为，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、A为焦点，且长轴长为的椭圆.
7．答案：（1）
解析：以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为轴建立平面直角坐标系.设该椭圆的方程为，，由条件可得，解得，所以，，所以
8．答案：；椭圆．
解析：设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆．
9．答案：点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点
解析：设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点.
10．答案：；椭圆.
解析：设动圆圆心为，半径为，设圆和圆的圆心分别为、，将圆的方程分别配方得：圆，圆，当动圆与圆相外切时，有 …① ，当动圆与圆相内切时，有…②
将①②两式相加，得，∴动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴，∴，∴，∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
11．答案：证明见解析.
解析：由题得，，所以，所以直线的方程为，（1），由题得，所以，所以直线的方程为，（2），联立方程（1）（2）解之得所以直线的交点为，代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上．
12．答案：1.5288×108km，1.4712×108km
解析：∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，∴半焦距约为2.88×106km，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km．
13．答案：（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最小，最小值为.
解析：设椭圆上点，则点到直线距离，其中，（1）当时，，此时，即，所以，，所以存在点到直线距离最小，最小值为；
（2）当时，，此时，即，所以，，所以存在点到直线距离最大，最大值为；
14．答案：（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析
解析：（1）设一组平行直线的方程为，代入椭圆方程，可得
，即为，由判别式大于0，可得，解得，则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交；
（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得，即有，代入直线方程可得截得弦的中点为，，由，消去，可得．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
【定点变式训练】
1.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的离心率为，则( )
A.2 B. C.4或 D.或2
3.（多选）已知椭圆的焦距为4，则( )
A.椭圆C的焦点在x轴上 B.
C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C的短轴长为
4.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，.若，则椭圆的标准方程为__________.
5.如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.
（1）求椭圆C的方程.
（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究：点M，，N是否一定共线？说明理由.
6.已知椭圆的左焦点为，上顶点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点G在圆上，求m的值.
【变式训练答案】
1.答案：D
解析：设，，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，，.
由椭圆的定义可知的周长为，
，，，
，，
，.
2.答案：C
解析：根据椭圆方程可知，
当时，可得，
所以离心率，
解得；
当时，可得，
所以离心率，
解得，所以；
所以或4.
故选：C
3.答案：BCD
解析：因为，所以，所以椭圆C的焦点在y轴上，故A错误.因为椭圆C的焦距为4，所以，所以，所以，故B正确.因为，，所以离心率，故C正确.因为，所以短轴长，故D正确.选BCD.
4.答案：
解析：，，.又，
.由椭圆定义可知，，，，椭圆的标准方程为.
5.答案：（1）
（2）点M，，N不一定共线；理由见解析
解析：（1）由，得.
设.将代入椭圆C的方程，得，
所以，所以.
因为，，所以，
所以，即，解得.
又，，所以.
所以椭圆C的方程为.
（2）当轴时，设，，
则.
由已知条件和方程，可得，整理，得，
解得或.
因为，所以当时，点M，，N共线；当时，点M，，N不共线.
所以点M，，N不一定共线.
6.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得，，由得，
故椭圆C的方程为.
(2)设点M，N的坐标分别为，，
线段MN的中点G的坐标为，
由消去y，得，则
，所以，
因为，
所以，，
又因为点在圆上，
所以，
解得，满足，
所以m的值为.

展开更多......

收起↑