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3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质
1.D　[解析] 由双曲线C的方程-=1,得b2=9,所以b=3,所以双曲线C的虚轴长为2b=6.故选D.
2.B　[解析] 双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,则a==2,所以c==2,所以其离心率为=.故选B.
3.C　[解析] 因为实轴长为2a=4,所以a=2.若该双曲线的焦点在x轴上,则=,得b=2,则该双曲线的方程为-=1;若该双曲线的焦点在y轴上,则=,得b=,则该双曲线的方程为-=1.故选C.
4.D　[解析] 由题知2b=×2a,即=,则双曲线的离心率e===2.故选D.
5.C　[解析] 对于A,越大,双曲线开口越大,故A错误;对于B,越小,双曲线开口越小,故B错误;对于C,由e==知,e越大,则越大,双曲线开口越大,故C正确;对于D,e越小,则越小,双曲线开口越小,故D错误.故选C.
6.C　[解析] 由题可得双曲线的渐近线方程为y=±x,所以点(4,2)在直线y=x上,可得=2,所以双曲线的离心率e==.故选C.
7.-=1　[解析] 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线C的方程为4y2-x2=λ(λ≠0),因为点A(2,2)在双曲线C上,所以4×4-8=λ,即λ=8,所以C的标准方程是-=1.
8.2　[解析] 由双曲线的渐近线方程知=,∴b=a,c==2a,则顶点到渐近线的距离d1== ,焦点到渐近线的距离d2==,则+=,所以a=1,c=2,b=,故该双曲线的虚轴长为2.
9.解:(1)因为双曲线的实轴长为4,所以2a=4,所以a=2,
又双曲线过点P(2,2),所以-=1,解得b2=4,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)双曲线-=1的渐近线方程为x±y=0,
因为A(-2,0),所以|HA|==,
又OH⊥HA,|OA|=2,
所以|OH|==3,
所以S△OHA=×|AH|×|OH|=××3=.
10.C　[解析] 根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,所以设双曲线上的点A(3,y1),B(4,y2),且y1-y2=8.由
两式相减得==,又双曲线的离心率为3,所以==e2-1=8,所以b2=8a2,代入可得=,得y2+y1=-7,所以y1=,将代入双曲线方程可得-=1,得a=,所以2a=,即冷却塔的最小直径为 cm,故选C.
11.C　[解析] 由F2(c,0),A(0,c),可得线段F2A的中点的坐标为,因为线段F2A的中点在C的渐近线上,所以=,即b=a,所以c==2a.由双曲线的定义可得,当点P在C的右支上运动时,|PF1|-|PF2|=2a,即|PF1|=|PF2|+2a,所以|PF1|+|PA|=|PF2|+|PA|+2a≥|AF2|+2a,当且仅当A,P,F2三点共线且P在A,F2之间时取等号,所以|AF2|+2a=+2a=2c+2a=6,即a+c=3,又c=2a,所以a=1,c=2,所以双曲线的焦距为2c=4.故选C.
12.D　[解析] 如图,设线段PF1的中点为M,则OM⊥PF1(O为坐标原点),又O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以OM∥PF2,|OM|=|PF2|=1,所以PF1⊥PF2.由双曲线C的一条渐近线为y=2x,得=2,所以|MF1|=2,所以|PF1|=2|MF1|=4,所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=×4×2=4.故选D.
13.ACD　[解析] 对于A,由对称性知,四边形MA1NA2是平行四边形,∴∠NA1M+∠A1MA2=π,∴∠A1MA2=,故A正确.对于B,如图,不妨设直线MN的方程为y=x,点M在第一象限,由题知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,由解得或则M(a,b),N(-a,-b).∵A2(a,0),∴MA2⊥x轴,在△MA1A2中,∠MA2A1=,∠A1MA2=,∴∠MA1A2=,∴sin∠MA1A2=sin,即=,故|MA1|=|MA2|,故B错误.对于C,由B知△MA1A2为直角三角形,且∠MA1A2=,则tan∠MA1A2==,即=,∴b=2a,设双曲线C的离心率为e,则e2====13,∴e=,故C正确.对于D,=2=2××2a×b=2ab,∵a=,∴b=2a=2,∴2ab=8,即四边形NA1MA2的面积为8,故D正确.故选ACD.
14.　[解析] 设双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,连接PF1,因为O,M分别为F1F,PF的中点,所以|PF1|=2|OM|=c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c-a,所以c≥c-a>0,解得1<≤,故该双曲线的离心率e的取值范围是.
15.解:(1)因为A(0,b),△AF1F2的面积为a2,
所以×2c×b=a2,即(a2+b2)b2=2a4,所以+=2,解得=1或=-2(舍去),
所以=1,所以双曲线C的渐近线方程是x±y=0.
(2)因为以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,
所以|F1O|=|OP|=c,所以|F1P|=|OP|=c,
在△POF1中,由余弦定理可得cos∠POF1===-,所以∠POF1=,则∠POF2=,所以=,
即b=a,所以3a2=b2=c2-a2,所以c2=4a2,所以e==2,所以双曲线C的离心率为2.
16.B　[解析] 如图,不妨设点P在第二象限,由题可知|OF2|=|OP|=|PF1|=c.设M为线段PF2的中点,则PF2⊥OM,易知|MF2|==b,所以|OM|==a,又O,M分别为F1F2,PF2的中点,所以|PF1|=2|OM|=2a,所以c=2a,所以双曲线C的离心率e==2.故选B.
17.　[解析] 由题意可知F1(-5,0),F2(5,0),A,又=×10×|yA|=,所以=.由得所以双曲线的方程为-=1.设P(x0,y0),则-=1(x0≥4),则|PF1|==x0+4,同理|PF2|=x0-4,又因为x0≥4,所以-==∈.3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质
1.双曲线C:-=1的虚轴长为 (　 )
A. B.2 C.3 D.6
2.双曲线2x2-y2=8的离心率为 (　 )
A. B. C.2 D.3
3.已知某双曲线的一条渐近线的方程为y=x,实轴长为4,则该双曲线的方程为(　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1或-=1 D.-=1或-=1
4.[2025·全国一卷] 双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为 (　 )
A. B.2
C. D.2
5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为e,则下列说法中正确的为 (　 )
A.越大,双曲线开口越小 B.越小,双曲线开口越大
C.e越大,双曲线开口越大 D.e越小,双曲线开口越大
6.[2025·浙江宁波北仑中学高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(4,2),则此双曲线的离心率为 (　 )
A. B.2 C. D.
7.已知点A(2,2)在双曲线C上,双曲线C的渐近线方程为y=±x,则C的标准方程是　　　　.
8.直线x+y=0是双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为,则该双曲线的虚轴长为　　　　.
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,且双曲线过点P(2,2).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过双曲线的左顶点A作直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为H,O为坐标原点,求△OHA的面积.
10.如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 (　 )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
11.[2025·湖北武汉六中高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A的坐标为(0,c),且线段F2A的中点在C的渐近线上,当点P在C的右支上运动时,|PF1|+|PA|的最小值为6,则此双曲线的焦距为 (　 )
A.8 B.6
C.4 D.2
12.[2025·河南南阳高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线C上的一点,P与F1恰好关于C的一条渐近线y=2x对称,且|PF2|=2,则△PF1F2的面积为(　 )
A.2 B.2 C.2 D.4
13.(多选题)[2025·全国二卷] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则 (　 )
A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线的左支上存在一点P,使得FP的中点M满足|OM|=c,则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　.
15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.
16.[2025·江苏宿迁高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F2关于它的一条渐近线的对称点为P,若以P为圆心,|PF1|为半径的圆过原点O,则双曲线C的离心率为(　 )
A. B.2 C. D .+1
17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则-的取值范围是　　　　.

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