资源简介

第2课时　直线与双曲线的位置关系及其应用
1.B　[解析] 因为双曲线的方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线也满足题意,所以符合条件的l共有3条.故选B.
2.A　[解析] c==,将x=代入-=1,可得y2=,则过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的弦长为2=.
3.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为M(3,2),所以x1+x2=6,y1+y2=4.由得(x1+x2)(x1-x2)-=0,整理得·=4,则=4×=4×=6,所以kAB=6.故选B.
4.C　[解析] 由解得或则直线l与双曲线C的右支有两个公共点.故选C.
5.D　[解析] 因为双曲线的方程为x2-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,又过双曲线x2-y2=1的右焦点F2作直线l与双曲线两支都相交,所以直线l的斜率的取值范围为(-1,1),所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选D.
6.C　[解析] 由题意可设双曲线C的方程为y2-x2=m,m>0,由得3x2=m,则x=±,m>0,不妨令xA=,则yA=-2,由|AB|=2可知|OA|=(O为坐标原点),即=,解得m=9,故双曲线C的方程为y2-x2=9.故选C.
7.±2或±　[解析] 易知双曲线4x2-y2=16,即-=1的渐近线方程为y=±2x,直线y=kx+1过定点(0,1).当直线与渐近线平行时,满足题意,此时k=±2;当直线与渐近线不平行时,由得(4-k2)x2-2kx-17=0,所以Δ=(2k)2+4×17(4-k2)=0,解得k=±.综上可得,实数k的值为±2或±.
8.2　[解析] 由消去y并整理得2x2-24x+57=0,Δ=242-4×2×57=120>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=,所以|AB|=×=×=2.
9.解:(1)因为点M(2,)在C上,所以-=1①.
因为F为C的右焦点,且MF⊥x轴,所以c=2,
所以c2=a2+b2=4②.
由①②可得a2=2,b2=2,
所以C的方程为-=1.
(2)设直线l的方程为x=my+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为斜率大于0的直线l与C的右支交于P,Q两点,
所以>1,所以0由消去x整理得(m2-1)y2+4my+2=0,
所以Δ=(4m)2-8(m2-1)=8(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=,
所以|PQ|===4,可得m=,
所以直线l的方程为x=y+2,
即x-y-2=0.
10.B　[解析] 由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0,由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,得解得-11.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(-)-(-)=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,因为弦AB被点(2,1)平分,所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以kAB==2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故选D.
12.B　[解析] 设P(x0,y0),则-=1,即=6+,又直线l过原点,且双曲线关于坐标原点对称,所以B(-3,-),所以=(3-x0,-y0),(-3-x0,--y0),所以·=-9+-6=-9,又y0∈R,所以·=-9的最小值为-9.故选B.
13.AC　[解析] 设P(x,y),由-=1,得x2-2y2=8.由题知a=2,b=2.对于A,C的渐近线方程为y=±x=±x,A正确;对于B,由双曲线的渐近线方程为y=±x可知,若直线y=kx与双曲线C有交点,则|k|<,B错误;对于C,点P到C的两条渐近线的距离之积为×==,C正确;对于D,易得A(-2,0),B(2,0),所以直线PA,PB的斜率之积为×===,D错误.故选AC.
14.　[解析] 双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),渐近线方程为y=±x,因为直线PF2与双曲线的一条渐近线平行,所以直线PF2的方程为y=±(x-2),与双曲线方程联立,消去x得-=1,解得y=±,所以△PF1F2的面积为×4×=.
15.解:(1)由题可得解得
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t(t≠0),
由得(2-k2)x2-2ktx-t2-4=0,
由题意知2-k2≠0,Δ=(-2kt)2-4(2-k2)(-t2-4)=8(t2-2k2+4)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为(x0,y0),
则所以x0==,y0=kx0+t=.
因为AB的中点在直线y=2x上,
所以y0=2x0,即=,
因为t≠0,所以k=1,
所以直线l的方程为x-y+t=0.
因为|AB|==
=4,
点M到直线l的距离d==,
所以S△MAB=|AB|·d=×4×=·=,解得t=±1,
所以直线l的方程为x-y+1=0或x-y-1=0.
16.ACD　[解析] 对于A,因为直线y=-2(x-c)与双曲线C的右支相交于A,B两点(其中点A在第一象限),所以kAB=tan∠AF2x=-2,因为∠AF2x=∠F1F2B,所以cos∠F1F2B=cos∠AF2x=-=-,故A正确;对于B,因为|AF1|=|AB|,|AF1|-|AF2|=2a,所以|BF2|=2a=2,所以|BF1|=|BF2|+2a=4,易知|F1F2|=2c=2,在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2B==-,可得b=2,故B错误;对于C,设|AF2|=x,则|AF1|=x+2,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF2F1=cos(π-∠AF2x)=-cos∠AF2x==,可得x=,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=+2=,故C正确;对于D,因为cos∠AF2F1=,所以sin∠AF2F1=,又|F1F2|=6,所以=·|F1F2|·|AF2|·sin∠AF2F1=×6××=3,=·|F1F2|·|BF2|·sin(π-∠AF2F1)=·|F1F2|·|BF2|·sin∠AF2F1=×6×2×=12,所以=+=3+12=15,故D正确.故选ACD.
17.　[解析] 设双曲线C的半焦距为c,故F1(-c,0),F2(c,0).由·=0,得⊥,即直线x=c与双曲线C交于点P,不妨设点P在第一象限.由得点P,由=,=4,得Q,代入y=x得=,即3b=2c.不妨设b=2k(k>0),c=3k,则a=k,故|PF2|==k,则|PF1|=|PF2|+2a=k,故=.第2课时　直线与双曲线的位置关系及其应用
1.已知双曲线的方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则符合条件的l共有 (　 )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
2.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的弦长为 (　 )
A. B. C. D.
3.已知直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为 (　 )
A.3 B.6 C.8 D.12
4.已知直线l:y=2x-8,双曲线C:-y2=1,则 (　 )
A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点
D.直线l与双曲线C的左、右两支各有一个公共点
5.[2025·浙江杭州二中高二期中] 过双曲线x2-y2=1的右焦点F2作直线l与双曲线的两支都相交,则直线l的倾斜角的取值范围为 (　 )
A. B.∪
C. D.∪
6.已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,且与直线2x+y=0交于A,B两点,若|AB|=2,则双曲线C的方程为(　 )
A.y2-x2=25 B.y2-x2=16
C.y2-x2=9 D.y2-x2=6
7.[2025·上海进才中学高二期中] 若直线y=kx+1与双曲线4x2-y2=16只有一个交点,则实数k的值为　　　　　　.
8.若直线y=x-4与双曲线-=1相交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点M(2,)在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,若|PQ|=4,求直线l的方程.
10.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是(　 )
A.k<-或k> B.-C.k<-或k> D.-11.若双曲线x2-y2=1的弦AB被点(2,1)平分,则直线AB的方程为 (　 )
A.3x-4y-2=0 B.x+2y-4=0
C.3x+2y-8=0 D.2x-y-3=0
12.[2025·重庆南开中学高二期中] 已知P为双曲线-=1上的一个动点,过原点的直线l交双曲线于A,B两点,其中A(3,),则·的最小值为 (　 )
A.-6 B.-9 C.-12 D.-15
13.(多选题)已知双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A,B,P是C上任意一点,则下列说法正确的是 (　 )
A.C的渐近线方程为y=±x
B.若直线y=kx与双曲线C有交点,则|k|≥
C.点P到C的两条渐近线的距离之积为
D.当点P与A,B两点不重合时,直线PA,PB的斜率之积为2
14.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P在第一象限,且直线PF2与双曲线的一条渐近线平行,则△PF1F2的面积为　　　　.
15.已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,点(2,2)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线l的斜率存在且不经过原点,直线l与双曲线C交于A,B两点,AB的中点在直线y=2x上,若M(1,1),△MAB的面积为,求直线l的方程.
16.(多选题)已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线y=-2(x-c)与双曲线C的右支相交于A,B两点(其中点A在第一象限),若|AF1|=|AB|,则下列说法正确的是 (　 )
A.cos∠F1F2B=- B.b=3
C.|AB|= D.△ABF1的面积为15
17.[2025·苏州六校高二联考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,且满足·=0,倾斜角为锐角的渐近线与线段PF1交于点Q,且=4,则的值为　　　　.

展开更多......

收起↑