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3.2双曲线
【教材课后习题P127】
1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 .
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
3．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程：
（1）；
（2）．
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8.
（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8.
（3）离心率，经过点.
5．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
6．求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．
7．m，n为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.
9．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
10．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
11．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
12．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
13．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
14．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
【教材习题答案】
1．答案：17.
解析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为16，即可求出点到另一个焦点的距离为17.
2．答案：（1）；（2）.
解析：（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点A的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，将点A、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.
3．答案：（1）焦点，离心率，渐近线；（2）焦点，离心率，渐近线.
解析：（1）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率；
（2）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率；
4．答案：（1）；（2）；（3）.
解析：（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，则有，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：；
（2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，则，所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：；
（3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，所以，所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，又因为双曲线经过点，则有，则，
所以双曲线的标准方程为：.
5．答案：点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析.
解析：连接QA，如图所示：
因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线.
6．答案：.
解析：设所求的等轴双曲线的方程为：，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程：
7．答案：（1）；（2），，且；（3）
解析：（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；
（2）若方程表示椭圆，则，，且，所以当，，且时，方程为椭圆；
（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线.
8．答案：
解析：依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，∴，解之得，，故双曲线的方程为.
9．答案：炮弹爆炸点在双曲线上，方程为.
解析：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则，设爆炸点为，则，根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且，所以，所以，所以点M的轨迹方程为：.
10．答案：动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线.
解析：设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即，左右同时平方，化简可得，所以，令，所以，即，所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线.
11．答案：.
解析：设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，，即
所以动点M的轨迹方程：.
12．答案：，
解析：设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以，
13．答案：不能，证明见解析.
解析：当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，
因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得，所以，若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，所以，则直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，将直线l与双曲线联立，可得，，故方程无解，所以不存在这样的直线l，综上，点P不能是线段AB的中点.
14．解析：联立方程可得，因为有唯一公共点且，则，整理得，可解得点坐标为，即，其中，于是，过点M且与l垂直的直线为，可得，即，则，即，其中，所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.
【定点变式训练】
1.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
2.在中，，，点C在双曲线上，则( )
A. B. C. D.
3.（多选）过点且的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知，分别为双曲线(，)的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若，则双曲线的离心率________.
5.过双曲线的右支上一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________.
6.已知曲线C上任意一点M满足，且，.
（1）求C的方程.
（2）设，，若过的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：点R在定直线上.
【变式训练答案】
1.答案：D
解析：设，，，，则AB的中点坐标为，设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k，则，，
A，B在双曲线上，
两式作差整理得.
对于A，可得，则，，与联立消去y，得，，错误；
对于B，可得，则，，
与联立消去y，得，，错误；
对于C，可得，则，，与双曲线的渐近线重合，故与双曲线无交点，错误，故排除A、B、C，故选D.
2.答案：D
解析：在中，，，，.由双曲线的方程易知该双曲线的左、右焦点坐标分别为，，，B分别为左、右焦点.，.故选D.
3.答案：AC
解析：因为，所以可设双曲线的方程为或.将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，所以双曲线的方程为或.故选AC.
4.答案：
解析：不妨设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得，
结合，可得，，易知，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，化简得，
所以双曲线的离心率.
5.答案：13
解析：由已知得，所以双曲线的焦点坐标为，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
PM，PN分别为两圆的切线，
，，
，
P为双曲线右支上的点，且双曲线的焦点为，，
，
又(当P为双曲线的右顶点时取等号)，，
即的最小值为13.
6.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由于，符合双曲线中一支的定义，
于是，，即，，故.
又因为，且焦点在x轴上，
所以曲线C的方程为.
（2）证明：若过的直线与C交于P，Q两点，
则该直线的斜率不会是0，否则和该曲线只有一个交点.
当该直线的方程为时，不妨设，，
则直线AP的方程为，直线BQ的方程为，
两方程联立得则.
设该直线的方程为，和曲线C的方程联立可得，
则.
，，.
设，，则直线AP的方程为，
直线BQ的方程为，
联立直线AP，BQ的方程消去y可得，
整理可得，
则.
因为点P，Q在直线上，
所以
，
故，即，故交点R在定直线上.

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