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3.3.1　抛物线及其标准方程
1.抛物线x2=-2y的焦点坐标是 (　 )
A. B.
C.(1,0) D.(-1,0)
2.已知抛物线C:y=x2的焦点为F,则点F到原点的距离为 (　 )
A.1 B. C. D.
3.抛物线y=2x2的准线方程是 (　 )
A.x= B.x=-
C.y= D.y=-
4.[2025·安徽滁州高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2,则点P的轨迹方程为 (　 )
A.y2=6x B.y2=12x
C.y2=-6x D.y2=-12x
5.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= (　 )
A.10 B.12 C.14 D.16
6.(多选题)已知抛物线的焦点为直线x-2y-4=0与坐标轴的交点,则此抛物线的标准方程可以是 (　 )
A.y2=16x B.x2=-8y
C.x2=8y D.y2=-16x
7.若点(1,2)到抛物线C(顶点为原点,对称轴为坐标轴)的准线的距离为3,请写出一个满足条件的C的标准方程:　　　　.
8.[2025·江苏常州高二期中] 以双曲线-=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　.
9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)准线方程为x=5;
(2)焦点坐标为(0,3);
(3)抛物线的焦点到准线的距离是4;
(4)抛物线过点P(-2,-1).
10.已知点P是抛物线y2=-4x上的动点,设点P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+y-4=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 (　 )
A.2 B. C. D.
11.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点A在抛物线C上,且点A位于第一象限,以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于B,D两点,且A,F,B三点共线,则|AF|=(　 )
A.16 B.12 C.10 D.8
12.已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P是抛物线C上任意一点,|PF|的最小值为,且A,B是抛物线C上两点,|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为(　 )
A.3 B.2 C. D.
13.(多选题)[2025·广西南宁二中高二月考] 已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,点M为抛物线C上的一个动点,E(3,1),则下列结论正确的是 (　 )
A.抛物线C的准线方程为x=-2 B.|ME|+|MF|的最小值为4
C.|ME|-|MF|的最大值为5 D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,若点P在C上,点E在l上,且△PEF是周长为12的正三角形,则抛物线C的方程为　　　　.
15.[2025·江苏连云港高二期中] 已知动点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并指出此时点M的坐标.
16.如图,F是平面上一点,以F为圆心,分别画出半径为1,2,3,4,5的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为l,再画出与l平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与l平行的直线.若以F为焦点,l为准线的抛物线记为M,则A,B,C,D,E这5个点 (　 )
A.都不在抛物线M上
B.只有1个点在抛物线M上
C.有2个点在抛物线M上
D.有3个点在抛物线M上
17.二次函数的图象是抛物线,现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线,举例如下:二次函数y=x2+1的图象可以由y=x2的图象沿向量n=(0,1)平移得到,拋物线y=x2,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,故二次函数y=x2+1的图象的焦点坐标为(0,2),准线方程为y=0.
(1)求二次函数y=x2-x+1的图象的焦点F的坐标和准线方程;
(2)证明:二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点到焦点F的距离和到准线的距离相等.3.3.1　抛物线及其标准方程
1.B　[解析] 由抛物线x2=-2y可知,焦点在y轴的负半轴上,p=1,因此焦点坐标为.故选B.
2.A　[解析] 抛物线C:y=x2的标准方程为x2=4y,所以F(0,1),所以点F到原点的距离为1.故选A.
3.D　[解析] y=2x2可化为x2=y,所以抛物线的准线方程为y=-,故选D.
4.B　[解析] 由题意知动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3,0)的距离相等,由抛物线的定义知,点P的轨迹是以点(3,0)为焦点,直线x=-3为准线的抛物线,所以点P的轨迹方程为y2=12x.故选B.
5.B　[解析] 由抛物线的定义得|AF|=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以可得
则|y1-y2|=12.故选B.
6.AB　[解析] 当焦点在x轴上时,将y=0代入x-2y-4=0,可得焦点坐标为(4,0),则抛物线的标准方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,将x=0代入x-2y-4=0,可得焦点坐标为(0,-2),则抛物线的标准方程为x2=-8y.故选AB.
7.y2=8x(答案不唯一,从y2=8x,y2=-16x,x2=4y,x2=-20y中任选一个即可)　[解析] 由题意得抛物线C的准线方程可能为x=-2,x=4,y=-1,y=5,所以C的标准方程可能为y2=8x,y2=-16x,x2=4y,x2=-20y.
8.y2=12x　[解析] 由双曲线方程可知c==3,且焦点在x轴上,则双曲线的右焦点为(3,0),所以抛物线的焦点为(3,0),所以抛物线的标准方程为y2=12x.
9.解:(1)因为抛物线的准线方程为x=5,
所以抛物线的焦点为(-5,0),抛物线开口向左,且=5,
所以抛物线的标准方程为y2=-20x.
(2)因为抛物线的焦点坐标为(0,3),
所以抛物线开口向上,且=3,
所以抛物线的标准方程为x2=12y.
(3)因为抛物线的焦点到准线的距离是4,所以p=4.
若抛物线开口向上,则抛物线的标准方程为x2=8y;
若抛物线开口向下,则抛物线的标准方程为x2=-8y;
若抛物线开口向左,则抛物线的标准方程为y2=-8x;
若抛物线开口向右,则抛物线的标准方程为y2=8x.
(4)因为抛物线过点P(-2,-1),所以抛物线的开口向左或向下.
若抛物线开口向左,设其方程为y2=mx(m<0),
则有(-1)2=(-2)m,解得m=-,
则抛物线的标准方程为y2=-x;
若抛物线开口向下,设其方程为x2=ny(n<0),
则有(-2)2=(-1)n,解得n=-4,
则抛物线的标准方程为x2=-4y.
故抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-4y.
10.D　[解析] 如图,由题可知,抛物线y2=-4x的焦点为F(-1,0),准线方程为x=1,则d1+d2=|PF|+d2,所以d1+d2的最小值即为点F(-1,0)到直线x+y-4=0的距离d,即=.故选D.
11.B　[解析] 因为A,F,B三点共线,所以AB为圆F的直径,AD⊥BD,所以|AD|=|AF|=|AB|,所以∠ABD=30°,因为点F到准线的距离为6,所以|AF|=|BF|==12.故选B.
12.B　[解析] 根据抛物线性质可知,|PF|的最小值为,所以=,解得p=1.取AB的中点E,分别过点A,B,E作准线的垂线,垂足分别为D,C,G,设EG与y轴交于点H.根据抛物线的定义可得|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,所以|AD|+|BC|=|AF|+|BF|=5,因为GE为梯形ABCD的中位线,所以|EG|==,所以线段AB的中点到y轴的距离|EH|=|EG|-=-=2.故选B.
13.BD　[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误;如图所示,过点M作准线的垂线,垂足为A,则|MF|=|MA|,所以|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|EA|,当且仅当E,M,A三点共线时取等号,所以|ME|+|MF|的最小值为4,故B正确;由||ME|-|MF||≤|EF|=,得-≤|ME|-|MF|≤,则|ME|-|MF|的最大值为,故C错误;由M,得MF的中点坐标为,又|MF|==+1,所以=,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选BD.
14.x2=4y　[解析] 由△PEF是周长为12的等边三角形,得|PE|=|PF|=|EF|=4,又由抛物线的定义可得PE⊥l.设准线l与y轴交于D,则PE∥DF,从而∠PEF=∠EFD=60°,在Rt△EDF中,|DF|=|EF|·cos∠EFD=4×=2,即p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
15.解:(1)因为动点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1,
所以动点M到点F(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等,
所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线,
所以动点M的轨迹方程为y2=8x.
(2)设M,则|MA|===,
当m2=16,即m=±4时,|MA|取得最小值4,
所以当点M的坐标为(2,4)或(2,-4)时,点M与点A的距离最小,最小值为4.
16.D　[解析] 如图,不妨以点D为坐标原点,过点D且平行于直线l的直线为x轴,过点D且垂直于直线l的直线为y轴,建立平面直角坐标系,可设抛物线M的方程为x2=2py(p>0),由图可知=2,所以p=4,所以抛物线M的方程为x2=8y,易知该组同心圆的方程为x2+(y-2)2=r2(r>0),由解得y=-2±r,由图可知,所给5个点的纵坐标均不小于0,故y=-2+r.当r=2时,可得y=0,该点为点D;当r=3时,y=1,该点为点E;当r=4时,y=2,该点不是点A;当r=5时,y=3,该点为点B.综上所述,有3个点在抛物线M上.故选D.
17.解:(1)二次函数y=x2-x+1=(x-2)2,它的图象可以由抛物线y=x2沿向量m=(2,0)平移得到,
抛物线y=x2,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,
所以二次函数y=x2-x+1的图象的焦点F的坐标为(2,1),准线方程为y=-1.
(2)证明:设P(x0,y0)为二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点,
则(x0-2)2=4y0,
故|PF|====|y0+1|,
而P(x0,y0)到准线y=-1的距离d=|y0-(-1)|=|y0+1|,
故二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点与焦点F的距离和到准线的距离相等.

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