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2026年高考一轮复习单元验收评价试题（十）数学答案与解析
1.A 解析　根据题意，A，B两个部件都不能正常工作的概率为(1-0.65)×(1-0.6)=0.14，所以该系统正常工作的概率为1-0.14=0.86.
2.B 解析　若A，B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到P(A)+P(B)=1，故条件是必要的；若试验的样本点含3个及以上，其中A，B表示概率为的两个不同事件，则A，B不互为对立事件，此时P(A)+P(B)=+=1，故条件不是充分的.
3.A 解析　由题意知抽取3道题该学生不及格的情况只有只对一道题一种情况，则只答对一道题的概率为P==，所以该学生及格的概率为.
4.B 解析　根据题意，分2步进行分析：①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有=8(种)情况；②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有=24(种)排法.则有8×24=192(种)不同的站法.
5.A 解析　设A1表示“该汽车是货车”，A2表示“该汽车是客车”，则P(A1)=，P(A2)=，设B表示“一辆汽车中途停车修理”，则P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.01，则P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为P(A1|B)====0.8.
6.B 解析　先考虑6号，有3种颜色可选，则剩下的1至5号有2种颜色可选，7，8号也有2种颜色可选，所以一共有3×2×2=12(种)灯光组合.
7.B解析　对于A，事件E与事件F可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件E与事件F不是互斥事件，故A错误；对于B，事件E与事件F不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可是3个白球或3个红球，所以事件E与事件F互斥却不对立，故B正确；对于C，事件E与事件F可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件E与事件F不是互斥事件，故C错误；对于D，事件E与事件F不可能同时发生，且必有一个发生，所以事件E与事件F是互斥事件也是对立事件，故D错误.
8.D 解析　因为2a-b+a+a+b=1，所以a=，又因为解得-所以D(ξ)的取值范围是.
9.BCD 解析　二项展开式中的二项式系数和为22 025，故A错误；令x=1，可得(1-2)2 025=a0+a1+a2+…+a2 024+a2 025=-1，即展开式中所有项的系数和为-1，故B正确；令x=0，可得a0=1，令x=，可得=a0+++…++=0，所以+++…++=-1，故C正确；将等式(1-2x)2 025
=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024+a2 025x2 025两边同时求导可得，2 025×(-2)×(1-2x)2 024=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023+2 025a2 025x2 024，再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024+2 025a2 025=-4 050，故D正确.
10.AC 解析　记第i次去A洗车店为事件Ai，第i次去B洗车店为事件Bi，i=1，2，由题意可知，P(A1)=，P(B1)=，P(A2|A1)=，P(B2|A1)=，P(A2|B1)=，P(B2|B1)=，对于A，P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=×=，故A正确；对于B，P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=×+×=，P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=，故B错误；对于C，P(A1|A2)====，故C正确；对于D，P(A1|B2)====，故D错误.
11.ABD 解析　由2n(2n-1)(2n-2)=100n(n-1)，且n≥2，解得n=13，故A正确；因为+++…+=++++…+-1=+++…+-1=…=-1=329，故B正确；(n-1)===，m=，即m≠(n-1)，故C错误；
==n·=n，故D正确.
5 解析　根据题意=，则解得1≤x≤7，又x-1=2x+2或x-1+2x+2=16，解得x=-3(舍去)或x=5.
13.　 解析　由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3分类，其中公差为-3，-2，-1和3，2，1的情况对应相等.公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种情况；公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种情况，同公差为-1的；公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种情况，同公差为-2的；公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种情况，同公差为-3的.所以三个数恰好构成等差数列的概率P===.
14.　 解析　记比赛两局的得分为X，则X所有可能的取值为0，1，2，3，4，6，P(X=0)=c2，P(X=1)=2bc，P(X=2)=b2，P(X=3)=2ac，P(X=4)=2ab，P(X=6)=a2，又a+b+c=1，则E(X)=2bc+2b2+6ac+8ab+6a2=2b(1-a-b)+
2b2+6a(1-a-b)+8ab+6a2=6a+2b=2，则3a+b=1≥2，得ab≤，当且仅当3a=b，即a=，b=时，等号成立，所以ab的最大值为.
15.解　(1)设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2，“笔试第一次考试合格”为事件B1，“笔试补考合格”为事件B2.
不需要补考就获得证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)=P(A1)×P(B1)=×=.
(2)恰好补考一次的事件是A2B1+A1B2，
则P(A2B1+A1B2)=P(A2B1)+P(A1B2)=××+××=.
(3)由已知得，ξ=2，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(ξ=2)=P(A1B1)+P()=×+×=，
P(ξ=3)=P(A1)+P(A1B2)+P(A2B1)=××+××+××=，
P(ξ=4)=P(A2B2)+P(A2)=×××+×××=，
ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
所以参加考试次数ξ的期望E(ξ)=2×+3×+4×=.
16.解　(1)由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌曲的歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌曲的歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
P(E)=P(AB+ABC)=0.8×0.5×(1-0.5)+0.8×0.5×0.5=0.4.
(2)甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X，
则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，
P(X=0)=1-0.8=0.2，
P(X=1 000)=0.8×(1-0.5)=0.4，
P(X=3 000)=0.8×0.5×(1-0.5)=0.2，
P(X=6 000)=0.8×0.5×0.5=0.2，
所以E(X)=0×0.2+1 000×0.4+3 000×0.2+6 000×0.2=2 200.
甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y，
则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000，
P(Y=0)=1-0.5=0.5，
P(Y=3 000)=0.5×(1-0.5)=0.25，
P(Y=5 000)=0.5×0.5×(1-0.8)=0.05，
P(Y=6 000)=0.5×0.5×0.8=0.2，
所以E(Y)=0×0.5+3 000×0.25+5 000×0.05+6 000×0.2=2 200.
方法一　D(X)=(0-2 200)2×0.2+(1 000-2 200)2×0.4+(3 000-2 200)2×0.2+(6 000-2 200)2×0.2=4 560 000，
D(Y)=(0-2 200)2×0.5+(3 000-2 200)2×0.25+(5 000-2 200)2×0.05+(6 000-2 200)2×0.2=5 860 000，
由于E(X)=E(Y)，D(Y)>D(X)，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
方法二　甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
17.解　(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n=8.
(2)当n=6时，二项式为，
展开式的通项Tk+1=x6-k=(-a)k(k=0，1，…，6)，
令6-=3，得k=2，所以A=a2=15a2，
令6-=0，得k=4，所以B=a4=15a4，
又B=4A，解得a=0(舍去)或a=2或a=-2，
所以a=2或a=-2.
(3)当n=6，a=-2时，二项式为，
展开式的通项Tk+1=x6-k=2k(k=0，1，…，6)，
设第k+1项系数最大，则
即故k=4，
所以二项式的展开式中系数最大的项为
T4+1=24=240.
18.解　(1)设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为p，
则p=×+×=.
则X~B，且X所有可能的取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=××=，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=3×=.
(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn，则P1=，
当n≥2时，Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+，
所以Pn-=-，
又P1-=-，
所以是以-为首项，-为公比的等比数列，
所以Pn-=-×，
所以Pn=-×，
当n是奇数时，Pn=-×<；
当n是偶数时，Pn=+×>，
且P2>P4>P6>…>P2k>，k∈N*.
所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.
19.答案　(1)0.16　(2)(ⅰ)分布列见解析，
(ⅱ)
解析　(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取的100件产品的质量指标值的平均数为＝10×(0.01×50＋0.025×60＋0.04×70＋0.015×80＋0.01×90)＝69.
所以μ＝69，σ＝11，所以X～N(69，112)，所以P(X≥80)＝＝≈＝0.158 65≈0.16，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.
(2)(ⅰ)样本中质量指标值在[45，55)，[85，95]的芯片件数均为10，故η的所有可能取值为0，1，2，3，
相应的概率为P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝，
随机变量η的分布列为：
η 0 1 2 3
P
所以η的数学期望E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(ⅱ)设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100－Y)件，
设每箱产品的利润为Z元，
由题意知Z＝mY＋(100－Y)ln(25－m)＝(m－ln(25－m))Y＋100ln(25－m)，
由(1)知每箱产品中A等品所占的比例约为0.16，
所以Y～B(100，0.16)，所以E(Y)＝100×0.16＝16，
所以E(Z)＝E((m－ln(25－m))Y＋100ln(25－m))
＝(m－ln(25－m))E(Y)＋100ln(25－m)
＝16(m－ln(25－m))＋100ln(25－m)
＝16m＋84ln(25－m)．
令f (x)＝16x＋84ln(25－x)(1又当x∈时，f′(x)>0，f (x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f (x)单调递减，
所以当x＝时，f (x)取得最大值，
即当m＝时，每箱产品的期望利润最大．秘密★启用前
2026年高考一轮复习单元验收评价试题（十）
数学
本试卷共4页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：计数原理、概率、随机变量及其分布。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0．65，B正常工作的概率为0．6，则该系统正常工作的概率为(　　)
A．0．86 B．0．75 C．0．47 D．0．14
2．设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)+P(B)=1”是“事件A，B互为对立事件”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．数学老师从6道题中随机抽3道检测学生，规定至少要解答正确2道题才能及格．某学生只能正确求解其中的4道题，则该学生能及格的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为(　　)
A．144 B．192 C．360 D．480
5．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车中途停车修理的概率为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　)
A．0．8 B．0．6 C．0．5 D．0．3
6．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7，8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有　　　　　　种灯光组合(　　)
A．9 B．12 C．15 D．18
7．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件E与事件F互斥却不对立的是(　　)
A．事件E：3个球中至少有1个红球；事件F：3个球中至少有1个白球
B．事件E：3个球中恰有1个红球；事件F：3个球中恰有1个白球
C．事件E：3个球中至多有2个红球；事件F：3个球中至少有2个白球
D．事件E：3个球中至多有1个红球；事件F：3个球中至多有1个白球
8．随机变量ξ的分布列如表：
ξ 0 1 2
P 2a-b a a+b
则D(ξ)的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024+a2 025x2 025，则(　　)
A．展开式中二项式系数和为1 B．展开式中所有项的系数和为-1
C．+++…++=-1 D．a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024+2 025a2 025=-4 050
10．若m，n为正整数且n>m>1，则(　　)
A．已知=100，则n=13 B．+++…+=329
C．m=(n-1) D．=n
11．五一假期过后，车主小王选择去某市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车．已知小王第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为；如果小王第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为，则下列结论正确的是(　　)
A．小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为
B．小王第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率大
C．若小王第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为
D．若小王第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知=，则x=　　　　　　．
13．如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　．
14．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为　　　　　　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可以继续参加笔试考试．已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率；
(3)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望．
16．（15分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表：
歌曲 A B C
猜对的概率 0．8 0．5 0．5
获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000
(1)若甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，求至少猜对两首歌曲歌名的概率；(5分)
(2)甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由．(10分)
17．（15分）
已知(n∈N*)．
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；(3分)
(2)当n=6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值；(5分)
(3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项．(7分)
18．（17分）
某学校有A，B两个餐厅，经统计发现，该校同学在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0．4；如果某同学某天去B餐厅，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0．8．
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(7分)
(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由．(10分)
19．（17分）
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．芯片质量按质量指标值划分为五个等级：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品．现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值．若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(小数点后面保留两位有效数字)；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0．682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0．954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0．997 3．
(2)(ⅰ)从样本中质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装．已知一件A等品芯片的利润是m(1

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