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2026年高考一轮复习单元验收评价试题（九）数学答案与解析
1.A 解析　样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体.
2.C 解析　由题意知样本中医生抽取×50=15(人)，护士抽取×50=32(人)，故样本中医生比护士少32-15=17(人).
3.D 解析　由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增长缓慢.A中，y=a+bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y=a+bx2(b>0)是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；C中，y=a+bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；D中，y=a+bln x是对数型，增长缓慢，符合要求.故对数型最适宜该回归模型.
4.D 解析　观察等高堆积条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间关系最强.
5.D 解析　10×25%=2.5，所以男生样本数据的25%分位数是86，故A正确；男生样本数据的中位数为=89，男生样本数据的众数为90，故B正确；女生样本数据的平均数为×(82+84+85+87×3+88×2+90+92)=87，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为×(84+85+87×3+88×2+90)=87，故C正确；女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误.
6.B 解析　由题意有(m+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得m=0.016，所以成绩落在[50，60)内的频率为0.16，故=0.16，解得n=100，故A正确，B错误；平均分=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04
=70.6(分)，故C正确；不及格的频率为0.16，所以估计总体中不及格的学生人数为0.16×2 000=320，故D正确.
7.C 解析　由=ln x+0.24，令t=ln x，则=t+0.24，由题意易得==4.2，==3，所以3=×4.2+0.24，解得≈0.657，所以=0.657ln x+0.24，若x=e10，解得=6.81.
8.D 解析　设丢失数据是x，则平均数为，众数是8，若x<8，则中位数为8，此时x=-5；若89.ABD 解析　用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为 25×=12(人)，故A正确；用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为25×=5(人)，故B正确；根据按比例分配的分层随机抽样的特征知，每名学生被选中的概率相等，均为=，故C错误，D正确.
10.BCD 解析　在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1，解得a=0.005，故A错误；前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5，前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5.设该年级学生成绩的中位数为m，则m∈(70，80)，根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5，解得m≈77.14，所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14，故B正确；估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为×85+×95=87.5，故C正确；估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为×[12+(85-87.5)2]+×[10+(95-87.5)2]=30.25，故D正确.
11.BD 解析　由题知，2iyi=1 906，=10，2i=×126=21，=5 460，所以==≈0.23，≈10-0.23×21=5.17，A错误；所以=5.17+0.23×2x，令x=log221，求得=10，B正确；由上式可知，x每增加1万元，y不是平均增加的，C错误；若x>9，则>122.93，而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确.
12.　6 解析　由题意知该组数据的极差为17-2=15，中位数为，所以=15×=9，解得m=6，又6×40%=2.4，所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三个数6.
13.　 解析　设A，B，C三人的体质指数分别为a，b，c.
方法一　由于A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故=3，则(a-20)2+(b-20)2+(c-20)2=9，由于==20，故这5人的体质指数的平均值为20，方差为
==.
方法二　这5人的体质指数的平均值为==20，D，E两人的体质指数的平均值为=20，方差为=4，故这5人的体质指数的方差为×[3+(20-20)2]+×[4+(20-20)2]=.
14.　5或6 解析　设男、女学生的总人数为2m，则2m=20k(k∈N*)，并把列联表的数据补充完整，所以χ2==，由题意得3.841≤<6.635 80.661≤2m<139.335，又2m=20k(k∈N*)，所以4.033≤k<6.967，所以k=5或k=6.
喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.6m 0.4m m
合计 1.4m 0.6m 2m
15.解　(1)该地被调查村的村户年平均收入的估计值为xi=×15=1(万元).
(2)样本相关系数为r===≈≈0.95.
(3)采用按比例分配的分层随机抽样，理由如下：
由(2)知被调查村的村户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各被调查村产业资金投入差异很大，因此被调查村的村户年平均收入差异也很大，所以采用按比例分配的分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地更准确的验收估计.
16.解　(1)因为A，B配方样本容量相同，设为n，
由于B配方废品有6件，由B配方的频率分布直方图可知，废品的频率为=0.006×10，解得n=100，
所以a=100-(8+36+24+8)=24，
由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1，解得b=0.026.
(2)由(1)及A配方的频数分布表得，
A配方质量指标值的样本平均数为==100，
质量指标值的样本方差为=×[(-20)2×8+(-10)2×24+02×36+102×24+202×8]=112，
由(1)及B配方的频率分布直方图知，B配方质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，
质量指标值的样本方差为=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104，
所以=，>，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值的样本方差比B配方质量指标值的样本方差大，
所以B配方更好.
17.解　(1)==20.3，
=×[(20.1-20.3)2+(20.1-20.3)2+(20.5-20.3)2+(20.3-20.3)2+(20.5-20.3)2]==0.032，
==20.0，
=×[(20.0-20.0)2+(19.9-20.0)2+(19.8-20.0)2+(20.1-20.0)2+(20.2-20.0)2]==0.02.
(2)由(1)得-=0.3，(-)2=0.09，2=2=2，
则(2)2=4×0.052=0.208>0.09，
所以-<2，
所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用.
18.解　(1)依题可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002=0.01=1%>0.5%，所以95所以(c-95)×0.002=0.5%，解得c=97.5，
q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)当c∈[95，100)时，
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82>0.02；
当c∈[100，105]时，
f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98≥0.02，
故f(c)=
所以f(c)在区间[95，105]的最小值为0.02.
19.解　(1)零假设为H0：“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”没有关联，
因为χ2=≈22.120>10.828=x0.001，
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为H0不成立，
即认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联.
(2)①=×(1+2+3+4+5)=3，
=×(881+857+729+569+475)=702.2，
所以====-110，
=-=702.2+110×3=1 032.2.
所以经验回归方程为=-110x+1 032.2.
②模型B较好，由于模型B的决定系数R2≈0.997 3与模型A的决定系数R2≈0.792 7相比较，模型B的决定系数R2大于模型A的，因此模型B的拟合效果更好；
由于经验回归方程为=-110x+1 032.2，当六月初月考时，x=8，小明的月考校内名次预测值为=-110×8+1 032.2≈152，
故全省名次的预测值为=28e0.016×152=28e2.432≈319.秘密★启用前
2026年高考一轮复习单元验收评价试题（九）
数学
本试卷共4页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：统计与成对数据的统计分析。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d．
α 0．05 0．01 0．005 0．001
xα 3．841 6．635 7．879 10．828
==，=-．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)
A．总体 B．个体 C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本
2．某医院有医生750人，护士1 600人，其他工作人员150人，用按比例分配的分层随机抽样的方法从这些人中抽取一个样本容量为50的样本，则样本中医生比护士少(　　)
A．19人 B．18人 C．17人 D．16人
3．某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，由实验数据得到如图所示的散点图．由此散点图判断，最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是(　　)
A．y=a+bx B．y=a+bx2(b>0) C．y=a+bex D．y=a+bln x
4．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)
5．法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式．为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动．为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的答题成绩(满分100分)，按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：
男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96
女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92
则下列说法错误的是(　　)
A．男生样本数据的25%分位数是86
B．男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数
C．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变
D．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变
6．在某区高三年级第一学期初举行的一次质量检测中，某学科共有2 000人参加考试．为了解本次考试学生的该学科的成绩情况，从中抽取了n名学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组作出频率分布直方图(如图所示)．已知成绩落在[50，60)内的人数为16，则下列结论错误的是(　　)
A．m=0．016 B．n=1 000
C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70．6分
D．若成绩低于60分为不及格，则估计全体学生中不及格的人数为320
7．已知变量y关于变量x的非线性经验回归方程为=ln x+0．24，其一组数据如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x=e10，则y的值大约为(　　)
A．4．94 B．5．74 C．6．81 D．8．04
8．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(　　)
A．12 B．20 C．25 D．27
多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，其他组合均无人选．现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是(　　)
A．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为12人
B．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为5人
C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D．政史地组合学生小刘被选中的概率为
10．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩的方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩的方差为10．则(　　)
A．a=0．004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77．14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87．5
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30．25
11．某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果．通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5 6
y/千人 5 6 8 9 12 20
现用曲线C：=+×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，(精确到0．01)，以所求经验回归方程C为预测依据，则(　　)
参考数据：=10，xiyi=257，=91，2i=126，=5 460，2iyi=1 906．
A．=5．82 B．曲线C经过点(log221，10)
C．广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3 000人
D．若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是　　　．
13．身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来．这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度．一般情况下，我国成年人的体质指数在18．5~23．9内属正常范围．已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3．D，E两人的体质指数分别为18和22．则这5人的体质指数的方差为　　　　　　．
14．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且依据小概率值α=0．05的独立性检验认为喜欢网络课程与性别有关，但依据小概率值α=0．01的独立性检验认为喜欢网络课程与性别无关．已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N*)，则k=　　　　　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，15)，其中xi和yi分别表示第i个村中村户的年平均收入(单位：万元)和产业资金投入数量(单位：万元)，并计算得到xi=15，yi=750，=0．82，=1 670，(xi-)(yi-)=35．3．
(1)试估计该地被调查村的村户年平均收入；
(2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投入数量的样本相关系数；(精确到0．01)(4分)
(3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
16．（15分）
我国医疗科研专家攻坚克难，研发出某种治疗肺炎的复方的A，B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值(药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好)，规定指标值小于85为废品，指标值在[85，115)内为一等品，不小于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．
A配方的频数分布表
质量指标值 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 8 a 36 24 8
(1)求实数a，b的值；
(2)试确定A配方和B配方哪一种更好？(同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
17．（15分）
为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将10只小鼠均分为两组：对照组(不加药物)和实验组(加药物)，测得10只小鼠的体重(单位：g)如下：
对照组：20．1　20．1　20．5　20．3　20．5
实验组：20．0　19．9　19．8　20．1　20．2
对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用(若-≥2，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用)．
18．（17分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．
19．（17分）
制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习方法是一种有效的学习策略．某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间的关系，得到如下数据：
成绩>120分 成绩≤120分 合计
制定学习计划并坚持实施 14 6 20
没有制定学习计划 2 28 30
合计 16 34 50
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联？
(2)若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止．以下为小明坚持实施计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：
月考时间 11月初 12月初 次年1月初 次年2月初 次年3月初
时间代码x 1 2 3 4 5
月考校内名次y 881 857 729 569 475
①求月考校内名次y与时间代码x的经验回归方程=x+；
②该校老师给出了该校上一年学生高考(6月初考试)数学成绩在校内的名次和在全省名次的部分数据：
校内名次w 5 100 200 300
全省名次u 20 257 666 2 780
利用数据分析软件，得出了两个回归模型和决定系数R2：
模型A 模型B
=9．5-449 =28
R2≈0．792 7 R2≈0．997 3
在以上两个模型中选择“较好”模型(说明理由)，并结合问题①的经验回归方程，依据“较好”模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次(名次均保留整数)．
参考数据及公式：e2．272≈9．7，e2．432≈11．4，e0．672≈2．0，xiyi=9 433，

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