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第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
一、知识梳理
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线　　　　的叫作仰角,目标视线在水平视线　　　　的叫作俯角
方位角 从某点的　　　　方向线起按　　　　方向转到目标方向线的水平角叫作方位角,方位角θ的范围是　　　　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与 坡比 坡面与水平面的夹角叫坡角(θ为坡角);坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即　　　
二、 题型
1：距离问题
策略 ： 破解距离问题的关键:一是找三角形,即将所测量的距离与题设中其他的点组成三角形;二是找或画出边或角,对所找的三角形,分析题中已知的边角或可求的边角,或是恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形, 将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角度;三是利用正弦定理或余弦定理求出边长,即求出两点间的距离.
【例1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．10
2、高度问题
方法 ；求解高度问题的注意点:
(1)在处理有关高度的问题时,正确理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形(一个空间图形和一个平面图形),这样处理起来既清楚又不容易搞错;
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,这有助于把空间问题转化为平面问题.
【例2】某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高
m.
3、角度问题
测量“角度”即是求一个角的大小,解题的一般步骤是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
【例3】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、典例欣赏
【例4】在四边形中，，，，．
(1)求的周长
(2)求四边形的面积．第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
一、知识梳理
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线　　　　的叫作仰角,目标视线在水平视线　　　　的叫作俯角
方位角 从某点的　　　　方向线起按　　　　方向转到目标方向线的水平角叫作方位角,方位角θ的范围是　　　　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与 坡比 坡面与水平面的夹角叫坡角(θ为坡角);坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即　　　
二、 题型
1：距离问题
策略 ： 破解距离问题的关键:一是找三角形,即将所测量的距离与题设中其他的点组成三角形;二是找或画出边或角,对所找的三角形,分析题中已知的边角或可求的边角,或是恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形, 将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角度;三是利用正弦定理或余弦定理求出边长,即求出两点间的距离.
【例1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．10
【详解】由题设，，则，而，
所以，则，
由，，则，而，
又，
所以，则，
由
.
故选：C.
2、高度问题
方法 ；求解高度问题的注意点:
(1)在处理有关高度的问题时,正确理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形(一个空间图形和一个平面图形),这样处理起来既清楚又不容易搞错;
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,这有助于把空间问题转化为平面问题.
【例2】某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高
m.
【详解】因为在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高.
故答案为：.
3、角度问题
测量“角度”即是求一个角的大小,解题的一般步骤是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
【例3】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，，则，
由余弦定理可得 ，
所以，解得．
故选：B．
三、典例欣赏
【例4】在四边形中，，，，．
(1)求的周长
(2)求四边形的面积．
【详解】（1）因为，
所以 因为，所以．
又因为，所以，
所以，
因为，故，所以，，
且
，
由正弦定理，所以，
则，
故，
所以的周长为.
（2）连接，
因为，，，
所以，，所以，且，
所以四边形为等腰梯形，所以，，
则，
又因为，即，设，
所以四边形的面积
.

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