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第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算
一、知识梳理
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量 用a,b,c,…或,,…表示
向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模) 　　　　或　　　　
零向量 　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的 记作　　　
单位向量 长度等于　　　　的向量,叫作单位向量 用e表示,|e|=　　　
相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量 向量a和b相等,记作　　　
平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量 两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律
加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法 　　　　法则 　　　　法则 (1)加法交换律:a+b=　　　. (2)加法结合律:(a+b)+c=　　
减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　 　　　　法则 a-b=　　　
数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘 (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　. (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　 λ(μa)=　　　　, (λ+μ)a=　　　　, λ(a+b)=　　　
3.向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.
二、核心原则
（1） 向量基本概念
零向量 ：长度为0，方向任意，与任何向量共线。
单位向量 ：长度为1，方向与原向量相同 。
相等向量 ：长度和方向均相同，与起点无关。
共线向量 ：方向相同或相反，平行向量即共线向量。
（2） 线性运算规则
加减法 ：三角形法则（首尾相接）和平行四边形法则。
数乘运算 ：λa表示长度缩放|λ|倍，方向由λ的符号决定。
运算律 ：交换律、结合律、分配律（向量与实数）。
（3） 共线定理
判定 ：a与b共线 存在唯一实数λ使b=λa（a≠0）。
应用 ：三点共线问题、参数求解。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：向量概念辨析
策略 ：紧扣定义，注意零向量、单位向量的特殊性。
【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．零向量没有方向
C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量
【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误；
对B：零向量的方向是任意的，故B错误；
对C：根据相等向量的概念，C正确；
对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误.
故选：C.
题型2：向量线性运算
策略 ：（1）图形法：画出向量关系图，利用几何图形简化运算。
（2）代数法：直接应用加减法和数乘公式。
【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
题型3：向量共线定理应用
策略 ：（1）构造方程b=λa，解参数λ。
（2）三点共线问题转化为向量共线。
【例3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
因为三点共线，所以可设，
所以，
因为三点共线，所以可设，
因为 ，，所以，
所以，
所以，
即，解得，，所以，
故选：A.
题型4：参数求解（含参线性运算）
策略 ：根据向量关系列方程，注意系数匹配。
【例4】（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.故选：B.
题型5：几何图形中的向量表示
策略 ：利用中点公式、重心公式等简化计算。
【例5】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
四、典例欣赏
【例6】[2024·云南昆明期末] 已知O为△ABC的内心,角A为锐角,sin A=,若=μ+λ,则μ+λ的最大值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
【详解】
法一:因为点O是△ABC的内心,所以a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c,
则a+b(+)+c(+)=0,
整理得(a+b+c)+b+c=0,
则=+,所以μ=,λ=,
所以μ+λ=,则=1+.
因为角A为锐角,sin A=,所以cos A=.
由余弦定理得cos A==,则b2+c2-bc=a2,
故==.
因为+≥2(当且仅当b=c时取等号),
所以1-≥1-=,所以=1+≥1+=,
所以μ+λ≤,故μ+λ的最大值为.故选C.
法二:示意图如图所示,延长AO,交BC于点D.
设=y,即-=y(-),则=y+(1-y).
设=x=x[y+(1-y)] =xy+x(1-y),
则
故λ+μ=x.
设△ABC的内切圆与BC切于点E,与AB切于点F,
设圆O的半径为r,
因为sin A=且A为锐角,
所以sin A=2sincos==,
则=,解得tan=或tan=(舍去),
故sin=cos,
又sin2+cos2=1,所以sin=(负值舍去),
则=,即||=4r,由图知||≥||=r,
所以x==≤,故μ+λ的最大值为.
故选C.第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算
一、知识梳理
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量 用a,b,c,…或,,…表示
向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模) 　　　　或　　　　
零向量 　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的 记作　　　
单位向量 长度等于　　　　的向量,叫作单位向量 用e表示,|e|=　　　
相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量 向量a和b相等,记作　　　
平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量 两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律
加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法 　　　　法则 　　　　法则 (1)加法交换律:a+b=　　　. (2)加法结合律:(a+b)+c=　　
减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　 　　　　法则 a-b=　　　
数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘 (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　. (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　 λ(μa)=　　　　, (λ+μ)a=　　　　, λ(a+b)=　　　
3.向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.
二、核心原则
（1） 向量基本概念
零向量 ：长度为0，方向任意，与任何向量共线。
单位向量 ：长度为1，方向与原向量相同 。
相等向量 ：长度和方向均相同，与起点无关。
共线向量 ：方向相同或相反，平行向量即共线向量。
（2） 线性运算规则
加减法 ：三角形法则（首尾相接）和平行四边形法则。
数乘运算 ：λa表示长度缩放|λ|倍，方向由λ的符号决定。
运算律 ：交换律、结合律、分配律（向量与实数）。
（3） 共线定理
判定 ：a与b共线 存在唯一实数λ使b=λa（a≠0）。
应用 ：三点共线问题、参数求解。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：向量概念辨析
策略 ：紧扣定义，注意零向量、单位向量的特殊性。
【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．零向量没有方向
C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量
【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误；
对B：零向量的方向是任意的，故B错误；
对C：根据相等向量的概念，C正确；
对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误.
故选：C.
题型2：向量线性运算
策略 ：（1）图形法：画出向量关系图，利用几何图形简化运算。
（2）代数法：直接应用加减法和数乘公式。
【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
题型3：向量共线定理应用
策略 ：（1）构造方程b=λa，解参数λ。
（2）三点共线问题转化为向量共线。
【例3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
因为三点共线，所以可设，
所以，
因为三点共线，所以可设，
因为 ，，所以，
所以，
所以，
即，解得，，所以，
故选：A.
题型4：参数求解（含参线性运算）
策略 ：根据向量关系列方程，注意系数匹配。
【例4】（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.故选：B.
题型5：几何图形中的向量表示
策略 ：利用中点公式、重心公式等简化计算。
【例5】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
四、典例欣赏
【例6】[2024·云南昆明期末] 已知O为△ABC的内心,角A为锐角,sin A=,若=μ+λ,则μ+λ的最大值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
【详解】
法一:因为点O是△ABC的内心,所以a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c,
则a+b(+)+c(+)=0,
整理得(a+b+c)+b+c=0,
则=+,所以μ=,λ=,
所以μ+λ=,则=1+.
因为角A为锐角,sin A=,所以cos A=.
由余弦定理得cos A==,则b2+c2-bc=a2,
故==.
因为+≥2(当且仅当b=c时取等号),
所以1-≥1-=,所以=1+≥1+=,
所以μ+λ≤,故μ+λ的最大值为.故选C.
法二:示意图如图所示,延长AO,交BC于点D.
设=y,即-=y(-),则=y+(1-y).
设=x=x[y+(1-y)] =xy+x(1-y),
则
故λ+μ=x.
设△ABC的内切圆与BC切于点E,与AB切于点F,
设圆O的半径为r,
因为sin A=且A为锐角,
所以sin A=2sincos==,
则=,解得tan=或tan=(舍去),
故sin=cos,
又sin2+cos2=1,所以sin=(负值舍去),
则=,即||=4r,由图知||≥||=r,
所以x==≤,故μ+λ的最大值为.
故选C.

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