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河北承德市双滦区
2025--2026学年第一学期开学考试高二数学测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知平面向量，若，则（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
2．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
3．记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ）
A． B． C． D．
5．的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，且与交于点M，设，则（ ）
A．0 B． C． D．1
7．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（）
A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m
8．如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为的重心，则
D．若向量，满足，且，方向相同，则
10．在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5
C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π
11．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B． C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是 .
13．已知，，，则β= .
14．如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有 ．
①圆锥母线与底面所成的角为 ②圆锥PO的侧面积为
③挖去圆柱的体积为 ④剩下几何体的表面积为
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小.
16．已(本小题15分）知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，．
(1)求B；
(2)求的面积；
(3)求线段的长度．
17．(本小题15分）已知向量，，，其中．
(1)求及向量，夹角的余弦值；
(2)若向量与向量垂直，求实数k的值；
(3)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值．
18．(本小题17分）已知函数.
(1)若的最小正周期为.
（i）求的单调递增区间和图象的对称中心；
（ii）若，且，求的值；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.
19．(本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点．
(1)求证：平面平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的最大值；
(3)是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．
《2025年8月29日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C A B C BC ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，所以，解得.
故选：D.
2．B
【详解】因为长方体，底面，，，
所以四棱锥的体积，故选：B
3．D
【详解】因为，，
所以化简得：
因为是锐角三角形，，所以，两边同时除以，可得，即，
又因为，所以，由正弦定理，已知，则，
因为，所以，即，，
因为，根据大边对大角，，且，所以.
故选：D.
4．C
【详解】由题意可知函数，
所以，又为奇函数，所以，又，所以.故选：C
5．C
【详解】根据诱导公式，
原式，
可化为，
进一步得，
则.故选：C.
6．A
【详解】因为三点共线，且，所以
又因为三点共线，且，所以
可得，即解得所以
故选：
7．B
【详解】因为，
在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理得，则，
所以，
即镇国寺塔的高度约为35.48m．故选：B.
8．C
【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC，
因为，且是的中点，所以DE⊥AC，
因为，平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面，C正确；
在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图，
因为平面，由于平面，
所以平面平面，平面平面，平面，，
则平面，平面，所以，
若平面平面，同理可得，而，平面，
于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确；
过A作边上的高，连，由得，是边上的高，
则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确；
因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，
平面与平面不一定垂直，D不正确.故选：C
9．BC
【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则A，B，C，D不必在同一直线上，故A项错误；
对于B，由向量线性运算性质知，故B项正确；
对于C，由平面向量中三角形重心的性质，可得C项正确；
对于D，由于向量间无法比较大小，故D项错误.
故选：BC.
10．ABD
【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线，
体积为，表面积为．故选：ABD.
11．ABD
【详解】由题意，，则，即，故A正确；
而，故B正确；
当时，，因为函数在上先增后减，
则在上先增后减，故C错误；由，
所以的图象关于直线对称，故D正确.
12．
【详解】由，得，
∴向量在向量上的投影向量为.故答案为：.
13．
【详解】因为，，所以，，
又因为，所以，
所以
，因为，所以.故答案为：
14．①③④
【详解】如下图：
因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长，
则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确；
圆锥的侧面积，故②错误；
设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点，
因为为的三等分点，所以，
则圆柱的体积为，故③正确；
圆柱的侧面积，
剩下几何体的表面积，故④正确；
故答案为：①③④
【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD，
∴.如图，连接AC．
∵底面ABCD为正方形，∴，∵M，N分别为棱AB，BC的中点，
∴，∴，又平面PBD，
∴平面PBD，∵平面MNE，∴平面平面PBD．
（2）如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点.
易知平面平面，由（1）知，平面PBD，平面PBD
∴，∴∠EFB为二面角的平面角，
又底面ABCD，，，
∴，∴，即二面角的大小为.
【详解】（1）∵∴根据正弦定理得，
又∵，.根据余弦定理得，
又∵，
（2）.
（3）∵E是中点，
，
∴.
17．【详解】（1）由已知，得，，．
所以向量，夹角的余弦值为．
（2）由已知，得，
，
又向量与向量垂直，所以，
即，解得．
（3）由已知，得，
又向量与向量平行，，
所以，
整理可得，解得．
18．【详解】（1）若的最小正周期为，则，解得，所以.
（i）由题意，令，，
解得，，即的单调递增区间为.
令，，解得，，
即图象的对称中心为.
（ii），，
又，，，
.
（2）当时，，又在区间上的值域为，
，解得，即的取值范围是.
19．【详解】（1）因为立平面ADE，平面，则平面，
又平面，平面平面，则．．
面平面，且，面平面面PAC，
平面，又平面，得，
又，PA，平面，
平面，平面，平面，平面平面；
（2）由（1）知平面，则即直线AF与平面PAB所成的角为，
且，设，则可计算得，
则，则当时，取到最大值．
（3）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直．
在平面中，过点作，垂足为，
由已知．
，，，得，
又由平面，得，且，PA，平面，
平面，结合平面，得．
又，CD，平面，
平面．
在中，，
．
上存在点B使得直线AF与平面垂直，此时线段的长为．

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