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专题突破练　求圆锥曲线的离心率问题
【方法综述】
求离心率问题有三种思路:一是求出a,b,c三个量中的任何两个量,然后利用离心率的计算公式求解;二是求出a,c或a,b或c,b之间的关系,然后利用离心率的计算公式求解;三是构造出关于离心率e的方程来求解.解决此类问题的关键是灵活应用椭圆和双曲线的定义构造出方程,一般是依据题设寻求一个关于a,b,c的等量关系,再利用a,b,c的关系消去b,得到关于a,c的等式,再转化为关于离心率e的方程,解方程求出e的值,最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.
◆ 类型一　求出a,b,c三个量中的任何两个量
【典型例题】
例1 设直线x-2y-1=0与x轴的交点为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F2,过椭圆的左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为M,且|F1M|=,则椭圆的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
【对点练】
1.已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,点P到椭圆焦点的距离的最小值为2,最大值为18,则椭圆的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
2.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.1
3.已知椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,设椭圆与双曲线的一个交点为P,且cos∠F1PF2=,则双曲线E的离心率为　　　　.
◆ 类型二　求出a,c或a,b或c,b之间的关系
【典型例题】
例2 [2025·江苏南京高二期中] 已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是C的下顶点,直线BF2与C的另一个交点为A,且满足⊥,则C的离心率为 (　 )
A. B. C. D.
【对点练】
4.[2024·浙江金华一中高二期中] 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
5.设双曲线-=1(0A.2 B.
C.2或 D.2或
6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若|AF2|=|F1F2|,cos∠OF1A=(O为坐标原点),则双曲线的离心率为 (　 )
A. B.2
C.2 D.4
7.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在直线的方程是2x-y+5=0,弦的中点坐标是,则椭圆的离心率是 (　 )
A. B.
C. D.
8.[2024·福建泉州高二期中] 已知O为坐标原点,P是椭圆E:+=1(a>b>0)上位于x轴上方的点,F为椭圆E的右焦点.延长PO,PF分别交椭圆E于Q,R两点,若QF⊥FR,|QF|=4|FR|,则椭圆E的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
◆ 类型三　构造出关于离心率e的方程求解
【典型例题】
例3 已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过点F1的直线与圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　　,椭圆的离心率e=　　　　.
【对点练】
9.[2024·成都高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为的直线与C的右支交于点P,若线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点,则C的离心率e= (　 )
A. B. C.2 D.3
10.已知点F为椭圆C:+=1(a>b>0)的上焦点,过原点的直线与C相交于A,B两点,且AF⊥y轴,若5|BF|=13|AF|,则C的离心率为 (　 )
A. B. C. D.
11.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点,若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 (　 )
A. B. C.2 D.
12.[2025·湖北武汉六中高二月考] 已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的焦距为2c,若直线kx-3y+(k+8)c=0恒与椭圆Γ有两个不同的公共点,则椭圆Γ的离心率的取值范围是　　　　. 专题突破 求圆锥曲线的离心率问题
[典型例题]
例1　C　[解析] 根据题意,直线x-2y-1=0与x轴的交点为(1,0),即F2(1,0),所以椭圆的半焦距c=1.由过椭圆的左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为M,将x=-c代入椭圆的方程,可得y=±,即|F1M|==,所以=,又c=1,a2-b2=c2,所以a=2,b=,所以椭圆的离心率e==.故选C.
[对点练]
1.B　[解析] ∵点P到椭圆焦点的距离的最小值为2,最大值为18,∴解得∴椭圆的离心率e==.故选B.
2.A　[解析] 因为双曲线关于x轴对称,所以|F1A|=|F1B|=13,|BF2|=|AB|=5,由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a=13-5=8,所以a=4.在直角三角形BF1F2中,|F1F2|===12=2c,所以c=6,所以C的离心率e===.故选A.
3.　[解析] 由题知,椭圆C的长半轴长为5,短半轴长为3,所以c=4,不妨设交点P在第一象限,记|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆和双曲线定义知解得又因为cos∠F1PF2=,所以由余弦定理可得(5+a)2+(5-a)2-2(5+a)(5-a)×=64,解得a=3,所以双曲线E的离心率e==.
[典型例题]
例2　A　[解析] 由题易知|BF1|=|BF2|=a,令|AF2|=m,则|AF1|=2a-m,∵⊥,∴|AB|2=|AF1|2+|BF1|2,即(m+a)2=(2a-m)2+a2,∴m=,∴|AF2|=,|AF1|=,|AB|=.在△AF1B中,cos∠F1AF2===,在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2,∴4c2=+-2×××=a2,∴=.故选A.
[对点练]
4.D　[解析] 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则a=2b,所以椭圆的离心率e====.故选D.
5.A　[解析] 令A(a,0),B(0,b),过O作OD⊥l于D,由题意得|OD|=c.因为|AB|===c,所以由|AB|·|OD|=|OA|·|OB|,得c2=ab,整理得b2-4ab+a2=0,则-4·+=0,即=0,又06.B　[解析] 由|AF2|=|F1F2|=2c,且|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=2a+2c,所以=a+c,所以在等腰三角形AF1F2中,由cos∠OF1A==,得c=2a,所以双曲线的离心率e==2.故选B.
7.B　[解析] 设直线2x-y+5=0与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=,直线AB的斜率k==2,由两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,所以×(x1-x2)+×(y1-y2)=0,所以==,故椭圆的离心率e===,故选B.
8.C　[解析] 如图,设椭圆E的左焦点为F',连接PF',QF',由题意可知,P,Q关于原点O对称,且O为线段FF'的中点,所以四边形PFQF'为平行四边形,又因为QF⊥FR,所以四边形PFQF'为矩形.设|FR|=m,则|QF|=|PF'|=4m,则|PF|=2a-|PF'|=2a-4m,|F'R|=2a-|FR|=2a-m,所以|PR|=|PF|+|FR|=2a-4m+m=2a-3m.在Rt△F'PR中,|PF'|2+|PR|2=|F'R|2,即16m2+(2a-3m)2=(2a-m)2,可得m=,所以|PF'|=4m=,|PF|=2a-4m=.在Rt△PFF'中,|PF'|2+|PF|2=|FF'|2,即+=4c2,可得c2=,所以椭圆E的离心率e==.故选C.
[典型例题]
例3　　　[解析] 设圆+y2=c2的圆心为A,则A,所以|F1A|=c+c=c.设过点F1且斜率为正的直线与圆A相切于点B,连接AB,则|AB|=c,所以在Rt△F1AB中,|F1B|= =c,故直线F1B的斜率k=tan∠BF1A===.
方法一:设P(c,y1)(y1>0),由点P在椭圆上,得+=1,所以y1=(负值舍去),所以|PF2|=.易得△F1AB∽△F1PF2,所以=,即=,所以4ac=b2,即4ac=(a2-c2),所以e2+4e-=0,解得e=(负值舍去).
方法二:设P(c,y1)(y1>0),由点P在椭圆上,得+=1,所以y1=(负值舍去),所以|PF2|=,所以tan∠PF1F2===,则4ac=b2,即4ac=(a2-c2),所以e2+4e-=0,解得e=(负值舍去).
[对点练]
9.D　[解析] 设O为坐标原点,连接PF2,因为线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点,且O是F1F2的中点,所以PF2⊥F1F2.由-=1,得yP=,则P,又F1(-c,0),所以====,得3c2-8ac-3a2=0,则3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-(舍去).故选D.
10.A　[解析] 由椭圆的对称性,不妨设点A在第一象限,因为点F为椭圆的上焦点,AF⊥y轴,所以点A的纵坐标为c,当y=c时,由+=1,得x=±,所以A.因为过原点的直线与C相交于A,B两点,所以B,因为5|BF|=13|AF|,所以5=13×,化简得36b4=25a2c2,得6b2=5ac,所以6(a2-c2)=5ac,故6e2+5e-6=0,解得e=或e=-(舍去).故选A.
11.A　[解析] 由题意知,以OF为直径的圆的方程为+y2=①,又x2+y2=a2②,所以由①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.设C的离心率为e,由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,可得e=,故选A.
12.　[解析] 直线方程kx-3y+(k+8)c=0可化为k(x+c)+8c-3y=0,则直线过定点,由题意可知+<1,又b2=a2-c2,所以9a4+9c4-82a2c2>0,即9e4-82e2+9>0,可得e2<,又0

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