资源简介

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1.3 集合间的基本运算（精讲）
考向一 交集
【例1-1】（25-26浙江省）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2025·广东 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2016内蒙古）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26 ·山东青岛·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 山西太原·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26 北京 ）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
考向二 并集
【例2-1】（25-26 重庆 ）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（25-26 内蒙古 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025 北京 ）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
考向三 补集
【例3-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】．（25-26 安徽 ）若集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（24-25高一上·全国·周测）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（25-26 ·安徽蚌埠·开学考试）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽 ）已知全集，集合，则的子集个数为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
3．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考向四 韦恩图
【例4】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·黑龙江佳木斯 ）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
考向五 根据交集求参数
【例5-1】（25-26 广东深圳 ）已知集合，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【例5-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（ ）
A．或 B．2或
C．2或或0 D．或或0
2．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
考向六 根据并集求参数
【例6-1】（24-25 重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 ·江苏 ）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 山东滨州·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
考向七 根据补集求参数
【例7-1】（2025·河南 ）已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2025·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（ ）
A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
考向八 容斥定理
【例8】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【一隅三反】
1．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025北京）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
单选题
1．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（河北省邢台市琢名小渔名校联考2025-2026学年高三上学期开学调研检测数学试题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26北京丰台·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京）已知集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
7（24-25 湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西商洛）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
多选题
8．（25-26高一上·全国·课后作业） 设集合，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
10（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（ ）
A．集合的子集个数为4 B．若，则
C．若，则 D．若，则
填空题
11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ．
14．（2025湖北）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ．
解答题
15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集.
(1)求；
(2)求.
16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若存在集合，使得，求．
17．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且.
(1)若，求实数组成的集合；
(2)若，求，的值.
18．（24-25高一上·广东清远）已知集合
(1)若，求；
(2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
19．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，.
(1)若，且，求的值及集合；
(2)若，求的值及.
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1.3 集合间的基本运算（精讲）
考向一 交集
【例1-1】（25-26浙江省）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，，则.故选：D.
【例1-2】（2025·广东 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意有，故选：C.
【一隅三反】
1．（2016内蒙古）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，解得或或，
所以，又，所以.
故选：B.
2．（25-26 ·山东青岛·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，，所以.
故选：A.
3．（24-25 山西太原·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，，所以.
故选：A.
4．（25-26 北京 ）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因，
则.
故选：B
考向二 并集
【例2-1】（25-26 重庆 ）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合，
又由集合，可得.
故选：B.
【例2-2】（25-26 内蒙古 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A.
【一隅三反】
1．（2025 北京 ）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】集合，所以.
故选：D
2．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，所以.
故选：B.
3（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，而，在数轴上表示出集合，
如图，所以．

故选：C.
考向三 补集
【例3-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，则.故选：D
【例3-2】．（25-26 安徽 ）若集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，则，
又，所以.
故选：D
【例3-3】（24-25高一上·全国·周测）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】集合，集合，
对于A选项：，故A正确；
对于B选项：，故B错误；
对于C、D选项：，，故C正确；
，故D正确．故选：ACD．
【一隅三反】
1．（25-26 ·安徽蚌埠·开学考试）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B.
2．（2025·安徽 ）已知全集，集合，则的子集个数为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为，则，所以的子集个数为.故选：C.
3．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.因为集合，
所以.故选：D.
考向四 韦恩图
【例4】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】全集，集合，则，
，由韦恩图得.故选：A
【一隅三反】
1．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即，
而，，则，，
故阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知图中阴影部分表示的集合为.
又或，，
所以.
故选：A
3．（2025·黑龙江佳木斯 ）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，且，
则，
阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，
则阴影部分表示的集合为.
故选：D
考向五 根据交集求参数
【例5-1】（25-26 广东深圳 ）已知集合，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】，，，
所以，又，
所以，则.
故选：C.
【例5-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在，中，，
∴解得.故选：C.
【例5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3．
若集合中的两个整数是2，3，则解得；
若集合中的两个整数是0，1，则解得．
综上可得，或，即的取值范围是．
故选：A
【一隅三反】
1．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（ ）
A．或 B．2或
C．2或或0 D．或或0
【答案】D
【解析】解方程，得或，所以，
又，所以集合B是集合A的子集．
集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素，
所以a的可能取值有、、0．
故选：D
2．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，得．则的取值范围为.故选：A
3．（24-25 南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意知，则集合为，，，共4个.故选：B．
考向六 根据并集求参数
【例6-1】（24-25 重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程的两根为或
，.
可能为
(1) 时，，符合
(2) 时，，符合
(3) 时，，符合
综上，实数m组成的集合为
故选：D
【例6-2】（24-25四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，解得，即.
故选：D
【例6-3】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，则，
若，则，解得；
若且，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选：D.
2．（24-25 ·江苏 ）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
∴结合数轴可知：.
故选：A.
3．（24-25 山东滨州·期末）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，故选：A
4．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
又，
所以，解得，所以的取值范围是．
（2）因为，所以．
若，则，可得，满足；
若，要使，则，不等式组无解．
综上，的取值范围是．
考向七 根据补集求参数
【例7-1】（2025·河南 ）已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由集合，，因为，可得.故选：B.
【例7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
【答案】{或}
【解析】因为，
所以当时，；当时，.
因为，所以.
方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或.
即实数的取值范围为或.
方法二 ，考虑的反面，
显然时符合；
当时，需满足且，即且.综上得.
由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或.
故答案为：或.
【一隅三反】
1．（2025·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（ ）
A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3
【答案】D
【解析】因为，所以，且．
由题意得，，且，，，．
若，则，不满足，不符合题意；
若，则，此时，符合题意；
若，则，此时，，符合题意．
故选：D．
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】 由得，优先考虑为空集的情况：
当，即时，，符合题意；
当，即时，需解得.
综上得，则的取值范围为.
故选：A.
3．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或；
(2)
【解析】（1）时，，
故，
或，或，
故或；
（2），则，解得，
或，，
要想，需满足，解得，
综上，的取值范围是.
考向八 容斥定理
【例8】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【答案】A
【解析】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；
集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；
则，
则.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设集合参加足球队的学生，
集合参加排球队的学生，
集合参加游泳队的学生，
则，
，
设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得，
三项都参加的有4人，
故选：C.
2．（2025北京）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，
则，，，．

不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，
则，，，．
由三个集合的容斥关系公式得，
解得，故接受调查的小学生共有人．
故选：A.
3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为人.
故选：C.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，
如下图所示：
由图可知，该班学生人数为.
故选：B.
单选题
1．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D．
2．（河北省邢台市琢名小渔名校联考2025-2026学年高三上学期开学调研检测数学试题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合，
因为，所以.
故选：C
3．（25-26北京丰台·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，结合，
故，故选：B
4．（2025·天津 ）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
5．（2025·河北）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，，则，故．
故选：B．
6．（2025·北京）已知集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
错误，错误，错误，
，
所以，D正确，
故选：D
7（24-25 湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：若，则，所以，
与矛盾，故A错误；
B：若，则，所以，
与矛盾，故B错误；
C：若，则，
由，得，所以，
与矛盾，故C错误；
D：若，则，
由，得，
所以，故D正确.
故选：D
8．（2024·陕西商洛）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
【答案】D
【解析】因为方程的判别式，
所以，
根据题意得到集合，，
即，，
因为，所以，
所以或，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以或.
故选：D
多选题
8．（25-26高一上·全国·课后作业） 设集合，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为集合，所以，
因此，，所以A错误，D正确，B正确.
又因为，所以C错误.
故选：BD
9．（2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于，，故A正确；
对于B，因为，
是偶数，所以，故B正确；
对于C，，，故正确；
对于D，，，
则，故D错误.
故选：ABC.
10（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（ ）
A．集合的子集个数为4 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【解析】因为，
所以集合的子集个数为，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故C错误；
对D，当时，，满足，
当时，，当时，，即，
当时，，当时，，即，
综上，，故D错误.
故选：A
填空题
11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
【答案】2
【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，所以，故集合中必有1，2，3这三个元素，
因为，所以，
故集合中可能含有元素4或5或6，
所以集合.
故答案为：
14．（2025湖北）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①当时，则，即，因为集合，
，则或，
又，则或，解得或，又，所以；
②当时，则，即，此时，符合题意．
综上所述，实数的取值范围为或．
故答案为：
解答题
15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)或或
(2)或
【解析】（1）由于
所以或或.
（2）方法一 ，所以或.
方法二 利用德摩根定律结合（1）得或.
16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若存在集合，使得，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，所以．
（2）因为集合，所以，
又，所以，解得．
17．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且.
(1)若，求实数组成的集合；
(2)若，求，的值.
【答案】(1)
(2)；
【解析】（1）若，可得，因为，所以．
当，则；当，则；当，．
综上，可得实数a组成的集合为．
（2）因为，，
且，，所以，，所以，
解得，解，得或，所以，
所以，所以，解得．
18．（24-25高一上·广东清远）已知集合
(1)若，求；
(2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）时，，
故；
（2）选①，，则，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选②，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选③，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是.
19．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，.
(1)若，且，求的值及集合；
(2)若，求的值及.
【答案】(1)，；
(2)，.
【解析】（1）依题意，，由，且，，得，
即，因此，解得，经验证符合题意，
解方程，得或，，
所以，.
（2）依题意，，由，得，
由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意，
，则，
所以，.
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