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集合的概念（精讲）
考向一 集合概念的辨析
【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　）
A．与1非常接近的全体实数
B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高中学生中的游泳高手
【答案】B
【解析】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误；
对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；
对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误；
对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误.
故选：B
【一隅三反】
1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　）
A．与1非常接近的全体实数
B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
【答案】B
【解析】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误；
对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；
对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误；
对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误.
故选：B．
2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（ ）
①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．
①中的“著名”没有明确的界限；
②中的研究对象显然符合确定性；
③中“密度小”没有明确的界限．
故选：D
3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（ ）
A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪
C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数
【答案】D
【解析】根据集合的元素需要满足确定性，
对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合；
对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1．可以构成集合．故选：D．
考向二 元素与集合的关系
【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或.
又，所以，，故.
故选：C.
【例2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，，，
所以.所以只有选项B正确.
故选：B.
【例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，A错误；对于BC，，B，C错误；
对于D，因为，且，D正确.故选：D
【变式】
1．（2025·辽宁）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得，所以.
故选：A.
2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，所以，
故A，C，D错误，B正确
故选：B.
3．（24-25 贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对），
选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除；
再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上.
故选D．
考向三 元素与集合的关系求参数
【例3-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以，时，，
解得或，即．故选：D．
【例3-2】（2025·辽宁）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.故选：C
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江）已知集合，且，则等于（ ）
A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为集合，且，
则或，所以或；
当时，不合题意舍；
当时，符合题意；
故选：B.
2（2025江苏南通·期中）已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】若，显然时不符合集合元素的互异性；
若，不符合集合元素的互异性；
若或，不符合集合元素的互异性；
综上，.
故选：C
3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知且解得.故选：C.
4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由且，得解得，故选：A．
考向四 集合的分类
【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（ ）
A．是能被3整除的数 B．
C． D．是面积为1的菱形
【答案】ABD
【解析】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集；
对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集；
对于C，该集合可表示为，为有限集；
对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集．
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（ ）
A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集；
B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集；
C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集；
D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集
【答案】C
【解析】由方程组可得：，即，
若，则，不成立，方程组无解；
若，则，可得，即方程组只有一组解.
对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确；
对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确；
对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误；
对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确；
故选：C.
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集：
(1)所有大于0且小于20的奇数；
(2)不等式的解集；
(3)在实数范围内的解集；
(4)所有大于3且小于4的实数；
(5)方程的解集．
【答案】(1)有限集；(2)无限集；(3)空集；(4)无限集；(5)有限集．
【解析】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集；
（2）不等式的解集，是无限集；
（3）的实数解集，是空集；
（4）所有大于3且小于4的实数，是无限集；
（5）方程的解集，是有限集．
3．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
【答案】(1)能组成集合，为有限集
(2)能组成集合，为无限集
(3)能组成集合，为
(4)不能组成集合，理由见解析
【解析】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.
（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.
（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.
（4）所给对象不确定，不能组成集合.
考向五 集合相等
【例5-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【解析】因为，且，则，解得或.故选：D.
【例5-2】（2025安徽）集合，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为集合，所以方程有相等实根2，
根据根与系数的关系可知，，所以，故选：B
【一隅三反】
1．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
若，解得，此时，不满足集合的互异性；
若，解得（舍）或，
当时，，符合题意，所以，
所以.
故选：B
2．（2025山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【解析】因为，且，所以，则有，
所以，且，得，
所以，故答案为：0
3．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ．
【答案】0
【解析】因为，所以.故答案为：0.
4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .
【答案】0
【解析】由题意可知：，因为，则，可得，
则，可得，且满足，所以.故答案为：0.
考向六 元素个数求参数
【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值；
(2)若中至多有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至少有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【解析】（1）当时，原方程变为，
此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，
，即，
原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素．
（2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素．
当，即时，原方程无实数解．
结合（1）知，当或时中至多有一个元素．
（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，
当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，由得．
综上可知当时，中至少有一个元素．
【一隅三反】
1．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值
【答案】
【解析】由题意有：当时，满足题意，
当时，，
故答案为：.
2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，解得．
（2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意；
②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解，
即，解得且．
综上所述，实数的取值范围为．
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
(1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值：
(2)若中至多有一个元素，求满足的条件．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）因为是单元素集合（只有一个元素），
①当时，原方程变为，此时，符合题意；
②则，，解得，
所以或．
（2）因为中至多有一个元素，则或，解得或.
5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素．
(1)证明：；
(2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)的值为的值为62．
【解析】（1）证明：原方程等价于或，
即或.
因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素，
所以方程或均有实数根，
由求根公式可得：，，
，.
由于，
所以当时，恰有3个元素，即．
（2）由（1）知，，原方程等价于或，
则两个方程的三个根分别为.
若它们是直角三角形的三边，
则且
解得：．
故的值为，的值为62．
单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数
【答案】D
【解析】只有选项有明确的标准，能构成一个集合．故选：.
2．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
【答案】C
【解析】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误；
对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确；
对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误；
对于（4），集合是无限集.
故选：C
3．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法：
①若，则；
②集合有两个元素；
③集合是有限集．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①当时不成立，不正确；
②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
③集合是有限集，正确．
故选：B
4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据的意义,,
故选：C.
5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．1或
【答案】C
【解析】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去；
当，即，即时，解得或（舍去），
又时，，此时集合为，符合题意，所以．
故选：C
6．（24-25 河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】当时，可能取值为，
当时，可能取值为，
当时，可能取值为.
故可能取值为，共6个.
故选：A
7．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.
故选：C.
8．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知且解得.故选：C.
多选题
9．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．2
【答案】AC
【解析】由题意知集合，且，
故当时，；
当时，，但是时，，违反集合元素的互异性，
故m的取值可为1，3，
故选：AC
10．（2025重庆黔江·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集 B．若，则；
C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集.
【答案】ABD
【解析】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；
对于B：当时，，则，故B错误；
对于C：只有一个元素，故C正确；
对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.
故选：ABD.
11．（2025福建宁德·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
【答案】CD
【解析】根据的定义知，A、B均不正确；
只有一个元素，C正确；
中只有两个元素，D正确.
故选：CD.
填空题
12．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 .
【答案】
【解析】因为，所以或.
若，则或，
当时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，，此时，符合题意；
若，则，由上可知，不满足互异性.
综上可知，.
故答案为：
13．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ．
【答案】
【解析】由集合中的元素满足互异性可知，
解得且且且．
故答案为：
14．（2025上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数
【答案】或
【解析】由方程，可得化为，
解得，
当时，此时，可得，不符合题意，舍去；
当时，即时，可得，此时，符合题意；
当且时，可得，解得，符合题意，
所以实数的值为或.
故答案为：或.
解答题
15（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)接近于0的数的全体；
(2)平面上到点的距离等于2的点的全体；
(3)方程在实数范围内的解；
(4)720的所有正约数；
(5)所有大于小于1的实数．
【答案】(1)不能，不满足确定性
(2)能，为无限集
(3)能，为空集，也为有限集
(4)能，为有限集
(5)能，为无限集
【解析】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合；
（2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集；
（3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集；
（4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集；
（5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集.
16．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合C；
(3)方程的实数根组成的集合D；
(4)函数图象上的所有点组成的集合E；
(5)不等式 的解组成的集合F．
【答案】(1)，是有限集
(2)，是有限集
(3)，是有限集
(4)，是无限集
(5)，是无限集
【解析】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集；
（2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集．
（3）方程的实数根为、，所以，是有限集．
（4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集．
（5）由，得，所以，是无限集．
17．（2025新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)且且且且；
(2)或或.
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知，
即且且且且；
（2）若，则或，解得：或或，
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
故或或.
18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)若A是没有元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为
(3)
【解析】（1）A是空集，且，，解得，的取值范围为：；
（2）当时，集合，
当时，，，解得，此时集合，
综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为；
（3）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.
19．（2024广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)且
【解析】（1）若集合是空集，则，
解得.故实数的取值范围为.
（2）若集合是单元素集，则
①当时，即时，，满足题意；
②当，即时，，解得，
此时.
综上所述，或.
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.
当中有0个元素时，由(1)知；
当中有2个元素时，解得且.
综上所述，实数的取值范围为且.
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集合的概念（精讲）
考向一 集合概念的辨析
【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　）
A．与1非常接近的全体实数
B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高中学生中的游泳高手
【一隅三反】
1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　）
A．与1非常接近的全体实数
B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（ ）
①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（ ）
A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪
C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数
考向二 元素与集合的关系
【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2025·辽宁）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25 贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（ ）
A． B． C． D．
考向三 元素与集合的关系求参数
【例3-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2025·辽宁）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江）已知集合，且，则等于（ ）
A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3
2（2025江苏南通·期中）已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向四 集合的分类
【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（ ）
A．是能被3整除的数 B．
C． D．是面积为1的菱形
【一隅三反】
1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（ ）
A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集；
B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集；
C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集；
D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集：
(1)所有大于0且小于20的奇数；
(2)不等式的解集；
(3)在实数范围内的解集；
(4)所有大于3且小于4的实数；
(5)方程的解集．
3．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
考向五 集合相等
【例5-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或 B． C． D．或
【例5-2】（2025安徽）集合，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【一隅三反】
1．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
3．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ．
4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .
考向六 元素个数求参数
【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值；
(2)若中至多有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至少有一个元素，求的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值
2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围．
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
(1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值：
(2)若中至多有一个元素，求满足的条件．
5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素．
(1)证明：；
(2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值．
单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数
2．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
3．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法：
①若，则；
②集合有两个元素；
③集合是有限集．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．1或
6．（24-25 河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．2
10．（2025重庆黔江·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集 B．若，则；
C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集.
11．（2025福建宁德·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
填空题
12．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 .
13．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ．
14．（2025上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数
解答题
15（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)接近于0的数的全体；
(2)平面上到点的距离等于2的点的全体；
(3)方程在实数范围内的解；
(4)720的所有正约数；
(5)所有大于小于1的实数．
16．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合C；
(3)方程的实数根组成的集合D；
(4)函数图象上的所有点组成的集合E；
(5)不等式 的解组成的集合F．
17．（2025新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)若A是没有元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
19．（2024广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
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