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1.2 集合间的关系（精讲）
考向一 集合间的关系
【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考向二 （真）子集
【例2-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【例2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足 的集合的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【一隅三反】
1．（25-26湖北）设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．8 C．14 D．15
3．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向三 空集
【例3-1】（2025天津）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3-2】（2025湖北）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（ ）
A． B．
C．，或 D．
3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向四 根据集合关系求参数
【例4-1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【例4-2】（2025北京）已知集合，，若，则x的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【例4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【一隅三反】
1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．1 C．0 D．
2．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（ ）．
A．2 B．2，
C．2，，0 D．2，，0，1
3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
5．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
考向五 集合相等
【例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
单选题
1.（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．AB C．BA D．
2.（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025北京）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·浙江）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5.（2025河南）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
6.（2024·安徽）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，，，则集合 的关系是（ ）
A． C B B． A B
C． C=B D． B C
8．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的有（ ）
A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若 ，则
多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
填空题
12．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ．
13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 .
14．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ．
解答题
15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围
(2)若，求实数的值
16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值．
17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，．
(1)若，存在集合使得 ，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围．
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1.2 集合间的关系（精讲）
考向一 集合间的关系
【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，不是的元素，故A错误；
对于B，“”不能用于表示元素与集合的关系，故B错误；
对于C，空集是任何集合的子集，故，故C正确．
对于D，表示是无限集，而中只有元素1，2，，故D错误．
故选：C.
【例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误；
集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则 成立，故B正确；
空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误；
因为空集中不含任何元素，，故D错误．
故选：.
【例1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，集合，
因为，所以C、D不正确；
“”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确
所以．
故选：A.
【一隅三反】
1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，应为；对于B，应为；
对于 C，空集是任何集合的子集，故；
对于D，是点集，是数集，故说法错误．
故选：C.
2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，
，故，故选：B
4．（2025·山东）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合,，则.故选：A
考向二 （真）子集
【例2-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D.
【例2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足 的集合的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【解析】方法一： 的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．
因为集合，，
所以集合可为，共7个．
方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，所以满足 的集合有（个）．故选：B．
【一隅三反】
1．（25-26湖北）设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】D
【解析】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
故选：D.
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【解析】由
又由，可得，即.
故的非空真子集的个数为.
故选：C.
3．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【解析】因为集合满足，
所以，，，
又集合满足，
所以集合有：，，，，共有4个，
故选：A.
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】依题意，集合可以为：，所以集合C的个数为4.故选：D
考向三 空集
【例3-1】（2025天津）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
【例3-2】（2025湖北）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，二次方程无解，故，解得.
故选：D
【一隅三反】
1．（2025河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.
答案：A.
2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（ ）
A． B．
C．，或 D．
【答案】B
【解析】对于A，不是空集，故A错误；
对于B，无解，所以集合是空集，故B正确；
对于C，集合，或不是空集，故C错误；
对于D，集合不是空集，故D错误.
故选：B.
3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合是空集，则关于的方程无实根，
当时，方程为有两个不等实根，不符合要求，
当时，，方程无实根，
所以的取值范围是.故选：B
考向四 根据集合关系求参数
【例4-1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABD
【解析】由，
，
当时，，满足；
当时，，则或，
解得或.
综上所述，或或.
故选：ABD.
【例4-2】（2025北京）已知集合，，若，则x的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意得，排除C；
由，得，排除A；
由，得，排除D；
令，可得，，符合，故B正确.
故选：B．
【例4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】集合，由，得
解得且，
所以实数的取值范围是且.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】BCD
【解析】由十字相乘法可得，所以或，即．
当时，B可能为，也可能不为．
B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论．
当时，，此时满足；
当时，因为，所以．
又，所以或，解得或1．
综上可知，a的值为或1或0．
故选：BCD
2．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（ ）．
A．2 B．2，
C．2，，0 D．2，，0，1
【答案】C
【解析】因为，所以．
当时，集合不满足集合元素的互异性；
当时，或（舍去），即，
此时，，满足；
当时，或，
当时，，，满足，
当时，，，满足．
所以或或．
故选：C．
3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得.
当时，则或解得.
综上，，即m的取值范围是.

故选：C.
4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】因为，又 ，且 ，
所以需满足， 解得 .
故选：C
5．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
【答案】ABC
【解析】依题意可得，
对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，当时，则，解得或，故C正确；
对于D，当时，，故D错误．
故选：ABC．
考向五 集合相等
【例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；
对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；
集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，
集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】A
【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
3．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，为点集，为数集，则；
对于D选项，为数集，为点集，则.
故选：B.
单选题
1.（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．AB C．BA D．
【答案】C
【解析】，故BA.故选：C
2.（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，二次方程无解，故，解得.
故选：D
3.（2025北京）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
4.（2024·浙江）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
5.（2025河南）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
6.（2024·安徽）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
若，则，故实数a的取值范围是.
故选：B.
7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，，，则集合 的关系是（ ）
A． C B B． A B
C． C=B D． B C
【答案】C
【解析】集合，
当时，，
当时，，
又集合， C，
集合，集合，，
可得，
综上可得 C=B
故选：C．
8．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的有（ ）
A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若 ，则
【答案】A
【解析】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若 ，则，故D正确.
故选：A
多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由可得，故 ，, ,,AC正确，BD错误，故选：AC
10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
【答案】ABD
【解析】空集只有一个子集，故A错；
空集时任何非空集合的真子集，故B错；
因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确；
例如，，，满足且，此时，故D错.
故选：ABD.
11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
【答案】ABC
【解析】依题意可得，
对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，当时，则，解得或，故C正确；
对于D，当时，，故D错误．
故选：ABC．
填空题
12．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素，
所以，所以，则实数的取值范围为．
故答案为：
13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 .
【答案】或
【解析】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集.
因为，
所以，若为空集，则，解得；
若为单元素集合，则，解得，
将代入方程，得，解得，
所以，符合要求；
若为双元素集合，则，即，
此时，即，解得
综上所述，的取值范围为或.
故答案为：或.
14．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知，，且，
得，解得，
所以的取值范围为，
故答案为：.
解答题
15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围
(2)若，求实数的值
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）若，则，
即实数的取值范围为；
（2）若，则
即实数的值为2.
16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值．
【答案】2
【解析】因为，所以．由题知，
当时，，即，解得或．
若，则，所以，满足题意；
若，则，不符合题意．
当时，，即，解得或．
若，则，不合题意．
综上所述，实数的值为2．
17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．
18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】（1）由，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，
则有或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，．
(1)若，存在集合使得 ，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围．
【答案】(1)，，，，，
(2)
【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以．
又，故 ．
由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,．
（2）当时，是的一个子集，
此时对于方程，有，所以．
当时，因为，所以当时，，即，
此时，因为，所以不是的子集；
同理，当时，，也不是的子集；
当时，，也不是的子集．
综上，满足条件的的取值范围是．
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