资源简介

1.2 矩形的性质与判定 第3课时
素养目标
1.会用矩形的定义及性质进行有关的论证和计算.
2.通过运用矩形知识解决具体平面几何问题,提高综合运用能力.
◎重点::矩形的性质及判定方法,矩形性质和判别的综合应用.
【预习导学】
知识点：矩形的性质与判定
阅读教材本课时“例3”和“例4”,回答下列问题.
1.“例3”用到了矩形的哪些特殊性质
　　　　
2.完成教材本课时“想一想”.
　为了研究特殊四边形,刘老师制作了这样一个教具(如图1):用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD,并在A与C,B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定.课上,刘老师右手拿住木条BC,用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2),观察所得到的四边形,下列结论正确的有 (　　)
①∠BAC=45°;②AC的长度变小;③AC=BD;④AC⊥BD.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
【合作探究】
任务驱动一：如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E、F、G、H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是　　　　.
变式训练　在上题中,四边形ABCD的面积是　　　　.
方法归纳交流　还记得菱形的面积为对角线乘积的一半,若一个四边形两条对角线相互垂直,则该四边形的面积为对角线乘积的一半.
任务驱动二：如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF是矩形.请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线.(请保留画图痕迹)
　　　　
任务驱动三：如图,直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.
(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
　　方法归纳交流　本题主要考查了对矩形的理解以及对图象的认识能力.
任务驱动四：如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且AF=DC,连接CF.
(1)求证:D是BC的中点.
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
　　　　
　　　　
　　　　
　如图,在等边△ABC中,D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数.
(2)取AB边的中点F,连接CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.
　　　　
参考答案
【预习导学】
复习导入
相等　直角
(1)直角
(2)直角
(3)对角线相等
知识点
1.矩形的对角线相等,矩形的对角线互相平分,矩形的四个角是直角.
2.(1)四边形ABDE是平行四边形.
证明:∵四边形ADCE是矩形,
∴AE∥BD,AE=CD.
∵AB=AC,AD为∠BAC的平分线,
∴AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴AE=BD,∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)DF∥AB,DF=AB.
证明:∵四边形ADCE是矩形,∴AF=CF.
又∵BD=CD,∴DF是△ABC的中位线,
∴DF∥AB,DF=AB.
对点自测　B
【合作探究】
任务驱动一
12
变式训练　24
任务驱动二
解:作法如下:
(1)连接AB,EF,交点设为P,(2)如图,连接OP,
因为OA=OB,所以△OAB为等腰三角形,
根据矩形中对角线互相平分,知P为AB的中点,
故根据等腰三角形的“三线合一”性质,OP即为∠AOB的平分线.
任务驱动三
解:(1)如图(答案不唯一).
(2)如图(答案不唯一).
任务驱动四
解:(1)证明:∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE,
∴△AFE≌△DBE(AAS),
∴AF=BD.
∵AF=DC,∴BD=DC,
即D是BC的中点.
(2)四边形ADCF是矩形.
证明:∵AF=DC,AF∥DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCF是矩形.
素养小测
解:(1)∵△ABC是等边三角形,且D是BC的中点,
∴DA平分∠BAC,即∠DAB=∠DAC=30°.
∵△DAE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°.
(2)略.

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