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广东省江门市新会区陈经纶中学2025届高三上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·新会月考）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·新会月考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·新会月考）已知，则（　　）
A． B． C．3 D．4
4．（2024高三上·新会月考）已知且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
5．（2024高三上·新会月考）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三上·新会月考）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·新会月考）已知为等比数列的前项积，若，且（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·新会月考）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·新会月考）已知向量，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角余弦值为
D．在方向上的投影向量为
10．（2024高三上·新会月考）若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（　　）
A．
B．点是函数的对称中心
C．函数在上单调递增
D．直线是函数图象的对称轴
11．（2024高三上·新会月考）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·新会月考）已知函数则　 　．
13．（2024高三上·新会月考）已知向量与的夹角为，，，则　 　.
14．（2024高三上·新会月考）已知函数，若，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·新会月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
16．（2024高三上·新会月考）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（2024高三上·新会月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
18．（2024高三上·新会月考）已知为数列的前项和，若.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，若，求满足条件的最大整数.
19．（2024高三上·新会月考）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，不相等的实数满足，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】对复数的分式进行化简，关键在于利用复数的乘法法则将分母实数化，即给分子分母同乘分母的共轭复数，然后展开计算，逐步化简得出结果 .
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合可得只有当时，的取值分别为在集合中，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，再根据集合的特征，结合集合交集的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据两角和的余弦公式结合同角三角函数关系求解即可.
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：，，则，解得，
当时，一定成立，当时，不一定成立，
则“”是“p为真命题”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由不等式恒成立求得的取值范围，再根据的范围结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，即函数是奇函数，
当时，.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，再根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，最后取特殊值判断即可.
7．【答案】B
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：数列为等比数列，由，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等比中项求得，再由等比数列下标性质求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即①，
又因为函数为奇函数，所以，
即②，
联立①②可得：，则．
故答案为：D．
【分析】由题意，利用奇偶性解方程组求解可得函数的解析式，再求即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
A、由，可得与不平行，故A错误；
B、易知，，则，故B正确；
C、，，
则，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法计算即可.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数相邻两条对称轴距离为，可得，解得，
因为，所以，又因为，所以，
则函数，故A正确；
B、由，可得函数对称中心的横坐标：，当时，对称中心为，故B正确；
C、当时，，则在上不单调递增，故C错误；
D、把代入，可得，则不是对称轴，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据相邻对称轴距离为，求得的值，确定函数的解析式，即可判断A；整体代入法验证即可判断BD；利用正弦函数图象性质即可判断C.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：同一坐标系作出函数和的图象，如图所示：
A、由图象知，要使方程有四个不同的零点，则，故A正确；
B、因为，
且函数关于对称，
由图象得，且，则，解得，
则，即，其中，
令，当且仅当时等号成立，则的最小值，
则，故B正确；
C、是的两个根，则，
即，所以，
由是的两个根，所以，
所以，故C不正确；
D、由，可得，
令，可得函数在上单调递增，
所以，即，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】同一直角坐标系内作出和的图象，数形结合即可判断A；由图可知且，，结合选项，利用基本不等式、根与系数的关系、以及函数的单调性分析即可判断BCD.
12．【答案】1
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，则．
故答案为：1.
【分析】根据函数的解析式直接代值，结合对数性质计算即可.
13．【答案】6
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量与的夹角为，，，
则.
故答案为：6.
【分析】根据向量的模长公式结合向量数量积的定义求解即可.
14．【答案】-2
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】函数，
因为，
所以
则-2-m=2+m，则.
故答案为：-2.
【分析】利用已知条件结合函数的解析式和代入法，从而得出实数m的值.
15．【答案】（1）解：由得，又，所以函数在处的切线方程为：，即
（2）解：由，令解得
令解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，最小，且最小值为，，，
故最大值为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）在某点的切线方程，求导、代入横坐标、点斜式写切线方程；
（2）最值：求出区间内的极值和端点值，判断最大值和最小值.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，
解得，，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而建立关于首项和公差的方程组，得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，从而得出数列的前n项和．
17．【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解： 若，， 则，
由正弦定理，可得，解得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数关系求得，再利用正弦定理求解即可.
（1）变形为：，
所以，
因为，所以，
（2）因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
18．【答案】（1）证明：由可得，
当时，，解得，
当时，，即，
则
，即，
即，即，
又因为，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）得，
则，
设，
则
令，得，
即，即，
又因为，，，
所以满足条件的最大整数为为5.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的关系式和等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
(2)由（1）结合等比数列的通项公式和已知条件，从而得出数列的通项公式，再结合等比数列前n项和公式和指数函数的单调性，从而得出满足条件的最大整数.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的极小值为，无极大值；
（2）证明：构造函数，，
令，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
因为，所以，所以在上单调递增，
由，可得，
因为，所以，
要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，
令，则，所以为上的增函数，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
对任意，都有.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性将双变量问题转化为单变量问题，再构造新的函数，利用导数证明即可.
（1）依题意，，则，
令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，无极大值；
（2）令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以在上单调递增，
，即，
因为，所以，
要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，
令，则，
所以为上的增函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，都有，从而原命题得证.
1 / 1广东省江门市新会区陈经纶中学2025届高三上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·新会月考）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】对复数的分式进行化简，关键在于利用复数的乘法法则将分母实数化，即给分子分母同乘分母的共轭复数，然后展开计算，逐步化简得出结果 .
2．（2024高三上·新会月考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合可得只有当时，的取值分别为在集合中，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，再根据集合的特征，结合集合交集的定义求解即可.
3．（2024高三上·新会月考）已知，则（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据两角和的余弦公式结合同角三角函数关系求解即可.
4．（2024高三上·新会月考）已知且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．（2024高三上·新会月考）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：，，则，解得，
当时，一定成立，当时，不一定成立，
则“”是“p为真命题”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由不等式恒成立求得的取值范围，再根据的范围结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
6．（2024高三上·新会月考）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，即函数是奇函数，
当时，.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，再根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，最后取特殊值判断即可.
7．（2024高三上·新会月考）已知为等比数列的前项积，若，且（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：数列为等比数列，由，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等比中项求得，再由等比数列下标性质求解即可.
8．（2024高三上·新会月考）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即①，
又因为函数为奇函数，所以，
即②，
联立①②可得：，则．
故答案为：D．
【分析】由题意，利用奇偶性解方程组求解可得函数的解析式，再求即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·新会月考）已知向量，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角余弦值为
D．在方向上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
A、由，可得与不平行，故A错误；
B、易知，，则，故B正确；
C、，，
则，故C正确；
D、在方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法计算即可.
10．（2024高三上·新会月考）若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（　　）
A．
B．点是函数的对称中心
C．函数在上单调递增
D．直线是函数图象的对称轴
【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数相邻两条对称轴距离为，可得，解得，
因为，所以，又因为，所以，
则函数，故A正确；
B、由，可得函数对称中心的横坐标：，当时，对称中心为，故B正确；
C、当时，，则在上不单调递增，故C错误；
D、把代入，可得，则不是对称轴，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据相邻对称轴距离为，求得的值，确定函数的解析式，即可判断A；整体代入法验证即可判断BD；利用正弦函数图象性质即可判断C.
11．（2024高三上·新会月考）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：同一坐标系作出函数和的图象，如图所示：
A、由图象知，要使方程有四个不同的零点，则，故A正确；
B、因为，
且函数关于对称，
由图象得，且，则，解得，
则，即，其中，
令，当且仅当时等号成立，则的最小值，
则，故B正确；
C、是的两个根，则，
即，所以，
由是的两个根，所以，
所以，故C不正确；
D、由，可得，
令，可得函数在上单调递增，
所以，即，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】同一直角坐标系内作出和的图象，数形结合即可判断A；由图可知且，，结合选项，利用基本不等式、根与系数的关系、以及函数的单调性分析即可判断BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·新会月考）已知函数则　 　．
【答案】1
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，则．
故答案为：1.
【分析】根据函数的解析式直接代值，结合对数性质计算即可.
13．（2024高三上·新会月考）已知向量与的夹角为，，，则　 　.
【答案】6
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量与的夹角为，，，
则.
故答案为：6.
【分析】根据向量的模长公式结合向量数量积的定义求解即可.
14．（2024高三上·新会月考）已知函数，若，则　 　.
【答案】-2
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】函数，
因为，
所以
则-2-m=2+m，则.
故答案为：-2.
【分析】利用已知条件结合函数的解析式和代入法，从而得出实数m的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·新会月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由得，又，所以函数在处的切线方程为：，即
（2）解：由，令解得
令解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，最小，且最小值为，，，
故最大值为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）在某点的切线方程，求导、代入横坐标、点斜式写切线方程；
（2）最值：求出区间内的极值和端点值，判断最大值和最小值.
16．（2024高三上·新会月考）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，
解得，，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而建立关于首项和公差的方程组，得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，从而得出数列的前n项和．
17．（2024高三上·新会月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解： 若，， 则，
由正弦定理，可得，解得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数关系求得，再利用正弦定理求解即可.
（1）变形为：，
所以，
因为，所以，
（2）因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
18．（2024高三上·新会月考）已知为数列的前项和，若.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，若，求满足条件的最大整数.
【答案】（1）证明：由可得，
当时，，解得，
当时，，即，
则
，即，
即，即，
又因为，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）得，
则，
设，
则
令，得，
即，即，
又因为，，，
所以满足条件的最大整数为为5.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的关系式和等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
(2)由（1）结合等比数列的通项公式和已知条件，从而得出数列的通项公式，再结合等比数列前n项和公式和指数函数的单调性，从而得出满足条件的最大整数.
19．（2024高三上·新会月考）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，不相等的实数满足，求证：.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的极小值为，无极大值；
（2）证明：构造函数，，
令，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
因为，所以，所以在上单调递增，
由，可得，
因为，所以，
要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，
令，则，所以为上的增函数，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
对任意，都有.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性将双变量问题转化为单变量问题，再构造新的函数，利用导数证明即可.
（1）依题意，，则，
令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，无极大值；
（2）令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以在上单调递增，
，即，
因为，所以，
要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，
令，则，
所以为上的增函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，都有，从而原命题得证.
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