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江苏省南通市金沙中学2024-2025学年高三上学期8月第二次检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·南通月考）下列关系中，表述正确的是（　　）
A． B．A C． D．
2．（2024高三上·南通月考）设，，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高三上·南通月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·南通月考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·南通月考）若关于的不等式的解集为，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024高三上·南通月考）若，则函数有零点的概率为
A． B． C． D．
7．（2024高三上·南通月考）定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高三上·南通月考）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高三上·南通月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高三上·南通月考）下列命题中正确的是（　　）
A．设m为直线，，为平面，且，则“”是“”的充要条件
B．设随机变量，若，则
C．若不等式恒成立，则m的取值范围是
D．已知直线经过点，则的取值范围是
11．（2024高三上·南通月考）一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（　　）
A．该圆锥的体积为
B．在扇形中，
C．该圆锥内半径最大的球的表面积为
D．该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·南通月考）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 　 　．（以数字作答）
13．（2024高三上·南通月考）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是　 　.
14．（2024高三上·南通月考）已知实数x，y满足，且，的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·南通月考）集合，.
（1）用区间表示集合A；
（2）若，，求a，b的取值范围.
16．（2024高三上·南通月考）某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
　 成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 　 　 　
女 　 　 　
合计 　 　 　
（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
0.10 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17．（2024高三上·南通月考）已知函数.
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）若对于任意的总存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（2024高三上·南通月考）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足．
（1）求证：平面﹔
（2）求二面角的余弦值．
19．（2024高三上·南通月考）已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：A、为空集，不含任何元素，故A错误；
B、若，则不成立，故B错误；
C、表示有理数集，而为无理数，则不成立，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合，数集、集合与集合的关系判断即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号，即，但不一定大于1，即充分性不成立；
因为，所以，则中至少有一个大于1，故，即必要性成立，
故是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，解得，
再由，解得，则函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数定义域的求法结合分式有意义列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，
且满足，则为奇函数，关于原点对称，
当时，则，
当时，则.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，再利用，时值判断即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：、是方程的两个根，则，
解得：，.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用根与系数的关系求解即可.
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：易知有4种取法，有4种取法，则总的取法为种，
当时，函数无论取中何值，必有零点，则有种取法；
当时，函数为二次函数，若函数有零点，
则，即，即，
取值组成的数对分别为：共种，
综上符合条件的概率为：.
故答案为：A.
【分析】易知的总有16种不同的取法，再分和结合二次函数的零点讨论，最后利用古典概型概率公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，可化为，
因为为偶函数且，所以不等式可化为，
又因为在上是增函数，所以，解得；
当时，可化为，
又因为为偶函数且，所以不等式可化为，
因为在上是增函数，所以，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，再利用函数的奇偶性和单调性，从而得出不等式的解集.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，；当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，作出函数的大致图象，如图所示：
令时，解得或，
由图可知，，函数存在最小值，则，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，由题意，结合图形可得，据此求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、若，易知，则，故A正确；
B、因为，所以，所以，
两边同乘以得：，故B正确；
C、取，，则，，，所以不成立，故C错误；
D、若，则，即，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用不等式的性质即可判断AD；利用基本不等式即可判断B；取特值即可判断C.
10．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、，，则或，故A错误；
B、 随机变量，因为，所以，则，
故B正确；
C、 若不等式恒成立， 即，
当时，，当且仅当时等号成立，即，
则，解得，即的取值范围为，故C错误；
D、因为直线经过点，所以，
则，
当且仅当时等号成立，即的取值范围为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据线面的位置关系即可判断A；根据正态分布的性质即可判断B；利用基本不等式求解即可判断C；由直线过点可得，结合指数运算和基本不等式求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面展开图中，圆心角，弧长为，
则，解得，设圆锥底面圆的半径为，则，解得，
即圆锥的高为，
圆锥的体积为，故A正确；
B、因为为线段的中点，为弧中点，
则
，故B错误；
C、圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为，
由等体积可得，解得，
所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确；
D、设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，
则，
则正四棱柱的表面积为
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用扇形圆心角和弧长之间的关系求得，再根据弧长和底面半径之间的关系求得底面半径，利用圆锥的体积公式求解即可判断A；根据向量的线性运算求解即可判断B；利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式求解即可判断C；利用正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质求解即可判断D.
12．【答案】32
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为：，
当时，，解得，
则所有项的二项式系数之和为．
故答案为：32．
【分析】写出二项展开式的通项，由题意求得，再根据二项式系数性质求解即可．
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数单调递减，
则，解得，故的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数单调递减，再根据分段函数的单调性列出不等式组求的取值范围即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，；
而且(定值)；
所以
所以
；
当且仅当，即等号成立；
所以最小值为.
故答案为：.
【分析】先将M进行变形，使得出现定值，即可利用“1”的妙用以及基本不等式求出最值.
15．【答案】（1）解：不等式等价于，解得或，则集合；
（2）解：若， 不等式转化为，解得或，
因为，所以，所以，解得，，
则的取值范围是，.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）不等式等价于，解分式不等式即可求得集合A；
（2）解不等式，结合，列不等式组求和的取值范围即可.
（1）由，有，解得或，
∴；
（2），，
对于，可得，
又，解得或；
∵，得，，
∴a，b的取值范围是，；
综上，，，.
16．【答案】（1）解：图频率分布直方图可知：成绩小于60分的人数为：，
列联表如下表：
成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 40 80 120
女 40 40 80
合计 80 120 200
零假设：没有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关，
，
零假设不成立，即有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）解：由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120，
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人，
由题意可知：随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，，
，
的分布列为：
0 1 2
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图计算成绩小于60分的人数，完善2×2列联表，再进行独立性检验即可；（2）利用分层抽样先确定随机抽取的10人中，及格和不及格的人数，由题意，随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，根据超几何分布写出分布列，再求期望即可．
（1）成绩小于60分的人数为：
由题意，得列联表如下表：
　 成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 40 80 120
女 40 40 80
合计 80 120 200
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人
由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，则，
即：
的分布列为.
0 1 2
17．【答案】（1）解：函数，
当时，函数，在区间上单调递减，符合题意；
当，函数是二次函数，对称轴为，
当时，因为函数在区间上单调，所以，解得；
当时，因为函数在区间上单调，所以，解得，
综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围；
（2）解：由条件可知：的值域是值域的子集，
因为，当且仅当即时等号成立，所以值域为；
当时，值域为，显然符合条件；
当时，值域为，不成立；
当时，值域为，
由的值域是值域的子集，得，即；
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）分和讨论，结合二次函数图象的开口方向，单调性列式求解即可；
（2）转化为的值域是值域的子集，再分别求出和的值域，根据子集关系列式求解即可.
（1）当时，，在区间上单调递减，符合题意；
当，函数是二次函数，对称轴为，
因为函数在区间上单调，
所以当时，则，所以，
当时，则，所以，
综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围.
（2）由条件可知：的值域是值域的子集，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以值域为；
当时，值域为，显然符合条件；
当时，值域为，不成立；
当时，值域为，
由的值域是值域的子集，得，即；
综上所述，实数的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为是的中点，所以，
又因为为正方形，所以，所以，所以，即，
又因为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：由平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点，可得，因为平面，所以平面，
取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，，则，
设平面的法向量为，由，
则，即；
又因为平面的一个法向量为，所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明平面，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可.
（1）
如图，连接交于，连接，
由是的中点可得，又为正方形，
所以，所以，所以，即，
又，即，所以/，
又平面，平面，所以平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点，
可得，又平面，故得平面.
如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，
所以，，则，
设平面的法向量为，由，
则，故可取；
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，且，
因为在处的切线为，所以，解得，；
（2）解：问题转化为：任意，恒成立，
令，则当时，恒成立；；
当时，，，，则在上单调递减，即，不合题意；
当时，，
当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，，符合题意；
当，即时，若，则，即在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数几何意义和切线方程，列方程组求解即可；
（2）构造函数，将问题转化为恒成立；求导后，分别在、和的情况下，结合单调性和最值求范围即可.
（1），，
在处的切线为，，
解得：，.
（2）由得：，
令，则当时，恒成立；
；
①当时，，，，
在上单调递减，，不合题意；
②当时，，
i.当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
ii.当，即时，
若，则，在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
1 / 1江苏省南通市金沙中学2024-2025学年高三上学期8月第二次检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·南通月考）下列关系中，表述正确的是（　　）
A． B．A C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：A、为空集，不含任何元素，故A错误；
B、若，则不成立，故B错误；
C、表示有理数集，而为无理数，则不成立，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合，数集、集合与集合的关系判断即可.
2．（2024高三上·南通月考）设，，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号，即，但不一定大于1，即充分性不成立；
因为，所以，则中至少有一个大于1，故，即必要性成立，
故是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2024高三上·南通月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，解得，
再由，解得，则函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数定义域的求法结合分式有意义列式求解即可.
4．（2024高三上·南通月考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，
且满足，则为奇函数，关于原点对称，
当时，则，
当时，则.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，再利用，时值判断即可.
5．（2024高三上·南通月考）若关于的不等式的解集为，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：、是方程的两个根，则，
解得：，.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用根与系数的关系求解即可.
6．（2024高三上·南通月考）若，则函数有零点的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：易知有4种取法，有4种取法，则总的取法为种，
当时，函数无论取中何值，必有零点，则有种取法；
当时，函数为二次函数，若函数有零点，
则，即，即，
取值组成的数对分别为：共种，
综上符合条件的概率为：.
故答案为：A.
【分析】易知的总有16种不同的取法，再分和结合二次函数的零点讨论，最后利用古典概型概率公式求解即可.
7．（2024高三上·南通月考）定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，可化为，
因为为偶函数且，所以不等式可化为，
又因为在上是增函数，所以，解得；
当时，可化为，
又因为为偶函数且，所以不等式可化为，
因为在上是增函数，所以，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，再利用函数的奇偶性和单调性，从而得出不等式的解集.
8．（2024高三上·南通月考）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，；当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，作出函数的大致图象，如图所示：
令时，解得或，
由图可知，，函数存在最小值，则，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，由题意，结合图形可得，据此求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高三上·南通月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、若，易知，则，故A正确；
B、因为，所以，所以，
两边同乘以得：，故B正确；
C、取，，则，，，所以不成立，故C错误；
D、若，则，即，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用不等式的性质即可判断AD；利用基本不等式即可判断B；取特值即可判断C.
10．（2024高三上·南通月考）下列命题中正确的是（　　）
A．设m为直线，，为平面，且，则“”是“”的充要条件
B．设随机变量，若，则
C．若不等式恒成立，则m的取值范围是
D．已知直线经过点，则的取值范围是
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、，，则或，故A错误；
B、 随机变量，因为，所以，则，
故B正确；
C、 若不等式恒成立， 即，
当时，，当且仅当时等号成立，即，
则，解得，即的取值范围为，故C错误；
D、因为直线经过点，所以，
则，
当且仅当时等号成立，即的取值范围为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据线面的位置关系即可判断A；根据正态分布的性质即可判断B；利用基本不等式求解即可判断C；由直线过点可得，结合指数运算和基本不等式求解即可判断D.
11．（2024高三上·南通月考）一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（　　）
A．该圆锥的体积为
B．在扇形中，
C．该圆锥内半径最大的球的表面积为
D．该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面展开图中，圆心角，弧长为，
则，解得，设圆锥底面圆的半径为，则，解得，
即圆锥的高为，
圆锥的体积为，故A正确；
B、因为为线段的中点，为弧中点，
则
，故B错误；
C、圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为，
由等体积可得，解得，
所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确；
D、设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，
则，
则正四棱柱的表面积为
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用扇形圆心角和弧长之间的关系求得，再根据弧长和底面半径之间的关系求得底面半径，利用圆锥的体积公式求解即可判断A；根据向量的线性运算求解即可判断B；利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式求解即可判断C；利用正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·南通月考）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 　 　．（以数字作答）
【答案】32
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为：，
当时，，解得，
则所有项的二项式系数之和为．
故答案为：32．
【分析】写出二项展开式的通项，由题意求得，再根据二项式系数性质求解即可．
13．（2024高三上·南通月考）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数单调递减，
则，解得，故的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数单调递减，再根据分段函数的单调性列出不等式组求的取值范围即可.
14．（2024高三上·南通月考）已知实数x，y满足，且，的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，；
而且(定值)；
所以
所以
；
当且仅当，即等号成立；
所以最小值为.
故答案为：.
【分析】先将M进行变形，使得出现定值，即可利用“1”的妙用以及基本不等式求出最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·南通月考）集合，.
（1）用区间表示集合A；
（2）若，，求a，b的取值范围.
【答案】（1）解：不等式等价于，解得或，则集合；
（2）解：若， 不等式转化为，解得或，
因为，所以，所以，解得，，
则的取值范围是，.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）不等式等价于，解分式不等式即可求得集合A；
（2）解不等式，结合，列不等式组求和的取值范围即可.
（1）由，有，解得或，
∴；
（2），，
对于，可得，
又，解得或；
∵，得，，
∴a，b的取值范围是，；
综上，，，.
16．（2024高三上·南通月考）某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
　 成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 　 　 　
女 　 　 　
合计 　 　 　
（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
0.10 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：图频率分布直方图可知：成绩小于60分的人数为：，
列联表如下表：
成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 40 80 120
女 40 40 80
合计 80 120 200
零假设：没有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关，
，
零假设不成立，即有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）解：由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120，
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人，
由题意可知：随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，，
，
的分布列为：
0 1 2
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图计算成绩小于60分的人数，完善2×2列联表，再进行独立性检验即可；（2）利用分层抽样先确定随机抽取的10人中，及格和不及格的人数，由题意，随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，根据超几何分布写出分布列，再求期望即可．
（1）成绩小于60分的人数为：
由题意，得列联表如下表：
　 成绩小于60 成绩不小于60 合计
男 40 80 120
女 40 40 80
合计 80 120 200
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人
由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，则，
即：
的分布列为.
0 1 2
17．（2024高三上·南通月考）已知函数.
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）若对于任意的总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数，
当时，函数，在区间上单调递减，符合题意；
当，函数是二次函数，对称轴为，
当时，因为函数在区间上单调，所以，解得；
当时，因为函数在区间上单调，所以，解得，
综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围；
（2）解：由条件可知：的值域是值域的子集，
因为，当且仅当即时等号成立，所以值域为；
当时，值域为，显然符合条件；
当时，值域为，不成立；
当时，值域为，
由的值域是值域的子集，得，即；
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）分和讨论，结合二次函数图象的开口方向，单调性列式求解即可；
（2）转化为的值域是值域的子集，再分别求出和的值域，根据子集关系列式求解即可.
（1）当时，，在区间上单调递减，符合题意；
当，函数是二次函数，对称轴为，
因为函数在区间上单调，
所以当时，则，所以，
当时，则，所以，
综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围.
（2）由条件可知：的值域是值域的子集，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以值域为；
当时，值域为，显然符合条件；
当时，值域为，不成立；
当时，值域为，
由的值域是值域的子集，得，即；
综上所述，实数的取值范围为.
18．（2024高三上·南通月考）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足．
（1）求证：平面﹔
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为是的中点，所以，
又因为为正方形，所以，所以，所以，即，
又因为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：由平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点，可得，因为平面，所以平面，
取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，，则，
设平面的法向量为，由，
则，即；
又因为平面的一个法向量为，所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明平面，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可.
（1）
如图，连接交于，连接，
由是的中点可得，又为正方形，
所以，所以，所以，即，
又，即，所以/，
又平面，平面，所以平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点，
可得，又平面，故得平面.
如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，
所以，，则，
设平面的法向量为，由，
则，故可取；
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．（2024高三上·南通月考）已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，且，
因为在处的切线为，所以，解得，；
（2）解：问题转化为：任意，恒成立，
令，则当时，恒成立；；
当时，，，，则在上单调递减，即，不合题意；
当时，，
当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，，符合题意；
当，即时，若，则，即在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数几何意义和切线方程，列方程组求解即可；
（2）构造函数，将问题转化为恒成立；求导后，分别在、和的情况下，结合单调性和最值求范围即可.
（1），，
在处的切线为，，
解得：，.
（2）由得：，
令，则当时，恒成立；
；
①当时，，，，
在上单调递减，，不合题意；
②当时，，
i.当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
ii.当，即时，
若，则，在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
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