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广东省2025届高三上学期9月份联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东月考）已知命题，；命题，是质数，则（　　）
A．均是真命题 B．均是真命题
C．均是真命题 D．均是真命题
2．（2024高三上·广东月考）已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·广东月考）已知是关于的方程的一个根，则（　　）
A． B．0 C．1 D．20
4．（2024高三上·广东月考）已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球的表面上，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·广东月考）已知数列满足，则（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2024高三上·广东月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024高三上·广东月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·广东月考）若则的最小值为（　　）
A． B．10 C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东月考）对于函数和，则（　　）
A．与的零点相同 B．与的最小值相同
C．与的最小正周期相同 D．与的极值点相同
10．（2024高三上·广东月考）已知正数满足，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·广东月考）某箱中有若干个编号依次为的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第次取出球的编号为，则记为，则下列说法正确的是（　　）
A．若则
B．若则
C．若则事件和事件相互独立
D．若则事件和事件相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·广东月考）已知，，若，则　 　.
13．（2024高三上·广东月考）已知二项式的展开式中的常数项为，则　 　.
14．（2024高三上·广东月考）已知椭圆与圆有四个不同的公共点，其中.若，则的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·广东月考）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为.
（1）现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
（2）从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望.
16．（2024高三上·广东月考）已知首项为1的等差数列的公差为2，又数列满足.
（1）求数列的前项和；
（2）在中，内角的对边分别为，且，，求面积的最大值.
17．（2024高三上·广东月考）如图，在正四棱台中，，，，棱上的点满足取得最小值.
（1）证明：平面；
（2）在空间取一点为，使得，设平面与平面的夹角为，求的值.
18．（2024高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为
（1）求的标准方程；
（2）若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点.
①求直线斜率的取值范围；
②求的取值范围.
19．（2024高三上·广东月考）已知函数，.
（1）证明：当时，曲线关于点对称；
（2）若为曲线的公共点，且在处存在共同的切线，则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为，所以，则命题为假命题 、命题为真命题；
当时，是质数，则命题为真命题，
故均是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的值域即可判断命题为假命题；存在，是质数，判断命题为真命题，再逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知函数恒过定点，
即为抛物线的焦点，则的准线方程为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的性质，求对数函数图象过定点，即为抛物线的焦点，从而可得抛物线的准线方程.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为是关于的方程的一个根，
所以也是方程得一个根，由韦达定理可得，
解得，则.
故答案为：A.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，
由题意可得：，解得，
则球的体积为.
故答案为：D.
【分析】设球的半径为，根据球的性质结合圆锥的轴截面列式求半径，代入球的体积公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：①，
当时，②，
①-②可得，则，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用的关系，推出，代入求值即可.
6．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，，
由正弦定理可得，即，
则，因为，所以，
则 外接圆的半径为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，再利用正弦定理求外接圆的半径即可.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
则，
又因为，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据角的范围求得，利用同角三角函数基本关系求，再由余弦的两角差公式求得，将转化，整体代入求值即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面内两点间的距离公式；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的几何意义是：点与函数的图象上任意一点距离的平方，即，
要使得存在最小值，则，即，
即在上有解，
令，当，恒成立，
则函数在上至多存在一个零点，
因为，所以在上存在一个零点3，
则取得最小值为.
故答案为：B.
【分析】原式配方可得，可知表示的几何意义，要使存在最小值，则，对等式进行化简，构造函数，求导，利用导数研究其单调性，进而可知其零点，据此求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、令，解得，，
令，解得，，显然，零点不同，故A错误；
B、函数，，易知，故B正确；
C、函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，则函数的周期均为，故C正确；
D、函数，令，解得，，
函数，令，解得，，
则函数，的极值点不同，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】分别令，求出两函数零点即可判断A；求函数的最小值即可判断B；根据函数的最小值正周期公式求得的周期均为即可判断C；对令，得，，对令，得，，可得极值点不同即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，又因为，所以，
所以，则，故A错误；
B、因为，所以，则，
当且仅当，即时等号成立，因为所以，故B正确；
C、函数定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，即，即，
当且仅当时等号成立，因为时，因为，
所以，所以，即，故C正确；
D、由，可得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】原式变形可得，由，可得，则，求得即可判断A；由，可得，利用基本不等式求解即可判断B；函数求定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求最小值，得到，进而得到即可判断C；结合即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】相互独立事件；概率的应用
【解析】【解答】解：A、若，则第1次取出的球编号为1，，，
故A错误；
B、若，则第1次未取到编号为1的球，且总计4个球，
分情况讨论：若第1次取编号为2的球，第2次取编号为1号或3号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为3的球，第2次取编号为1号或2号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为1号或2号或3号球，共3种情况，总计9种情况，
第2次取编号为2的球的情况共2种，故，故B正确；
C、若，则前两次均未取编号为1的球，
故，，满足，故C正确；
D、若，则前两次均未取编号为1的球，且总计5个球，
前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球.，且，
而第2次取球需分情况讨论：若第1次取编号为3的球，第2次取编号为2号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为2的球，第2次取编号为3号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为2号或3号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为5的球，第2次取编号为2号或3号或4号球，共3种情况，总计12种情况，
第2次取编号为3的情况共3种，故，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】若，则第1次取出的球编号为1，，即可判断A； 若，则第1次未取到编号为1的球，且总计4个球，分情况讨论即可判断B；若即可判断C； 若，则前两次均未取编号为1的球，且总计5个球，前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球.，且，而第2次取球需分情况讨论即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
若，则，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量平行的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】1
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，则常数项，即.
故答案为：1.
【分析】写出展开式的通项，令指数为0，代入运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：圆，令，解得，
则圆与轴的交点为椭圆的焦点，
在同一坐标系中作出，如图所示：
因为圆与椭圆有四个不同的公共点，所以，即，
又因为，所以，所以，
令，则，，
当时，，函数单调递增，则，
则的最大值为.
故答案为：.
【分析】令，求圆与的交点，可知交点为椭圆的焦点，再由有四个不同的公共点，得，令，则，求导，利用导数研究函数单调性，求恒成立的条件即可.
15．【答案】（1）解：设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，
则，
故至少分离出2个轻水分子的概率为；
（2）解：因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，
随机变量的可能取值为，
，，
，，
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意可知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，根据二项分布的概率公式计算即可；
（2）由题意可知：随机变量的可能取值为，利用超几何分布求出对应的概率，再根据期望公式计算即可．
（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为.
（2）因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量的所有可能取值为，
则，，，.
故.
16．【答案】（1）解： 数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，即，
又数列满足 ，则，
则
（2）解：由（1）可得，则，
由余弦定理得：，
则，即，当且仅当时取等号，
则，即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；数列的求和；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据数列为等差数列，求得，由题意可得，利用裂项相消法求即可；
（2）由（1）求出，用余弦定理，结合基本不等式可得，求得，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）由题意知为等差数列：首项，公差
，则，由题意可得，
.
（2）由题意可得，由余弦定理得：，
，即，当且仅当时取等号，
，即面积的最大值为.
17．【答案】（1）证明：在等腰梯形中，因为，，
所以，所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图所示：
可得当且仅当时，取得最小值，此时，
设与交于，再连结，如图所示：
因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：设上底面的中心为，则，，两两垂直，
以为坐标原点，以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
在直角梯形中得，，
显然平面的法向量为，，，，，，，
不妨设，
设平面的一个法向量为，则，
不妨设，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据正四棱台性质可知，将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，再根据折线段的最值可知，进而可证得线线平行，进而可证线面平行；
（2）设上底面的中心为，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法求两平面的法向量及两法向量夹角及面面夹角即可.
（1）在等腰梯形中，因为，，
所以，所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图，
可得当且仅当时，取得最小值，
此时，
设与交于，再连结，因为，所以，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
（2）设上底面的中心为，则，，两两垂直，
分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
在直角梯形中得，，
显然平面的法向量为，，，，，
所以，
不妨设，
设平面的一个法向量为，所以，
不妨设，所以.
18．【答案】（1）解： 双曲线的右焦点 ，则①，
右焦点到渐近线的距离为②，
由①②可得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：①、由（1）知，，设，，由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为：，
联立，消元整理可得，，，
由韦达定理可得：，，
又因为两点在轴同一侧，所以，所以，即，
圆的方程为，点到直线的距离，由，可得，
由，解得，即或，
因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是；
②、
，
，
则，
设，则
，
所以的取值范围是.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线中结合焦点，以及右焦点到其中一条渐近线的距离为，列式求出，即可得双曲线标准方程；
（2）①、设，，由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元整理由韦达定理求得，，根据已知求出直线斜率的取值范围即可；
②、求出，，再求的表达式，结合二次函数的性质求范围即可.
（1）由题意可得，
且右焦点到渐近线的距离为，
所以，，
所以的标准方程为.
（2）①由（1）知，，设，，
由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为
与联立得，
所以，，
，，
又两点在轴同一侧，所以.
此时，即.
圆的方程为，点到直线的距离，
由得，
由，得，
所以或，
因为直线的斜率，
所以直线斜率的取值范围是.
②
.
，
所以，
设，则
，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）证明：当时，函数，
令，
则定义域为，
因为
，
所以
则曲线关于点对称；
（2）解：设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，
其“优切线”的斜率一定存在，分别设为，且，
因为，所以，
不妨设，则，，，，
因为，
由“优切线”的定义得，，所以，
同理，所以，化简得，
因为曲线上的点也在曲线上，
所以，所以，
所以，.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求得函数解析式，设，要使函数的图象关于点对称，只需满足，据此证明即可；
（2）由题意，设“优切线”的斜率分别为，且，根据导数的几何意义求切线的斜率，再根据两切线的位置关系求切点横坐标的关系，结合“优切线”的定义求，的值即可.
（1）当时，
令，
即，定义域为，
所以
，
即
所以曲线关于点对称.
（2）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，
其“优切线”的斜率一定存在，分别设为，则，
因为，所以，
不妨设，则，，，，
因为，
由“优切线”的定义得，，所以，
同理，所以，化简得，，
因为曲线上的点也在曲线上，
所以，所以.
所以，
1 / 1广东省2025届高三上学期9月份联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东月考）已知命题，；命题，是质数，则（　　）
A．均是真命题 B．均是真命题
C．均是真命题 D．均是真命题
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为，所以，则命题为假命题 、命题为真命题；
当时，是质数，则命题为真命题，
故均是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的值域即可判断命题为假命题；存在，是质数，判断命题为真命题，再逐项判断即可.
2．（2024高三上·广东月考）已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知函数恒过定点，
即为抛物线的焦点，则的准线方程为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的性质，求对数函数图象过定点，即为抛物线的焦点，从而可得抛物线的准线方程.
3．（2024高三上·广东月考）已知是关于的方程的一个根，则（　　）
A． B．0 C．1 D．20
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为是关于的方程的一个根，
所以也是方程得一个根，由韦达定理可得，
解得，则.
故答案为：A.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.
4．（2024高三上·广东月考）已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球的表面上，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，
由题意可得：，解得，
则球的体积为.
故答案为：D.
【分析】设球的半径为，根据球的性质结合圆锥的轴截面列式求半径，代入球的体积公式求解即可.
5．（2024高三上·广东月考）已知数列满足，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：①，
当时，②，
①-②可得，则，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用的关系，推出，代入求值即可.
6．（2024高三上·广东月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，，
由正弦定理可得，即，
则，因为，所以，
则 外接圆的半径为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，再利用正弦定理求外接圆的半径即可.
7．（2024高三上·广东月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
则，
又因为，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据角的范围求得，利用同角三角函数基本关系求，再由余弦的两角差公式求得，将转化，整体代入求值即可.
8．（2024高三上·广东月考）若则的最小值为（　　）
A． B．10 C． D．2
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面内两点间的距离公式；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的几何意义是：点与函数的图象上任意一点距离的平方，即，
要使得存在最小值，则，即，
即在上有解，
令，当，恒成立，
则函数在上至多存在一个零点，
因为，所以在上存在一个零点3，
则取得最小值为.
故答案为：B.
【分析】原式配方可得，可知表示的几何意义，要使存在最小值，则，对等式进行化简，构造函数，求导，利用导数研究其单调性，进而可知其零点，据此求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东月考）对于函数和，则（　　）
A．与的零点相同 B．与的最小值相同
C．与的最小正周期相同 D．与的极值点相同
【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、令，解得，，
令，解得，，显然，零点不同，故A错误；
B、函数，，易知，故B正确；
C、函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，则函数的周期均为，故C正确；
D、函数，令，解得，，
函数，令，解得，，
则函数，的极值点不同，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】分别令，求出两函数零点即可判断A；求函数的最小值即可判断B；根据函数的最小值正周期公式求得的周期均为即可判断C；对令，得，，对令，得，，可得极值点不同即可判断D.
10．（2024高三上·广东月考）已知正数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，又因为，所以，
所以，则，故A错误；
B、因为，所以，则，
当且仅当，即时等号成立，因为所以，故B正确；
C、函数定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，即，即，
当且仅当时等号成立，因为时，因为，
所以，所以，即，故C正确；
D、由，可得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】原式变形可得，由，可得，则，求得即可判断A；由，可得，利用基本不等式求解即可判断B；函数求定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求最小值，得到，进而得到即可判断C；结合即可判断D.
11．（2024高三上·广东月考）某箱中有若干个编号依次为的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第次取出球的编号为，则记为，则下列说法正确的是（　　）
A．若则
B．若则
C．若则事件和事件相互独立
D．若则事件和事件相互独立
【答案】B,C
【知识点】相互独立事件；概率的应用
【解析】【解答】解：A、若，则第1次取出的球编号为1，，，
故A错误；
B、若，则第1次未取到编号为1的球，且总计4个球，
分情况讨论：若第1次取编号为2的球，第2次取编号为1号或3号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为3的球，第2次取编号为1号或2号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为1号或2号或3号球，共3种情况，总计9种情况，
第2次取编号为2的球的情况共2种，故，故B正确；
C、若，则前两次均未取编号为1的球，
故，，满足，故C正确；
D、若，则前两次均未取编号为1的球，且总计5个球，
前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球.，且，
而第2次取球需分情况讨论：若第1次取编号为3的球，第2次取编号为2号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为2的球，第2次取编号为3号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为2号或3号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为5的球，第2次取编号为2号或3号或4号球，共3种情况，总计12种情况，
第2次取编号为3的情况共3种，故，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】若，则第1次取出的球编号为1，，即可判断A； 若，则第1次未取到编号为1的球，且总计4个球，分情况讨论即可判断B；若即可判断C； 若，则前两次均未取编号为1的球，且总计5个球，前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球.，且，而第2次取球需分情况讨论即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·广东月考）已知，，若，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
若，则，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量平行的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高三上·广东月考）已知二项式的展开式中的常数项为，则　 　.
【答案】1
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，则常数项，即.
故答案为：1.
【分析】写出展开式的通项，令指数为0，代入运算求解即可.
14．（2024高三上·广东月考）已知椭圆与圆有四个不同的公共点，其中.若，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：圆，令，解得，
则圆与轴的交点为椭圆的焦点，
在同一坐标系中作出，如图所示：
因为圆与椭圆有四个不同的公共点，所以，即，
又因为，所以，所以，
令，则，，
当时，，函数单调递增，则，
则的最大值为.
故答案为：.
【分析】令，求圆与的交点，可知交点为椭圆的焦点，再由有四个不同的公共点，得，令，则，求导，利用导数研究函数单调性，求恒成立的条件即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·广东月考）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为.
（1）现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
（2）从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望.
【答案】（1）解：设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，
则，
故至少分离出2个轻水分子的概率为；
（2）解：因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，
随机变量的可能取值为，
，，
，，
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意可知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，根据二项分布的概率公式计算即可；
（2）由题意可知：随机变量的可能取值为，利用超几何分布求出对应的概率，再根据期望公式计算即可．
（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为.
（2）因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量的所有可能取值为，
则，，，.
故.
16．（2024高三上·广东月考）已知首项为1的等差数列的公差为2，又数列满足.
（1）求数列的前项和；
（2）在中，内角的对边分别为，且，，求面积的最大值.
【答案】（1）解： 数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，即，
又数列满足 ，则，
则
（2）解：由（1）可得，则，
由余弦定理得：，
则，即，当且仅当时取等号，
则，即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；数列的求和；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据数列为等差数列，求得，由题意可得，利用裂项相消法求即可；
（2）由（1）求出，用余弦定理，结合基本不等式可得，求得，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）由题意知为等差数列：首项，公差
，则，由题意可得，
.
（2）由题意可得，由余弦定理得：，
，即，当且仅当时取等号，
，即面积的最大值为.
17．（2024高三上·广东月考）如图，在正四棱台中，，，，棱上的点满足取得最小值.
（1）证明：平面；
（2）在空间取一点为，使得，设平面与平面的夹角为，求的值.
【答案】（1）证明：在等腰梯形中，因为，，
所以，所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图所示：
可得当且仅当时，取得最小值，此时，
设与交于，再连结，如图所示：
因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：设上底面的中心为，则，，两两垂直，
以为坐标原点，以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
在直角梯形中得，，
显然平面的法向量为，，，，，，，
不妨设，
设平面的一个法向量为，则，
不妨设，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据正四棱台性质可知，将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，再根据折线段的最值可知，进而可证得线线平行，进而可证线面平行；
（2）设上底面的中心为，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法求两平面的法向量及两法向量夹角及面面夹角即可.
（1）在等腰梯形中，因为，，
所以，所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图，
可得当且仅当时，取得最小值，
此时，
设与交于，再连结，因为，所以，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
（2）设上底面的中心为，则，，两两垂直，
分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
在直角梯形中得，，
显然平面的法向量为，，，，，
所以，
不妨设，
设平面的一个法向量为，所以，
不妨设，所以.
18．（2024高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为
（1）求的标准方程；
（2）若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点.
①求直线斜率的取值范围；
②求的取值范围.
【答案】（1）解： 双曲线的右焦点 ，则①，
右焦点到渐近线的距离为②，
由①②可得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：①、由（1）知，，设，，由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为：，
联立，消元整理可得，，，
由韦达定理可得：，，
又因为两点在轴同一侧，所以，所以，即，
圆的方程为，点到直线的距离，由，可得，
由，解得，即或，
因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是；
②、
，
，
则，
设，则
，
所以的取值范围是.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线中结合焦点，以及右焦点到其中一条渐近线的距离为，列式求出，即可得双曲线标准方程；
（2）①、设，，由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元整理由韦达定理求得，，根据已知求出直线斜率的取值范围即可；
②、求出，，再求的表达式，结合二次函数的性质求范围即可.
（1）由题意可得，
且右焦点到渐近线的距离为，
所以，，
所以的标准方程为.
（2）①由（1）知，，设，，
由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为
与联立得，
所以，，
，，
又两点在轴同一侧，所以.
此时，即.
圆的方程为，点到直线的距离，
由得，
由，得，
所以或，
因为直线的斜率，
所以直线斜率的取值范围是.
②
.
，
所以，
设，则
，
所以的取值范围是.
19．（2024高三上·广东月考）已知函数，.
（1）证明：当时，曲线关于点对称；
（2）若为曲线的公共点，且在处存在共同的切线，则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.
【答案】（1）证明：当时，函数，
令，
则定义域为，
因为
，
所以
则曲线关于点对称；
（2）解：设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，
其“优切线”的斜率一定存在，分别设为，且，
因为，所以，
不妨设，则，，，，
因为，
由“优切线”的定义得，，所以，
同理，所以，化简得，
因为曲线上的点也在曲线上，
所以，所以，
所以，.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求得函数解析式，设，要使函数的图象关于点对称，只需满足，据此证明即可；
（2）由题意，设“优切线”的斜率分别为，且，根据导数的几何意义求切线的斜率，再根据两切线的位置关系求切点横坐标的关系，结合“优切线”的定义求，的值即可.
（1）当时，
令，
即，定义域为，
所以
，
即
所以曲线关于点对称.
（2）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，
其“优切线”的斜率一定存在，分别设为，则，
因为，所以，
不妨设，则，，，，
因为，
由“优切线”的定义得，，所以，
同理，所以，化简得，，
因为曲线上的点也在曲线上，
所以，所以.
所以，
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