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*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
素养目标
1.知道一元二次方程根与系数的关系(韦达定理),并能进行简单应用.
2.根据方程的根,会构造一个满足根的方程.
3.体会运用根与系数关系时的整体思想,通常需把x1+x2,x1·x2作为整体代入计算或求值.
◎重点::x1、x2、x1+x2、x1x2与一元二次方程的系数a、b、c之间的关系.
【预习导学】
知识点一：根与系数的关系(韦达定理)
阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题.
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　.
知识点二：根与系数的关系的应用
阅读教材本课时“例”,回答下列问题.
利用根与系数的关系求方程的两根之和、两根之积时,先要将方程化成　　　　,再比较b2-4ac与　　　　的大小,判断方程有没有实数根,最后利用根与系数的关系求解.
1.x1,x2是一元二次方程ax2+4x+3=0的两个根,则x1·x2的值是 (　　)
A. B.
C.- D.-
2.若α,β是一元二次方程x2-3x=0的两个实数根,则α+β的值是　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：若x1,x2是方程x2=4的两根,则x1+x2的值是 (　　)
A.8 B.4 C.2 D.0
任务驱动二：如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是 (　　)
A.-3,2 B.3,-2
C.2,-3 D.2,3
变式训练　若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
任务驱动三：已知α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根,则代数式(α-3)(β-3)=　　　　,α2+β2=　　　　.
变式训练　已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为 (　　)
A.-3 B.-1
C.-3或1 D.-1或3
任务驱动四：已知2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根,求该方程的另一个根.
　　　　
方法归纳交流　此题还可以把x=2代入方程,解得p,代入p值得方程,再解一元二次方程.
变式训练　已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3=　　　　.
任务驱动五：已知三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,求三角形的第三边c的取值范围.
　　　　
　
变式训练　关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.
　　　　
　　　　
　
1.已知α、β是关于x 的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m 的值是 (　　)
A.3 　　 B.1
C.3 或-1 　　 D.-3 或 1
2.若x2-3x-1=0 的两根为x1,x2,则可得+=　　　　.
3.已知k为实数,关于x的方程x2+k2+1=2k(x-1)有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若(2x1+1)(2x2+1)=21,试求k的值.
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
- 　
知识点二
一般形式　 0
对点自测
1.B　2.3
【合作探究】
任务驱动一
D
任务驱动二
A
变式训练　C
任务驱动三
-6　22
变式训练　A
任务驱动四
解:∵2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根,
∴2+x1=-4,
∴x1=-6,
∴该方程的另一个根是-6.
变式训练　-2
任务驱动五
解:∵三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,
∴x1+x2=5,x1x2=6.
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=25-24=1,
∴x1-x2=1.
又∵x1-x2∴1变式训练
解:(1)b2-4ac=22-4×1×(3-k)=-8+4k.
∵方程有两个不相等的实数,
∴-8+4k>0,解得k>2.
(2)∵方程的两个根为α,β,
∴αβ==3-k,∴k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1(舍去).
素养小测
1.A　2.-11
3.解:(1)原方程即为x2-2kx+k2+2k+1=0,
则Δ=4k2-4(k2+2k+1)≥0,
∴k2-(k2+2k+1)≥0,
∴-2k-1≥0,
∴k≤-.
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=2k,x1x2=k2+2k+1.
∵(2x1+1)(2x2+1)=21,
∴4x1x2+2(x1+x2)+1=21,
∴4(k2+2k+1)+4k+1=21,即k2+3k-4=0,
解得k1=1,k2=-4.
∵k≤-,
∴k的值为-4.

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