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4.4 探索三角形相似的条件 第2课时
素养目标
1.掌握三角形相似的条件“三边对应成比例的两个三角形相似”.
2.知道黄金分割的定义,会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点,认识黄金分割与人类生活的密切联系与作用.
◎重点::灵活运用三角形相似的条件进行相关计算、证明.
【预习导学】
知识点一：三边对应成比例的两个三角形相似
阅读教材本课时相关内容,回答下面的问题.
1.如图,DE平行于BC,写出相似三角形及性质(比例线段).
2.若==,结合(1)中的结论,你能得到什么
　　　　
3.判断△ADE和△A'B'C'是否全等,△ABC与△A'B'C'是否相似,为什么
　　　　
归纳总结　三边成比例的两个三角形　　　　.
知识点二：黄金分割
阅读教材本课时“习题4.8”之前的内容,回答下列问题.
1.什么是黄金分割 黄金比是什么
　　　　
2.黄金比是一个定值,一个常数,为　　　　,约等于　　　　.
3.一条线段有几个黄金分割点
　　　　
1.已知△ABC的三边长分别为7.5,9和10.5,△DEF的一边长为5,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 (　　)
A.4,5 B.5,6
C.6,7 D.7,8
2.如图,C为线段AB的黄金分割点(ACA.2+2
B.2-2
C.+3
D.-3
3.如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点.求证:△DEF∽△ABC.
　　　　
　　
　　　　
【合作探究】
任务驱动一：根据下列条件,判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
(1)AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,DE=18 cm,EF=24 cm,DF=30 cm;
(2)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,DE=12 cm,EF=18 cm,DF=21 cm.
　　　　
任务驱动二：如图,在正方形方格上有△A1B1C1和△A2B2C2,求证:△A1B1C1∽△A2B2C2.
　　　　
方法归纳交流　判定相似三角形的基本思路:一是条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例;二是条件中若有两组对应边成比例,可找夹角相等或计算第三组对应边的比,考虑三组对应边成比例.
任务驱动三：C是线段AB上一点,且AC2=AB·BC,则C是线段AB的 (　　)
A.中点 B.三等分点
C.黄金分割点 D.以上都不对
任务驱动四：如图,这是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割.已知AB=10 cm,则AC的长约为　　　　cm.(结果精确到0.1 cm)
任务驱动五：宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的小矩形还是黄金矩形吗 请证明你的结论.
　　　　
　　　　
　如图,在△ABC和△ADE中,==,点B、D、E在一条直线上,求证:△ABD∽△ACE.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.△ADE∽△ABC,==.
2.AD=A'B',AE=B'C',DE=A'C'.
3.△ADE和△A'B'C'全等,理由:边边边定理.△ABC与△A'B'C'相似,理由:△ADE∽△ABC,△ADE和△A'B'C'全等,所以△ABC与△A'B'C'相似.
归纳总结　相似
知识点二
1.把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且=,叫作把线段AB黄金分割,点C叫作黄金分割点,AC与AB的比叫作黄金比.
2.　0.618
3.两个.
对点自测
1.C　2.A
3.证明:∵AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点,
∴DE=AB,DF=AC,EF是△ABC的中位线,
∴EF=BC,
∴===,
∴△DEF∽△ABC.
【合作探究】
任务驱动一
解:(1)∵=,=,=,
∴ ==,∴△ABC ∽△DEF.
(2)∵=,=,=,
∴ =≠,
∴△ABC 与△DEF三组对应边的比不相等,∴它们不相似.
任务驱动二
证明:设单位网格正方形的边长为1,由勾股定理可知,
A1B1==,A2B2==,
A1C1==,B2C2==.
又B1C1=5,A2C2=2,
所以===,
所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
任务驱动三
C
任务驱动四
6.2
任务驱动五
解:留下的矩形CDFE是黄金矩形.
证明:∵四边形ABEF是正方形,
∴AB=DC=AF.又∵=,∴=,即点F是线段AD的黄金分割点,
∴==,即=,
∴矩形CDFE是黄金矩形.
素养小测
证明:∵在△ABC和△ADE中,
==,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
∵=,
∴=,
∴△ABD∽△ACE.

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