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4.5 相似三角形判定定理的证明
素养目标
1.知道三个相似三角形判定定理的证明方法和过程.
2.在不同的问题情境中,选取不同的相似三角形判定定理进行推理、证明与探究.
◎重点::运用三角形相似的判定定理解决问题.
【预习导学】
知识点：证明两个三角形相似
阅读教材本课时相关内容,思考下列问题.
1.根据相似三角形的定义可知:若△ABC∽△A'B'C',△A''B''C''∽△A'B'C',则　　　　,即相似三角形具有　　　　.
2.证明三角形相似的问题,常见的判定方法有:
①平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
②三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似.
③两边及其夹角法:两组对应边的比相等且其夹角对应相等的两个三角形相似.
④两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
　如图,在 ABCD中,BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,∠BFE=∠C.
(1)△ABF与△EAD相似吗 为什么
(2)若AB=3,AD=2,∠BAE=30°,求AE,BF的长.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
【合作探究】
任务驱动一：如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是 (　　)
A.∠ABD=∠C
B.∠ADB=∠ABC
C.=
D.=
变式训练　
如图,∠1=∠2,添加一个条件使得△ADE∽△ACB,这个条件为∠D=∠C或∠E=∠B或　　　　.
任务驱动二：如图,已知==,求证:∠BAD=∠CAE.
　　　　
任务驱动三：如图,E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于点F,试说明:△ABF∽△EAD.
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动四：如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似,则存在多少个这样的点P
　　　　
　　　　
1.如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的任意一点,连接BE,过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F,交边CD于点P,则图中共有相似三角形 (　　)
A.6对 B.5对
C.4对 D.3对
2.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,且MN=1,当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点
1.△A''B''C''∽△ABC　传递性
对点自测
解:(1)相似.
理由:在平行四边形ABCD中,
∵∠D+∠C=180°,AB∥CD,
∴∠BAF=∠AED.
∵∠AFB+∠BFE=180°,∠D+∠C=180°,∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
(2)∵△ABF∽△EAD,
∴=.
∵AB=3,∠BAE=30°,
∴BE=,AE=2,
∴=,
∴BF=.
【合作探究】
任务驱动一
C
变式训练　=
任务驱动二
证明:∵==,
∴△ABC ∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
任务驱动三
证明:∵在矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,
∴∠BAF=∠AED.
∵BF⊥AE,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFB=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
任务驱动四
解:∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=∠D=90°.
∵DC=7,AD=2,BC=4,设PD=x,
∴PC=7-x.
①若PD∶PC=AD∶BC,则△PAD∽△PBC,
∴=,解得PD=;
②若PD∶BC=AD∶PC,则△PAD∽△BPC,
∴=,解得PD=.
∴存在3个这样的点P.
素养小测
1.A
2.解:∵AE=EB,∴AD=2AE,
又△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,
∴当CM与AD是对应边时,CM=2CN,
∴CM2+CN2=MN2=1,
即CM2+CM2=1,
解得CM=;
当CM与AE是对应边时,CM=CN,
∴CM2+CN2=MN2=1,
即CM2+4CM2=1,解得CM=.
∴当CM为或时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.

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