资源简介

4.6 利用相似三角形测高
素养目标
1.建立阳光测高、标杆测高、镜子反射测高等数学问题的模型.
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量的物体长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题)等的一些实际问题.
◎重点::应用相似三角形的判定、性质等知识解决实际问题.
【预习导学】
知识点一：利用阳光下的影子
阅读教材本课时“方法1”,回答以下问题.
如图,△ACB与△DBE有什么关系 为什么
　　　　
知识点二：利用标杆
阅读教材本课时“方法2”,回答以下问题.
如图,为测量旗杆的高度,需要构造相似三角形,请你在图中添加适当的辅助线构造相似三角形,并写出相似三角形及求旗杆高度的关系式.
知识点三：利用镜子反射
阅读教材本课时“方法3”,回答以下问题.
如图,说说△ACB∽△DBE的理由.
　如图,小李打网球时,球恰好打过网,且落在离网4 m的位置上,则球拍击球的高度h为　　　　m.
【合作探究】
任务驱动一：如图,小华在地面上放置一个平面镜E来测量居民楼AB的高度,镜子与居民楼的距离EB=20 m,镜子与小华的距离ED=2 m时,小华刚好从镜子中看到居民楼顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5 m,求居民楼AB的高度.
任务驱动二：如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m,窗户下檐到地面的距离BC=1 m,EC=1.2 m,求窗户的高AB.
　　　　
任务驱动三：小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:
如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,CE=0.8 m,CA=30 m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)
　　　　
方法归纳交流　利用相似三角形的性质可以解决实际应用问题,关键是运用所学知识与具体的实物联系在一起,通过正确地画出几何图形,将已知与未知融入其中,同时利用相似三角形的对应边成比例的知识列出关系式,构造出方程,从而根据问题求解.
　《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,其有题译文如下:“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺,同时立一根1.5尺的小标杆,它的影长是0.5尺(如图).”则可求得这根竹竿的长度为 (　　)
A.5尺
B.4.5尺
C.50尺
D.45尺
参考答案
【预习导学】
知识点一
相似.因为光线平行,可得∠DEB=∠CBA,AC与BD都垂直于地面,故∠DBE=∠BCA=90°,根据两角对应相等可得△ACB∽△DBE.
知识点二
过点E作EG垂直于AB于点G,交CD于点H,可得到直角三角形EGA和矩形EGBF,因CD平行于AB,可得△EAG∽△ECH,根据相似三角形的性质可得=.
知识点三
∵入射角=反射角,
∴∠ABC=∠EBD.
∵DE、AC都垂直于地面,
∴∠E=∠C=90°,∴△ACB∽△DEB.
对点自测　1.4
【合作探究】
任务驱动一
解:由题意可知CE可看作入射光线,EA为反射光线,如图,可作法线EF,则EF⊥BD,由物理知识可知∠1=∠2,所以∠CED=∠AEB,又CD⊥DE,AB⊥BE,所以△CDE∽△ABE,则=,即=,所以AB=15 m.
任务驱动二
解:∵BE∥AD,∴△BCE∽△ACD,∴=,即=,且BC=1,DE=1.8,EC=1.2,∴=,∴1.2AB=1.8,
∴AB=1.5(m).
任务驱动三
解:如图,过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G、H,
则EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30,∵EF∥AB,∴=.
由题意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5,
∴=,解得BG=18.75,
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0,
∴楼高AB约为20.0米.
素养小测
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