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内江一中2027届高二入学考试
数 学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在△中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ）
A． B． C． D．
7．在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是
A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3
8．函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心坐标为
D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ）
A．中位数为7 B．中位数为7.5 C．极差为9 D．方差为2
10．已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则与夹角的正弦值为
C．若，则 D．若，则或16
11．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．在中，若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若在线段上，且，则的面积为8
D．若 ，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为 .
13.已知，则___________
14．如图，在中，斜边，，在以 为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积 ，的面积.
(1)若，求________；(2)令则的最大值为_________.
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题13分）
某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位: )，制作成频率分布直方图如图所示.
(1)估计这 100 名同学身高的上四分位数;
(2)用分层抽样的方法从 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人
16．（本小题15分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）求的周长的最大值.
17．（本小题15分）
已知函数．
(1)化简的解析式；
(2)若为锐角，且，，求的值．
18．（本小题17分）
如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．
(1)以，为基底表示向量与；
(2)若，，与的夹角为，求；
(3)设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值．
19．（本小题17分）
已知
(1)求的最小正周期；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，
① 求m的取值范围；
② 求的值.
《内江一中2027届高二（2班以外的其他班）入学考试数学》
参考答案
1-5 CBABB 6-8 DDD 9.BC 10.BD 11.ACD
12. 13.
14.
15．(1)176.25
(2)答案见解析
【详解】（1）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，
因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.9，
所以第75百分位数在第四组，不妨设为，
则，
解得，
即第75百分位数约为176.25；
（2）根据题意，第组有人，第组有人，
所以第3组选人.
16．（1）；（2）.
【详解】（1）由题意得，，
，
∴由正弦定理可得.
又.
（2）由及正弦定理得，
.
.
由得，，
∴当，即时，.
17．(1)；
(2)．
【详解】（1）
（2）由于，故
由于，故，
由于为锐角，
则
故，
故，，
故
则
故
，
由于为锐角，
故
．
18．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，．
，
.
（2）由（1）知，，，
，，与的夹角为，
,
.
（3）由（1）（2）知，，，，，
，，，
，
，
因为线段AM、FH的交点为，
所以就是向量与的夹角，
所以.
故的余弦值为.
19．(1)
(2)①或 ②
【详解】（1）
，
∴的最小正周期为即为所求.
（2）
①令，其中x与t是一一对应的，
当时，，
，
所以，如图，
要使在区间上恰有两个零点
等价于的图象与直线在有两个交点，
所以要使在区间上恰有两个零点，
的取值范围为或；
②设是函数的两个零点（即），
由正弦函数图象对称性可知，
即，所以.

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