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陕西省咸阳市永寿县2024-2025学年八年级
下学期期末质量监测数学试题
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列纹样图是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
3．下列不等式变形正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在四边形中，，对角线，交于点O，添加下列一个条件，仍不能使四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．2.5
7．如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．如图在正六边形，连接，，则 ．
11．不等式的正整数解的个数为 ．
12．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则 ．
13．如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为 ．
三、解答题
14．因式分解：．
15．解不等式组：
16．解方程：．
17．如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，，，垂足分别为B，D，且，．求证：．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将平移后顶点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，．
(1)画出平移后的三角形；
(2)点的坐标为________．
20．先化简，再求值：，其中．
21．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表：
课题 测量篮球架篮板的高度
测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长
测量数据
根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度．
22．如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，为的中点，求的长．
23．乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍．
(1)求甲、乙两种肥料每袋的价格；
(2)若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？
24．如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，，求的长．
25．为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵树，为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收费标准如下：
甲基地：树苗单价为30元/株，免费配送；
乙基地：树苗单价为25元/株，另加200元配送费．
(1)设采购x株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为元，去乙苗圃基地采购树苗的费用为元，请分别写出：，与x之间的关系式；
(2)学校怎样采购比较合算？
26．【问题提出】
（1）如图①，在中，，，为的中线，点E为线段上一点，连接．若，，求的长；
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲翻新如图②所示的休闲广场，，米，按照规划要求，取的中点D，连接，点E为上一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，在边上取一点K，令，连接，沿和设计两条走廊，沿铺设小路，发现当的长度最小时，整体布局比较合理，试求当最小时，小路的长．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．D
7．A
8．A
9．
10．30
11．2
12．3
13．
14．解：
．
15．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为．
16．解：原方程整理，得，
去分母，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
17．解：如图，点P即为所求．
18．证明：，，
，
在和中，
，
，
．
19．（1）如图所示，即所求；
（2）由（1）得，点的坐标为．
20．解：原式
．
当时，原式．
21．解：，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
答：篮球架篮板的高度为．
22．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵是边中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
23．（1）解：设乙种肥料每袋元，则甲种肥料每袋元，根据题意，得
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
（元），
所以，甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元；
（2）解：设购买甲种肥料袋，则购买乙种肥料（）袋，由题意，得
解得．
即甲种肥料最多可购买15袋．
24．（1）证明：，
点是的中点．
点是的中点，
∴是的中位线，
．且，
点在的延长线上，
．
，
四边形为平行四边形
（2）解：由（1）可知．且，
．
∵点E是的中点，，
∴，
于点，
．
．
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
的长是5．
25．（1）解：甲基地采购这批树苗的费用（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为；
乙基地采购这批树苗的费用（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为．
（2）由题意得：，解得．
，解得．
．解得．
答：购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算；当购买的树苗为40株时，甲、乙两个基地采购费用一样；当购买的树苗大于40株时，去乙基地采购比较合算．
26．（1）；（2）路的长为米
解：（1）在中，，，
是等腰直角三角形．
，
为的中线，
，，
，
，
，
．
．
（2）如图②，过点B作，使，连接，．
，
是等边三角形，
，
点D为的中点，
，，
，
，
，
．
，
垂直平分，
，
，
当Q，E，C三点共线时，最小，
，
是等腰直角三角形．
，
．
垂直平分，
与关于直线对称，
，
过点E作于点T．
，
，．
，
是等腰直角三角形，
，
易得，
在中，．
，
，
．
，
，
由旋转的性质得．
是等边三角形，
．
小路的长为米．

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