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2026年中考数学：图形的相似专题训练
一．选择题（共8小题）
1．（2025 定西模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 路南区校级三模）如图，在大树AB的右侧有三个台阶T1～T3，每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m．某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE＝0.45m，此时树梢顶点A的影子落在台阶T2上（包含两个端点）．已知大树AB的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则大树AB的高度可能是（　　）
A．3m B．3.5m C．3.8m D．4.2m
3．（2025 深圳校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 红安县模拟）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．24
5．（2025 泗洪县一模）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△DEF的面积为（　　）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
6．（2025 泌阳县二模）如图，点E为 ABCD的对角线BD上一点，，DB＝3，连接AE并延长至点F，使得AE＝EF，AF交DC边于点G，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（2025 前进区一模）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF，则BF的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．（2025 资阳二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE AE；④S△ADM＝6．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
9．（2025 清原县一模）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　 　 ．
10．（2025 连云港一模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　 　 cm．
11．（2025 济宁二模）如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP．请你补充一个条件　 　 ，使△ABC∽△ACP．
12．（2025 怀仁市校级模拟）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为（﹣2，0）．以原点O为位似中心，在第四象限画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 　 　 ．
13．（2025 从江县校级二模）在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛AB（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，已知以下数据：
①蜡烛AB的高度为18cm．
②小孔O到蜡烛AB的距离d1为40cm．
③小孔O到屏幕上像A′B′的距离d2为20cm．
则屏幕上像A′B′的高度是 　 　 cm．
14．（2025 河南校级三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，O是BD的中点，点E在边BC上，四边形OECF是矩形，则S△BEO：S△EOF是 　 　 ．
15．（2025 青阳县模拟）如图，P为正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PD，点E在PD上，连接CE，∠PBC＝∠PDB＝∠ECD．
（1）的值为　 　 ；
（2）若∠PBC＝α，则∠PAD＝　 　 ．（用含α的式子表示）
16．（2025 番禺区校级二模）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△EFB＝2S△OGF；④，其中正确的是 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 永修县校级三模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
18．（2025 青浦区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC上一点，且OA BE＝OE CE．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）如果∠BDE＝∠DAE，求证：OB CD＝BE DE．
19．（2025 东莞市校级模拟）【问题情境】如图1，在△ACB中，∠ACB＝90°，CB＝6，CA＝8，过点B作直线MN⊥AB，点D在直线MN上运动，连接CD，过点C作CE⊥CD交直线AB于点E，连接DE，交BC于点F．
【分析发现】
（1）求证：△CDB∽△CEA；
【特例探究】
（2）如图2，若点E为AB的中点，求tan∠BDF的值；
【拓展延伸】
（3）是否存在异于点B的点D，使得△ECD与△ACB全等？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
20．（2025 青阳县模拟）在△ABC中，点P在BC边上，过点P作PD∥AB，PE∥AC，Q为△ABC外一点，ED垂直平分PQ，分别连接AQ，DQ．
（1）如图1，求证：AE＝DQ；
（2）如图1，设PQ分别与DE，AD相交于点G，H，求证：；
（3）如图2，若AB＝AC，连接CQ，求∠B+∠AQC的度数．
21．（2025 惠城区校级三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
（1）如图1，矩形纸片ABCD中，AD＝2，，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片ABCD展开，得到折痕MN，连接CM，折叠△DCM，点D的对应点为点D′，过D′作D′G⊥AD于点G，则D′G的长度为 　 　 ．
迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图②，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应点D′；
操作三：如图③，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD'折叠再展开，折痕MD与边AB交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
（2）求证：BP＝D′P；
（3）求证：AP：BP＝2：1．
拓展探究：
（4）在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD'折叠再展开，折痕CD'与边AB交于点Q，如图④．试探究：　 　 （直接写出结果，不需证明）．
22．（2025 淅川县三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究
【特例探究】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：AC2＝AD AB；
【类比研究】
（2）如图2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE＝∠AFC．请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内有一点D满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB＝∠CBD，请直接写出线段BE的最小值．
23．（2025 南关区校级三模）【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E在边AD上，点F在射线DC上，且，连接BE、AF交于点M，若点P是AD边上的一个动点，连接PC、PM，试探究PC+PM的最小值．
【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线AD的对称点C，连接PC、PM，由对称性可知PC＝PC，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当C、P、M三点共线时，PC+PM＝PC+PM＝CM，进而问题转化为探究C′M的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题．其次，小明发现可通过证明△DAF∽△ABE，得出AF⊥BE，进而可知∠AMB＝90°，即可确定点M的轨迹．
以下是证明∠AMB＝90°的部分过程，
证明：在矩形ABCD中，
∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AB＝2，，
∴，
证明过程缺失
请你补全上述缺失的证明过程；
【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使PC+PM的值最小，此时PC+PM的最小值为　 　 （保留作图痕迹）．
2026年中考数学：图形的相似专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B B B C B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 定西模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴11；
故选：B．
2．（2025 路南区校级三模）如图，在大树AB的右侧有三个台阶T1～T3，每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m．某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE＝0.45m，此时树梢顶点A的影子落在台阶T2上（包含两个端点）．已知大树AB的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则大树AB的高度可能是（　　）
A．3m B．3.5m C．3.8m D．4.2m
【解答】解：作T2R⊥BE，T2S⊥AB，则四边形BRT2S是矩形，
∴BS＝T2R＝0.2×2＝0.4（m），PD＝0.2×3＝0.6（m），RC＝0.4（m），
∴ST2＝BR＝BC+RC＝1.9+0.4＝2.3（m），
由题意得△AST2∽△PDE，
∴，即，
∴AS≈3.07（m），
∴AB＝AS+BS＝3.07+0.4＝3.47≈3.5（m），
故选：B．
3．（2025 深圳校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC＝CD，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∵AE⊥CD，
∴形ABCD的面积＝BC FG＝CD AE，
∴FG＝AE＝3，
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣3＝1，
∴AG2，
∵∠AGE＝∠AED＝90°，∠EAG＝∠DAE，
∴△EAG∽△DAE，
∴AE：AD＝AG：AE，
∴3：AD＝2：3，
∴AD，
∴菱形的边长为．
故选：C．
4．（2025 红安县模拟）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．24
【解答】解：△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，
故△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
故△A1B1C1的周长是12，
故选：B．
5．（2025 泗洪县一模）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△DEF的面积为（　　）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE＝10（cm）；
由折叠的性质可得：AF⊥DE，△DEF≌△DEA，
∴AF⊥BC，
∴S△ABCBC×AF10×8＝40（cm2），
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2．
∴S△DEF＝S△ADES△ABC＝10（cm2），
故选：B．
6．（2025 泌阳县二模）如图，点E为 ABCD的对角线BD上一点，，DB＝3，连接AE并延长至点F，使得AE＝EF，AF交DC边于点G，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点H，
则由平行四边形性质知H为AC中点，
∵AE＝EF，
∴EH为△AFC的中位线，
故CF＝2EH．
∵DH＝BH，，
∴，
∴EH1，
故CF＝2EH＝2．
故选：B．
7．（2025 前进区一模）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF，则BF的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，
∴AF＝EF，
∴CF是△ADE的中位线，CF，
∴DE＝2CF＝1，
∵DE＝DC，
∴AC＝DC＝1，
∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，
∴△CAF∽△CBA，
∴，
∴，
∴BC＝2，
∴BF＝BC﹣FC＝2．
故选：C．
8．（2025 资阳二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE AE；④S△ADM＝6．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵BF＝CE，
∴DE＝FC，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADG+∠FDC＝90°，
∴∠ADG+∠DAE＝90°，
∴∠AGD＝∠AGM＝90°．
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAG＝∠MAG．
∵AG＝AG，
∴△ADG≌△AMG（ASA）．
∴DG＝GM，
∵∠AGD＝∠AGM＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确．
由①可知，∠ADE＝∠DGE＝90°，∠DAE＝∠GDE，
∴△ADE∽△DGE，
∴，
∴DE2＝GE AE，
由①可知DE＝CF，
∴CF2＝GE AE．
故③正确．
∵ABCD为正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∴在Rt△ABC中，ACAB＝4．
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴AM＝AD＝4，
∴CM＝AC AM＝4 4．
由图可知，△DMC和△ADM等高，设高为h，
∴S△ADM＝S△ADC S△DMC，
∴ ，
∴h＝2，
∴S△ADM AM h4×24．
故④错误．
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴DG＝GM，
∴M关于线段AG的对称点为D，过点D作DN′⊥AC，交AC于N′，交AE于P′，
∴PM+PN最小即为DN′，如图所示，
由④可知△ADM的高h＝2即为图中的DN′，
∴DN′＝2．
故②不正确．
综上所述，正确的是①③共两个．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 清原县一模）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　11　 ．
【解答】解：由两个枫叶图案相似，
可得，
解得x＝11，
即x的值为11．
故答案为：11．
10．（2025 连云港一模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　3　 cm．
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CD，垂足为M，过点O'作O'N⊥AB，垂足为N，
∵CD//AB，
∴△CDO∽△ABO’，
∴，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O′N＝11﹣7＝4（cm），
∴，
解得：AB＝3，
故答案为：3．
11．（2025 济宁二模）如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP．请你补充一个条件　∠ACP＝∠B（答案不唯一）　 ，使△ABC∽△ACP．
【解答】解：∵△ABC中，P是AB上一点，连接CP．∠A＝∠A，
∴根据相似三角形的判定，还需有另一组角对应相等或者夹此角的两边对应成比例，
∴当∠ACP＝∠B或者∠APC＝∠ACB或者时，△ABC∽△ACP，
故答案为：∠ACP＝∠B（答案不唯一）．
12．（2025 怀仁市校级模拟）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为（﹣2，0）．以原点O为位似中心，在第四象限画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 　（2，﹣4）　 ．
【解答】解：位似图形如图所示，B1（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
13．（2025 从江县校级二模）在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛AB（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，已知以下数据：
①蜡烛AB的高度为18cm．
②小孔O到蜡烛AB的距离d1为40cm．
③小孔O到屏幕上像A′B′的距离d2为20cm．
则屏幕上像A′B′的高度是 　9　 cm．
【解答】解：根据题意知：AB∥A′B′，则△AOB∽△A′OB′，
所以AB：d1＝A′B′：d2，
所以18：40＝A′B′：20．
所以A′B′：9cm．
故答案为：9．
14．（2025 河南校级三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，O是BD的中点，点E在边BC上，四边形OECF是矩形，则S△BEO：S△EOF是 　1：3　 ．
【解答】解：连接OC交EF于点L，
∵四边形OECF是矩形，
∴∠EOF＝∠OEC＝90°，OL＝CLOC，EL＝FLEF，且OC＝EF，
∴∠BEO＝90°，OL＝EL，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴BC＝DC，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝90°﹣∠OBE＝30°，
∵O是BD边的中点，
∴CO⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵∠LOE＝90°﹣∠BOE＝60°，
∴△EOL是等边三角形，
∴∠FEO＝60°，
∵∠BEO＝∠EOF，∠OBE＝∠FEO，
∴△BEO∽△EOF，
∵tan∠BOE＝tan30°，
∴，
∴S△BEO：S△EOF＝1：3，
故答案为：1：3．
15．（2025 青阳县模拟）如图，P为正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PD，点E在PD上，连接CE，∠PBC＝∠PDB＝∠ECD．
（1）的值为　　 ；
（2）若∠PBC＝α，则∠PAD＝　90°﹣2α　 ．（用含α的式子表示）
【解答】解：（1）∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∠PBC＝∠PDB，
∴∠PBD＝∠CDE，
∴△PBD∽△EDC，
∴；
（2）如图，连接AC，交BD于点O，过点A作AM⊥PD于点M，连接OM，
∴∠AOD＝∠AMD＝90°，
∴点A，O，M，D在同一个圆上，
∴∠MOD＝∠MAD，
∵∠MAD＝90°﹣∠ADB﹣∠PDB＝45°﹣α，
∴∠MOD＝45°﹣α．
∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝45°﹣α，
∴∠MOD＝∠DBP，
∴OM∥BP，
∵O是BD的中点，
∴M是PD的中点，
∴AM垂直平分PD，
∴AM平分∠PAD，
∴∠PAD＝2∠MAD＝90°﹣2α．
16．（2025 番禺区校级二模）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△EFB＝2S△OGF；④，其中正确的是 　①②③④　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，CD＝AD＝AB，OD＝OB，CA＝DB，AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，OA＝OB＝ODDB，
∴∠ODA＝∠OAD＝∠OAB＝∠OBA＝45°，
由折叠得FG＝AG，FE＝AE，∠FDE＝∠ADE∠ODA＝22.5°，
∴∠AED＝∠FDE+∠OBA＝67.5°，∠AGE＝∠ADE+∠OAD＝67.5°，
故①正确；
∴∠AED＝∠AGE，
∴AG＝AE，
∴FG＝FE＝AG＝AE，
∴四边形AEFG是菱形，
故②正确；
∵∠DFE＝∠DAE＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
∴FB＝FE，
∵FG∥AB，
∴∠OGF＝∠OAB＝∠OBA＝∠OFG，
∴OF＝OG，
∴FE＝FGOF，
∴S△EFBFB FEFE2（OF）2＝OF2，
∵S△OGFOF OGOF2，
∴2S△OGF＝OF2，
∴S△EFB＝2S△OGF，
故③正确；
∵∠CDG＝∠ADC﹣∠FDE＝67.5°，∠CGD＝∠AGE＝67.5°，
∴CG＝CD＝DA，
∵CD∥AE，
∴，
故④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 永修县校级三模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，
∴，
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．
18．（2025 青浦区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC上一点，且OA BE＝OE CE．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）如果∠BDE＝∠DAE，求证：OB CD＝BE DE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OEB，
∴．
∵OA BE＝OE CE，
∴，
∴，
∴，
∵∠OBE＝∠DBC，
∴△OBE∽△DBC，
∴∠BEO＝∠C，
∴AE∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEO，
∵∠BDE＝∠DAE，
∴∠BEO＝∠BDE，
∵∠OBE＝∠EBD，
∴△OBE∽△EBD，
∴．
∵四边形AECD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAE，
∴∠C＝∠BDE，
∵∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴，
∴，
∴OB CD＝BE DE．
19．（2025 东莞市校级模拟）【问题情境】如图1，在△ACB中，∠ACB＝90°，CB＝6，CA＝8，过点B作直线MN⊥AB，点D在直线MN上运动，连接CD，过点C作CE⊥CD交直线AB于点E，连接DE，交BC于点F．
【分析发现】
（1）求证：△CDB∽△CEA；
【特例探究】
（2）如图2，若点E为AB的中点，求tan∠BDF的值；
【拓展延伸】
（3）是否存在异于点B的点D，使得△ECD与△ACB全等？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCB+∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
∵MN⊥AB，
∴∠CBD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△CDB∽△CEA．
（2）解：∠ACB＝90°，CB＝6，CA＝8，
∴，
∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，
∴，
∵△CDB∽△CEA，
∴，
即，
∴，
∵∠EBD＝90°，
∴；
（3）解：存在．理由如下：
如图，点E在AB的延长线上时，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
由（2）同理得∠A＝∠CBD，
∴△CDB∽△CEA，
∴∠CDB＝∠CEA．
当CB＝CD＝6 时，有∠CBD＝∠CDB，
∴∠A＝∠CEA，
∴CA＝CE＝8，
∴△ECD≌△ACB（SAS），
∴存在异于点B的点D，使得△ECD与△ACB 全等，
如图，过点C作 CH⊥AE于点H，
∴AH＝EH，
由，得，
∴，
∴，
∴BH＝AB﹣AH＝10，
∴BE＝HE﹣BH．
20．（2025 青阳县模拟）在△ABC中，点P在BC边上，过点P作PD∥AB，PE∥AC，Q为△ABC外一点，ED垂直平分PQ，分别连接AQ，DQ．
（1）如图1，求证：AE＝DQ；
（2）如图1，设PQ分别与DE，AD相交于点G，H，求证：；
（3）如图2，若AB＝AC，连接CQ，求∠B+∠AQC的度数．
【解答】（1）证明：∵PD∥AB，PE∥AC，
∴四边形ADPE为平行四边形，
∴AE＝PD．
∵ED垂直平分PQ，
∴PD＝DQ，
∴AE＝DQ．
（2）证明：连接EQ，交AD于点O．
∵ED垂直平分PQ，
∴EP＝EQ＝AD．
∵AQ＝QA，AE＝QD，
∴△AQE≌△QAD（SSS），
∴∠AQE＝∠QAD，
同理△AED≌△QDE（SSS），
∴∠ADE＝∠QED．
又∵∠AOQ＝∠EOD，
∴∠ADE＝∠QED＝∠AQE＝∠QAD，
∴AQ∥DE，
∴∠AQH＝∠EGP．
∵PE∥AC，
∴∠AHQ＝∠EPG，
∴△AQH∽△EGP，
∴；
（3）解：连接EQ．
∵AB＝AC，PD∥AB，
∴∠B＝∠DPC＝∠ACB，
∴DP＝DC．
∵ED垂直平分PQ，
∴DQ＝DP＝DC，
∴∠DCQ＝∠DQC．
由（2）知△AQE≌△QAD，
∴∠AQD＝∠BAQ，
∴∠B+∠AQC＝∠ACB+∠DQC+∠AQD＝∠ACB+∠DCQ+∠BAQ＝∠BCQ+∠BAQ，
∵∠B+∠AQC+∠BCQ+∠BAQ＝360°，
∴∠B+∠AQC＝180°．
21．（2025 惠城区校级三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
（1）如图1，矩形纸片ABCD中，AD＝2，，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片ABCD展开，得到折痕MN，连接CM，折叠△DCM，点D的对应点为点D′，过D′作D′G⊥AD于点G，则D′G的长度为 　　 ．
迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图②，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应点D′；
操作三：如图③，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD'折叠再展开，折痕MD与边AB交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
（2）求证：BP＝D′P；
（3）求证：AP：BP＝2：1．
拓展探究：
（4）在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD'折叠再展开，折痕CD'与边AB交于点Q，如图④．试探究：　　 （直接写出结果，不需证明）．
【解答】（1）解：在矩形ABCD中，由折叠知，△CDM≌△CD'M，
∵AM＝DM，CD＝CD'＝AB，
∴CM＝2，DM，
∴∠DCM＝∠D'CM＝30°，
∴∠DCD'＝∠DCM+∠MCD'＝60°，
∵D'G⊥AD，∠D＝90°，
∴D'G∥CD，
∴∠GD'C＝180°﹣∠DCD'＝120°，
∴∠GD'M＝∠GD'C﹣∠MD'C＝30°，
在Rt△D'GM中，D'M＝1，GM，
∴D'G，
故答案为：；
（2）证明：如图，连接PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD．
∴∠MD'C＝∠D＝90°，
∴∠CD'P＝90°，
在Rt△CD′P和Rt△CBP 中，
，
∴Rt△CD'P≌Rt△CBP（HL），
∴BP＝D'P；
（3）证明：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D'M，
设BP＝x，则，AP＝1﹣x．
在Rt△AMP中，根据勾股定理得，AM2+AP2＝MP2，
∴，
解得 ，
∴，，
∴AP：BP＝2：1；
（4）解：如图，连接QM，
由折叠知，∠MD'C＝∠MD'Q＝90°，MA＝MD'，
∴∠QD'M＝180°﹣∠MD'C＝90°，
∴∠QD'M＝∠A＝90°，
在Rt△AQM和RtΔD'QM 中，
，
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL）．
∴AQ＝D′Q．
设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD'＝y，
则，
在Rt△QPD'中，根据勾股定理得，QD'2+D'P2＝QP2，
∵，
∴，
解得 ，
∴，
∴．
故答案为：．
22．（2025 淅川县三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究
【特例探究】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：AC2＝AD AB；
【类比研究】
（2）如图2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE＝∠AFC．请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内有一点D满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB＝∠CBD，请直接写出线段BE的最小值．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB；
（2）解：△AEB是直角三角形；理由如下：
∵∠ACE＝∠AFC，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ADF+∠EAB，即90°+∠BCE＝90°+∠EAB，
∴∠BCE＝∠EAB，
如图2，记AB，CE的交点为O，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE∽△COB，
∴，∠OBC＝∠OEA，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC∽△EOB，
∴∠CAO＝∠BEO，
∴∠AEB＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴△AEB是直角三角形；
（3）解：线段BE的最小值为5．理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴，
∴CD CE＝CB2＝20，
如图3，以点A为圆心，2为半径作⊙A，
∵AC＝AD＝2，
∴C，D都在⊙A上，∠CDD0＝90°，延长CA至点E0，使得CE0＝5，交⊙A于点D0，
∴CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0 CE0＝20＝CD CE，则．
∵∠ECE0＝∠DCD0，
∴△ECE0∽△D0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动．
如图3：过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，
∵∠CE0E＝∠BE′E＝∠ACB＝90°，
∴四边形BCE0E′是矩形．
∵CE0＝BE′＝5，
∴线段BE的最小值为5．
23．（2025 南关区校级三模）【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E在边AD上，点F在射线DC上，且，连接BE、AF交于点M，若点P是AD边上的一个动点，连接PC、PM，试探究PC+PM的最小值．
【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线AD的对称点C，连接PC、PM，由对称性可知PC＝PC，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当C、P、M三点共线时，PC+PM＝PC+PM＝CM，进而问题转化为探究C′M的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题．其次，小明发现可通过证明△DAF∽△ABE，得出AF⊥BE，进而可知∠AMB＝90°，即可确定点M的轨迹．
以下是证明∠AMB＝90°的部分过程，
证明：在矩形ABCD中，
∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AB＝2，，
∴，
证明过程缺失
请你补全上述缺失的证明过程；
【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使PC+PM的值最小，此时PC+PM的最小值为　　 （保留作图痕迹）．
【解答】【问题分析】证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AB＝2，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠EAB＝∠FDA＝90°，
∵△DAF∽△ABE，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠BAF+∠ABE）＝90°，
∴点M再以AB为直径的圆上；
【问题解决】作线段AB的垂直平分线，交CD于G，交AB于O，以O为圆心，OA为半径画圆，则点M的轨迹，如图③即为所求；
由题意得：DG＝AO＝OM＝1，，∠DGO＝90°，
作点C关于直线AD的对称点C′，连结OC′交AD于P，交⊙O于M，连接BM并延长交AD于E，连接AM并延长交CD于F，则C′D＝CD＝2，
∴C′G＝C′D+DG＝3，PC+PM＝PC′+PM＝C′M，
在直角三角形OC′G中，由勾股定理得：，
∴，
∴PC+PM的最小值为，
故答案为：．
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