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2026年中考数学：一元一次方程与一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
2．（2025 祁阳市校级模拟）如图，小李在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“+”，少于目标数的步数记为“﹣”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为（　　）
A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步
3．（2025 南宁模拟）若x＝2是关于x的方程x+a＝﹣1的解，则a的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．3
4．（2025 邯郸二模）宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有x斗酒，可以列得方程（　　）
A．2×2（2x﹣1）﹣1＝0 B．2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0
C．2（2x﹣1）﹣1﹣1＝0 D．x﹣2（2x﹣1）﹣1﹣1＝0
5．（2025 内蒙古模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
6．（2025 宁江区校级模拟）已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且m≠0 B．且m≠0 C． D．
7．（2025 顺城区模拟）关于方程（x﹣2）2﹣1＝0根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．（2025 哈尔滨校级模拟）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
二．填空题（共8小题）
9．（2025 缙云县二模）方程4x+1＝5的解是　 　 ．
10．（2025 永寿县校级模拟）春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价40%后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打　 　 折销售．
11．（2025 东莞市校级模拟）幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为　 　 ．
12．（2025 孝南区校级三模）设x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ．
13．（2025 绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若设共有x人，则根据题意，可列方程为：　 　 ．
14．（2025 樟树市校级三模）已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2mn﹣n的值为　 　 ．
15．（2025 青白江区模拟）已知关于x的方程．x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 　 　 ．
16．（2025 郫都区校级模拟）若一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 宁德二模）解方程：3（x﹣2）+1＝x﹣1．
18．（2025 齐齐哈尔四模）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
19．（2025 榆阳区校级模拟）《九章算术》中第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天可飞到北海；大雁从北海起飞，9天可飞到南海．若野鸭、大雁同时起飞，问经过多少天相遇？
20．（2025 淮安区模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
21．（2025 碧江区 校级模拟）现有一块长BC为30米，宽AB为20米的矩形ABCD空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为x米．
（1）所有路的总面积为　 　 ．（用含x的代数式表示）；
（2）求x的值．
22．（2025 重庆校级模拟）米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共需2210元，敖丙手办共需1000元．
（1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
（2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低m元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了2m个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值．
23．（2025 富锦市二模）几何综合题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝12cm，AB＝6cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿AD向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，以P、Q、B、D为顶点的四边形是平行四边形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形PQDC的面积等于原四边形ABCD面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
24．（2025 深圳校级模拟）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得，．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+5）（x+9）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，
∴（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得：x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为 　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+7）＝12．
2026年中考数学：一元一次方程与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A B A A A B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
【解答】解：A．若ac2＝bc2，则a＝b错误，当c＝0时，a不一定等于b，故选项A错误；
B．若a＝b，则ac2＝bc2，故选项B正确；
C．若a+3＝b+3，则a＝b，故选项C正确；
D．若a＝b，则，故选项D正确．
故选：A．
2．（2025 祁阳市校级模拟）如图，小李在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“+”，少于目标数的步数记为“﹣”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为（　　）
A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步
【解答】解：设这四天中小李平均每天走的步数为x步，
根据题意得：4x＝650﹣500+1258﹣368+4×8000，
解得x＝8260，
∴这四天中小李平均每天走的步数为8260步；
故选：A．
3．（2025 南宁模拟）若x＝2是关于x的方程x+a＝﹣1的解，则a的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．3
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x+a＝﹣1的解，
∴2+a＝﹣1，
解得：a＝﹣3，
故选：A．
4．（2025 邯郸二模）宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有x斗酒，可以列得方程（　　）
A．2×2（2x﹣1）﹣1＝0 B．2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0
C．2（2x﹣1）﹣1﹣1＝0 D．x﹣2（2x﹣1）﹣1﹣1＝0
【解答】解：根据题意得：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，
故选：B．
5．（2025 内蒙古模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【解答】解：把x＝2代入关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0中，得4﹣2k﹣2＝0，
解得k＝1，
故选：A．
6．（2025 宁江区校级模拟）已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且m≠0 B．且m≠0 C． D．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴．
解得m且m≠0．
故选：A．
7．（2025 顺城区模拟）关于方程（x﹣2）2﹣1＝0根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：∵一元二次方程（x﹣2）2﹣1＝0可化为x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（2025 哈尔滨校级模拟）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 缙云县二模）方程4x+1＝5的解是　x＝1　 ．
【解答】解：4x+1＝5，
移项得，4x＝5﹣1，
合并同类项得，4x＝4，
x的系数化为1得，x＝1，
故答案为：x＝1．
10．（2025 永寿县校级模拟）春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价40%后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打　八五　 折销售．
【解答】解：设商店打x折销售，
根据题意得：200×（1+40%）200＝38，
解得：x＝8.5，
∴商店打八五折销售．
故答案为：八五．
11．（2025 东莞市校级模拟）幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为　0　 ．
【解答】解：根据题意得：x+10＝4+6，
解得：x＝0，
∴图中x表示的值为0．
故答案为：0．
12．（2025 孝南区校级三模）设x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣4　 ．
【解答】解：∵x1和x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，
则x1+x24．
故答案为：﹣4．
13．（2025 绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若设共有x人，则根据题意，可列方程为：　8x﹣3＝7x+4　 ．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：8x﹣3＝7x+4，
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
14．（2025 樟树市校级三模）已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2mn﹣n的值为　﹣2024　 ．
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2025，m2＝2025﹣m．
∴m2+2mn﹣n＝2025﹣m+2mn﹣n
＝2025﹣（m+n）+2mn
＝2025﹣（﹣1）﹣2×2025
＝2025+1﹣4050
＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
15．（2025 青白江区模拟）已知关于x的方程．x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 　﹣4　 ．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝1﹣4m≥0，
∴m，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴m2+2m﹣1+1＝8，
解得：m＝2（舍）或m＝﹣4；
故答案为：﹣4．
16．（2025 郫都区校级模拟）若一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 　4+2　 ．
【解答】解：设两条直角边的长分别是x1，x2，
则x1+x2＝4，x1 x2＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣4＝12，
∴直角三角形斜边的长是2，
∴这个直角三角形的周长为：4+2．
故答案为：4+2．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 宁德二模）解方程：3（x﹣2）+1＝x﹣1．
【解答】解：3x﹣6+1＝x﹣1，
2x＝4，
解得：x＝2．
18．（2025 齐齐哈尔四模）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣6）（x+4）＝0，
可得x﹣6＝0或x+4＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣4．
19．（2025 榆阳区校级模拟）《九章算术》中第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天可飞到北海；大雁从北海起飞，9天可飞到南海．若野鸭、大雁同时起飞，问经过多少天相遇？
【解答】解：设经过x天相遇，
根据题意得：1，
解得：x．
答：若野鸭、大雁同时起飞，经过天相遇．
20．（2025 淮安区模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
【解答】解：设有x人，
根据题意得，8x﹣3＝7x+4，
解得x＝7，
物价：7×7+4＝53（元），
答：有7人，物品的价值是53钱．
21．（2025 碧江区 校级模拟）现有一块长BC为30米，宽AB为20米的矩形ABCD空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为x米．
（1）所有路的总面积为　﹣x2+50x　 ．（用含x的代数式表示）；
（2）求x的值．
【解答】解：（1）水平方向小路面积为30x，竖直方向小路面积为x（20﹣x），
故所有路的总面积为：30x+x（20﹣x）＝﹣x2+50x，
故答案为：﹣x2+50x．
（2）根据题意列一元二次方程得：﹣x2+50x＝96，
化简得：（x﹣2）（x﹣48）＝0，
解得x1＝2，x2＝48，
经检验：x2＝48不符合题意，舍去．
即x＝2，
所以x的值为2．
22．（2025 重庆校级模拟）米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共需2210元，敖丙手办共需1000元．
（1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
（2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低m元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了2m个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值．
【解答】解：（1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为1.3x元，根据题意得，
，
整理得，18.2x＝910，
解得x＝50
经检验x＝50是原方程的解，且符合题意，
1.3x＝1.3×50＝65（元），
所以哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元，
答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；
（2）由（1）可得计划购买敖丙手办（个），哪吒手办20+14＝34（个），
据题意得，（65﹣3m）（34+2m）+（50﹣m）（20+2）＝2210+1000+100，
解得m＝1或m＝0（舍去）
答：m的值为1．
23．（2025 富锦市二模）几何综合题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝12cm，AB＝6cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿AD向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，以P、Q、B、D为顶点的四边形是平行四边形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形PQDC的面积等于原四边形ABCD面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）8÷2＝4（s），12÷1＝12（s）．
当运动时间为t（0≤t≤4）s时，AQ＝2t cm，BP＝t cm，DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣2t）cm，CP＝BC﹣BP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当DQ＝BP时，以P、Q、B、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴8﹣2t＝t，
解得：t．
答：当t为时，以P、Q、B、D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）存在，当运动时间为t（0≤t≤4）s时，AQ＝2t cm，BP＝t cm，DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣2t）cm，CP＝BC﹣BP＝（12﹣t）cm，
根据题意得：DQ+CP（AD+BC），
即8﹣2t+12﹣t（8+12），
解得：t．
答：存在某一时刻t，使得四边形PQDC的面积等于原四边形ABCD面积的一半，t的值为．
24．（2025 深圳校级模拟）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得，．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+5）（x+9）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，
∴（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得：x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为 　7　 ，　2　 ，　﹣4　 ，　10　 ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+7）＝12．
【解答】解：（1）∵（x+5）（x+9）＝5，
∴[（x+7）﹣2][（x+7）+2]＝5，
∴（x+7）2﹣4＝5，
∴（x+7）2＝9，
∴x+7＝3或x+7＝﹣3，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣10．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，﹣4，﹣10．
故答案为：7，2，﹣4，﹣10；
（2）∵（x﹣5）（x+7）＝12，
∴[（x+1）﹣6][（x+1）+6]＝12，
∴（x+1）2﹣36＝12，
∴（x+1）2＝48，
∴，，
解得：，．
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