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2026年中考数学：圆专题训练
一．选择题（共9小题）
1．（2025 柳州模拟）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　）
A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2
2．（2025 柳州模拟）已知⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，则点P到圆O的距离可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025 沙市区模拟）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（　　）
A．300πmm B．60πmm C．40πmm D．20πmm
4．（2025 张掖模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AD的长为（　　）
A．9 B． C．10 D．
5．（2025 新华区校级一模）如图，点O为△ABC的外心，连接OC，作正方形OCDE．下列说法不一定正确的是（　　）
A．点O在边AB的垂直平分线上
B．点O为△ABE的外心
C．OC平分∠ACB
D．直线DE与△ABC的外接圆相切
6．（2025 中山市二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
7．（2025 五华区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　）
A．155° B．145° C．135° D．125°
8．（2025 怀仁市校级模拟）如图，在△ABC中，，点O在BC上，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC相切于点A，与OC相交于点D，则CD的长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
9．（2025 宜兴市模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
10．（2025 茄子河区一模）底面半径为8cm的圆锥，其侧面展开图是扇形的半径是10cm，则这个扇形的圆心角是 　 　 ．
11．（2025 埇桥区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若，DE＝4，则BC的长是 　 　 ．
12．（2025 泌阳县二模）如图，扇形ABC的半径为4，∠ABC＝90°，以AB为直径画半圆，取的中点D，连接CD，则阴影部分的面积为　 　 ．
13．（2025 鹿城区校级一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠C＝65°，那么∠P的度数等于 　 　 ．
14．（2025 邗江区模拟）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角α为60°，若该圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为 　 　 ．
15．（2025 二七区校级三模）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一点．将半圆O沿BC翻折，点O的对应点O′落在上，点A的对应点为D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
16．（2025 二七区校级三模）（1）知识铺垫：如图1，在△ABC中，∠ACB＝120°，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为　 　 ．
（2）拓展应用：如图2，在边长为1的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为对角线AC上的动点，且∠CAE＝∠ABF，AE，BF交于点G，连接CC，则CG的最小值为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 灌南县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．
18．（2025 内蒙古模拟）如图，在△ACD中，DA＝DC，B是AC边上一点，以AB为直径的圆O经过点D，F是直径AB上一点（不与点A，B重合），连接DF并延长交圆O于点E，连接EA，EB．
（1）求证：∠C＝∠DEB．
（2）若，∠C＝30°．
①求∠DFB的度数；
②若，求AD的长．
19．（2025 淮安区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段AD和DE的长．
20．（2025 邯郸模拟）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路．
已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）
（1）圆心O到折线AC的距离；
（2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长．
（3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数．
21．（2025 皇姑区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）连接OH交DF于G，若，OA＝1，求AF的值．
22．（2025 椒江区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，D是AC边上的动点，过点B，A，D作⊙O，交BC于点E．过点A作AG⊥BE交BC于点G．
（1）如图1，连接DE，求证：；
（2）如图2，AF是⊙O的直径，连接 FG，AE．
①求证：∠EAF＝∠C；
②若圆心O满足在AG左侧时，记△AFG与△AEG的面积之和为k，则k是否为定值？若是，请写出求解过程；若不是，请说明理由．
23．（2025 武安市二模）已知AB为⊙O的直径，AB＝16，C为AB上的动点，D为⊙O上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接AD，DB，DC．
（1）如图1，当C为AB的三等分点，且AC＞BC时，　 　 ．
（2）如图2，若点C在半径OB上（点C不与点O重合），将CB绕点C逆时针旋转90°后得到CB'，且点B'落在AD所在直线上，设BC＝x，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若∠BDC＝60°，延长DC交⊙O于点E，在DE上取一点F，使得EF．
①求的值；
②连接BF，记BF＝d，直接写出d的最小值．
2026年中考数学：圆专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D B C C B B B
一．选择题（共9小题）
1．（2025 柳州模拟）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　）
A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2
【解答】解：扇形的面积公式3πcm2，
故选：B．
2．（2025 柳州模拟）已知⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，则点P到圆O的距离可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，
∴PO＜r，
∴PO＜6，
∴点P到圆O的距离可能是5．
故选：A．
3．（2025 沙市区模拟）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（　　）
A．300πmm B．60πmm C．40πmm D．20πmm
【解答】解：的长为20π（mm）．
故选：D．
4．（2025 张掖模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AD的长为（　　）
A．9 B． C．10 D．
【解答】解：∵直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，
∴，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
∴，
故选：B．
5．（2025 新华区校级一模）如图，点O为△ABC的外心，连接OC，作正方形OCDE．下列说法不一定正确的是（　　）
A．点O在边AB的垂直平分线上
B．点O为△ABE的外心
C．OC平分∠ACB
D．直线DE与△ABC的外接圆相切
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O在边AB的垂直平分线上，故A符合题意；
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝OE，
∴OA＝OB＝OE，
∴点O为△ABE的外心，故B不符合题意；
∵OE⊥DE，OA＝OB＝OE＝OC，
∴点E在△ABC的外接圆上，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切，故D不符合题意；
∵点O为△ABC的外心，
∴OC不一定平分∠ACB，故C符合题意．
故选：C．
6．（2025 中山市二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
【解答】解：如图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A1A2，垂足为M，设⊙O的半径为R，
∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，
∴∠A1OA230°，
又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，
∴∠A1OM＝15°，
在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，
∴A1M＝R sin15°，
∴A1A2＝2A1M＝2R sin15°，
∴正十二边形A1A2…A12的周长为12A1A2＝2R sin15°×12，
∴π12sin15°，
故选：C．
7．（2025 五华区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　）
A．155° B．145° C．135° D．125°
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣55°＝35°，
∵∠BDC+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣35°＝145°．
故选：B．
8．（2025 怀仁市校级模拟）如图，在△ABC中，，点O在BC上，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC相切于点A，与OC相交于点D，则CD的长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【解答】解：如图，连接OA，
∵⊙O与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C，
∴∠C＝30°，
∴OC＝2OA，
在Rt△OAC中，OA2+AC2＝OC2，
∴OA2+（4）2＝（2OA）2，
解得：OA＝4（负值舍去），
∴OC＝2OA＝8，
∴CD＝OA﹣OD＝8﹣4＝4，
故选：B．
9．（2025 宜兴市模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接AC，CO，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°．
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°．
又∵∠AOB＝120°，
∴∠CAO+∠AOB＝180°，
∴AC∥OB，
∴S△ABC＝S△AOC，
∴．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
10．（2025 茄子河区一模）底面半径为8cm的圆锥，其侧面展开图是扇形的半径是10cm，则这个扇形的圆心角是 　288°　 ．
【解答】解：设扇形的圆心角为α．
2π×8，
∴α＝288°．
故答案为：288°．
11．（2025 埇桥区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若，DE＝4，则BC的长是 　2　 ．
【解答】解：∵OD⊥AC，，
∴，
设OA＝OE＝r，则OD＝DE﹣OE＝4﹣r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，
∴，
解得r＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2r＝6，∠ACB＝90°，
∴，
故答案为：2．
12．（2025 泌阳县二模）如图，扇形ABC的半径为4，∠ABC＝90°，以AB为直径画半圆，取的中点D，连接CD，则阴影部分的面积为　　 ．
【解答】解：取AB中点M，连接DM，令AB与CD的交点为N，
∵点D为弧AB的中点，
∴∠AMD＝∠BMD＝90°．
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝DM＝2．
又∵∠ABC＝90°，
∴DM∥BC，
∴△DMN∽△CBN，
∴，
即，
∴BN，
∴．
又∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
13．（2025 鹿城区校级一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠C＝65°，那么∠P的度数等于 　50°　 ．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴∠P＝360°﹣130°﹣90°﹣90°＝50°．
故答案为：50°．
14．（2025 邗江区模拟）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角α为60°，若该圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为 　千米　 ．
【解答】解：∵CA，CB是切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴∠AOB+∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠ACB+α＝180°，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴的长（千米），
故答案为：千米．
15．（2025 二七区校级三模）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一点．将半圆O沿BC翻折，点O的对应点O′落在上，点A的对应点为D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　　 ．
【解答】解：如图，由翻折可知，OB＝O′B＝OC＝O′C，
∴四边形OBO′C是菱形，∠COO′＝60°＝∠BOO′，
∴S阴影部分＝S△COO′
2×（2）
．
故答案为：．
16．（2025 二七区校级三模）（1）知识铺垫：如图1，在△ABC中，∠ACB＝120°，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为　120°　 ．
（2）拓展应用：如图2，在边长为1的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为对角线AC上的动点，且∠CAE＝∠ABF，AE，BF交于点G，连接CC，则CG的最小值为　　 ．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，则OC＝OA＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∵∠ACB＝120°，
∴∠OAC+∠OBC＝∠OCA+∠OCB＝∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝360°﹣（∠OAC+∠OBC+∠ACB）＝120°，
故答案为：120°．
（2）如图2，作△ABG的外接圆，圆心为点L，连接AL、BL、CL、GL，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB＝CB＝1，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC，
∵∠CAE＝∠ABF，
∴∠BGE＝∠ABF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝45°，
∴∠AGB＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵GL＝AL＝BL，
∴∠LAG＝∠LGA，∠LBG＝∠LGB，
∴∠LAG+∠LBG＝∠LGA+∠LGB＝∠AGB＝135°，
∴∠ALB＝360°﹣（∠LAG+∠LBG+∠AGB）＝90°，
∴∠BAL＝∠ABL＝45°，
∴∠LAC＝∠BAL+∠BAC＝90°，
∵ABAL＝1，
∴GL＝AL，
∴CL，
∴CL﹣GL，
∵CG+GL≥CL，
∴CG≥CL﹣GL，
∴CG，
∴CG的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 灌南县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠A＝∠2，
又∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6，
∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3，
设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，
在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32，
解得：，
∴⊙O的半径是．
18．（2025 内蒙古模拟）如图，在△ACD中，DA＝DC，B是AC边上一点，以AB为直径的圆O经过点D，F是直径AB上一点（不与点A，B重合），连接DF并延长交圆O于点E，连接EA，EB．
（1）求证：∠C＝∠DEB．
（2）若，∠C＝30°．
①求∠DFB的度数；
②若，求AD的长．
【解答】证明（1）∵DA＝DC，
∴∠DAB＝∠C，
∵，
∴∠DAB＝∠DEB，
∴∠C＝∠DEB；
解：（2）如图所示，连接BD，过点F作FG⊥AD，
①∵AB为直径，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∵，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∵DA＝DC，∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠C＝30°，
∴∠DFB＝∠DAB+∠ADE＝30°+45°＝75°；
②∵FG⊥AD，
∴∠DGF＝∠AGF＝90°，
由①得：∠ADE＝45°，
∴∠GFD＝45°，
∴DG＝GF，
设DG＝GF＝x，由勾股定理得DG2+GF2＝DF2，
，
2x2＝8，
x2＝4，
x＝2或﹣2（不合题意舍去），
∴DG＝GF＝2，
由①可知：∠DAB＝30°，
∴AF＝2GF＝4，
由勾股定理得：
，
∴．
19．（2025 淮安区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段AD和DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠EDB+∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，
∵△AOH∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH，AD，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，
∵OE2＝DE2+OD2＝EC2+OC2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得x＝4.75，
∴DE＝4.75．
20．（2025 邯郸模拟）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路．
已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）
（1）圆心O到折线AC的距离；
（2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长．
（3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数．
【解答】解：（1）如图所示，过点O作OD⊥AC于点D，
∵AC＝16mm，
∴mm，
又AO＝10mm，
∴（mm），
即圆心O到折线AC的距离为6mm；
（2）如图所示，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，OC，
依题意，OE＝8mm，
∴在Rt△AOE中，（mm），
∵，，
∴∠OAE＝53°，∠DAO＝37°，
∴∠BAC＝53°﹣37°＝16°，
∴∠BOC＝32°，
∴π；
（3）如图所示，过点O作OF∥AM交CN于点F，
由（2）可得∠OAE＝53°，则∠BOE＝∠AOE＝37°，∠BOC＝32°，
∴∠EOC＝69°，
∴∠COF＝90°﹣∠EOC＝21°，
又∵CN是⊙O的切线，
∴CN⊥OC，
∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝90°﹣21°＝69°，
即光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数为69°．
21．（2025 皇姑区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）连接OH交DF于G，若，OA＝1，求AF的值．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点．
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的一条中位线，
∴OD∥AC．
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD．
∵OD为⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接OH交DF于点G．
由（1）可知OD∥AC，
∴△EHG∽△DOG，
∴，即，
解得EH．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC．
∵∠CED+∠AED＝180°，∠ABC+∠AED＝180°，
∴∠CED＝∠ABC，
∴∠C＝∠CED，
∴DE＝CD．
∵DH⊥AC，
∴CE＝2EH＝2．
∵AC＝AB＝2OA＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝2．
∵OD∥AC，
∴△EAF∽△DOF，
∴，即，
解得AF＝2，
∴AF的值为2．
22．（2025 椒江区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，D是AC边上的动点，过点B，A，D作⊙O，交BC于点E．过点A作AG⊥BE交BC于点G．
（1）如图1，连接DE，求证：；
（2）如图2，AF是⊙O的直径，连接 FG，AE．
①求证：∠EAF＝∠C；
②若圆心O满足在AG左侧时，记△AFG与△AEG的面积之和为k，则k是否为定值？若是，请写出求解过程；若不是，请说明理由．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵∠BAC＝90°，
∴BD为直径．
∴∠BED＝90°，
又∵∠BGA＝90°，
∴AG∥DE．
∴．
（2）①证明：∵AG⊥BC，
∴∠C+∠GAC＝90°．
又∵∠BAG+∠GAC＝90°，
∴∠C＝∠BAG．
连接BF，如图2所示：
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°．
由同弧所对的圆周角相等知∠BFA＝∠AEB，
又∵∠AGE＝90°，
∴∠BAF＝∠EAG，
∴∠BAG＝∠EAF．
故∠EAF＝∠C．
②解：k为定值，理由如下：
由勾股定理可知BC10，
由等面积法可知AG．
作FH⊥BE于点H，连接BF、EF，如图3所示，
设BF＝x，
由AF为直径知∠ABF＝90°，∠BAF＝∠BEF，
∴tan∠BEF＝tan∠BAF，
即，则HE．
∵sinC，且∠C＝∠EAF＝∠HBF，
∴sin∠HBFsinC，
故HF，HE，即HE为定值．
∵S△AFG+S△AEG
，
即k为定值．
23．（2025 武安市二模）已知AB为⊙O的直径，AB＝16，C为AB上的动点，D为⊙O上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接AD，DB，DC．
（1）如图1，当C为AB的三等分点，且AC＞BC时，　2　 ．
（2）如图2，若点C在半径OB上（点C不与点O重合），将CB绕点C逆时针旋转90°后得到CB'，且点B'落在AD所在直线上，设BC＝x，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若∠BDC＝60°，延长DC交⊙O于点E，在DE上取一点F，使得EF．
①求的值；
②连接BF，记BF＝d，直接写出d的最小值．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵C为AB的三等分点，且AC＞BC，
∴AC＝2CB．
∴2．
故答案为：2；
（2）由题意得：∠B′CB＝90°，B′C＝BC＝x，
∵AB＝16，
∴AC＝AB﹣BC＝16﹣x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠ACB′＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ACB′，
∴，
∵，
∴y与x之间的关系式为y．
∵点C在半径OB上（点C不与点O重合），
∴0＜x＜8，
∵y，
∴y＞1．
（3）①连接BE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝∠BDC＝60°，
∴AE＝AB cos60°AB，
∴．
∵EF，
∴，
∴，
∵∠AEF＝∠ABD，
∴△AEF∽△ABD，
∴；
②连接BE，取AE的中点M，连接FM，BM，过点M作MN⊥AB于点N，如图，
由（3）①知：△AEF∽△ABD，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∵M为AE的中点，
∴AM＝ME＝MFAE4，
∵MN⊥AB，∠EAB＝∠BDC＝60°，
∴MN＝AM sin60°＝42，AN＝AM cos60°＝42，
∴BN＝AB﹣AN＝14，
∴BM4．
∵BF≥BM﹣MF＝44，
∴当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值＝44．
∵BF＝d，
∴d的最小值为44．
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