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2026年中考数学：四边形专题训练
一．选择题（共8小题）
1．（2025 浙江模拟）已知一个菱形的周长是20，面积是24，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．7 B． C．14 D．
2．（2025 五华区校级模拟）如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2025 天元区校级模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形
C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
4．（2025 织金县模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB 垂足为E，若∠BCD＝50°，则∠BOE 的大小为（　　）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
5．（2025 南岸区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接BE，过点E作BE的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点G，若点F是EG的中点，AB＝3，则EG的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
6．（2025 重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的一点，且，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE延长线于点F，连接AF，则线段AF的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 椒江区校级模拟）如图，已知矩形ABCD，AD＝2AB，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A'、C'、D′，设m＝AA'+CC'+DD'，若AB＝1，则m的最小值为（　　）
A． B． C． D．4
8．（2025 铁东区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为边AD，CD上一点，且满足AE＝DF，AF，BE相交于点G．连接BF，点H为BF的中点，连接GH，则GH的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 子洲县二模）如图，在正五边形ABCDE中，延长AE，CD交于点F，则∠F的度数是 　 　 °．
10．（2025 从江县校级二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，则CF的长为　 　 ．
11．（2025 虞城县二模）如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°．过菱形ABCD的中心O分别作边AB、BC的垂线，交各边于点E、F、G、H．则四边形EFGH的周长为 　 　 ．
12．（2025 千山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE、AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段CH的长是　 　 ．
13．（2025 旺苍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDFE，当AE取得最小值时，BD的长为　 　 ．
14．（2025 天河区校级四模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点E为边BC上一动点，点F为AE中点，点G为DE上一点，满足EF＝FG，连接CG，则CG的最小值为　 　 ．
15．（2025 广东模拟）如图，O是 ABCD内一点，连接AO，BO，CO，DO，过点A作AE∥BO，过点D作DE∥CO交AE于点E．若 ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
16．（2025 武侯区校级模拟）在 ABCD中，tanB＝2，点E，F分别是BC，AB边上的动点，满足∠DEF＝∠B，DF⊥EF．
①当E为BC中点时，若AF＝2，则BC＝　 　 ；
②的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
18．（2025 江阴市一模）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，AE＝2，求BC的长．
19．（2025 东湖区校级模拟）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离．
20．（2025 南山区一模）在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E为平面内一点，且BE＝1．
（1）若AB＝BC，
①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF＝60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；
②如图2，连接AE，作∠EAF＝30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；
（2）如图3，连接AC，若∠BAC＝90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF＝90°，∠PEF＝60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差为 　 　 ．
21．（2025 孝义市三模）综合与探究
问题情境：在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将△DEF沿EF折叠，点D的对应点为D′，FD′的延长线与边AB交于点G，连接AD′．
数学思考：
（1）如图1，求证：△AGD′是等腰三角形；
拓展探究：
过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H，射线DD′与GH交于点P．
（2）如图2，若点P在DD′的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝4，在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD′是等腰三角形？若存在，请直接写出DF的长；若不存在，请说明理由．
22．（2025 昌邑区校级三模）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
【操作发现】
（1）如图②，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点E落在边AD上，线段BE与DG的数量关系是　 　 ，∠ABE与∠ADG的关系是　 　 ．
【猜想证明】
（2）如图③，正方形AEFG绕点A逆时针旋转某一角度α（0＜α＜90°）时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在直线AD上，当AB＝3，时，直接写出GD的长度．
2026年中考数学：四边形专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B C B B D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 浙江模拟）已知一个菱形的周长是20，面积是24，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．7 B． C．14 D．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝COAC，DO＝BOBD，AC⊥BD，
∵菱形面积BD AC＝2OB OA＝24，
∴OB OA＝12①，
∵菱形的周长是20，
∴AB＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴OB2+OA2＝AB2＝25②，
由①②两式可得49﹣2OD OA＝25，
解得：OB+AO＝7，
∴AC+BD＝14，
故选：C．
2．（2025 五华区校级模拟）如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选：D．
3．（2025 天元区校级模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形
C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵O为BC中点，
∴BO＝CO，
在△BOF和△COE中，
，
∴△BOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；
当BF＝3.5时，若BE⊥AC，
∵，
∴BE，
∴，
∵BF＝3.5，
∴CE≠BF，
∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，
故B选项符合题意，
∵BF＝2.5，
∴CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.5，
∴E为AC中点，
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；
当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．
故选：B．
4．（2025 织金县模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB 垂足为E，若∠BCD＝50°，则∠BOE 的大小为（　　）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO∠BAD＝25°，∠AOB＝90°，
∵OE⊥AB 于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠BOE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BOE＝∠BAO＝25°，
故选：B．
5．（2025 南岸区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接BE，过点E作BE的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点G，若点F是EG的中点，AB＝3，则EG的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【解答】解：如图，过E作HM∥AD交AB于M，交CD于H，
∵正方形ABCD，AB＝3，
∴，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝45°＝∠ACD，AB＝BC，AC2＝AB2+BC2＝2AB2，
∴，
∵HM∥AD，
∴MH⊥AB，MH⊥CD，
∴BM＝CH，EH＝CH，AM＝ME，∠BME＝90°＝∠EHF，
∴BM＝EH，
∵BE⊥CE，即∠BEG＝90°，
∴∠BEM＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，
∴△BEM≌△EFH，
∴ME＝FH，BE＝EF，
∵F为EG的中点，
∴EF＝FG，
∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∠EFH＝∠GFC，
∴△EHF≌△GCF（AAS），
∴HF＝FC＝EM＝AM，
∴AB＝3AM＝3，
∴AM＝ME＝1，BM＝CH＝EH＝2，
∴，
∴，
故选：C．
6．（2025 重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的一点，且，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE延长线于点F，连接AF，则线段AF的长度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作FG⊥DA交DA的延长线于点G，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴AD＝AB＝4，∠EAD＝90°，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
∵∠EFB＝∠EAD＝90°，∠FEB＝∠AED，
∴△FEB∽△AED，
∴，即，
∴，
∵∠FGD＝∠EAD＝90°，∠FDG＝∠EDA，
∴△FDG∽△EDA，
∴，即，
解得，，
在直角三角形AFG中，由勾股定理得：，
故选：B．
7．（2025 椒江区校级模拟）如图，已知矩形ABCD，AD＝2AB，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A'、C'、D′，设m＝AA'+CC'+DD'，若AB＝1，则m的最小值为（　　）
A． B． C． D．4
【解答】解：连接BD，PC，
∵AB＝1，
∴AD＝2AB＝2，
∴S矩形ABCD＝1×2＝2，
由勾股定理得：BD，
∵AB＝1，
∴1≤BP，
∴S△DPC＝S△BPDBP DD′，
∵S矩形ABCD＝2＝S△ABP+S△BCP+S△DPCBP （AA′+CC′+DD′），
∴AA′+CC′+DD′，
∵1≤BP，
当BP时，m＝AA′+CC′+DD′有最小值，
故选：B．
8．（2025 铁东区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为边AD，CD上一点，且满足AE＝DF，AF，BE相交于点G．连接BF，点H为BF的中点，连接GH，则GH的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵AE＝DF，
∴△AEB≌△DFA（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上运动，
连接OH，
∵点H为BF的中点，
∴，，
∴，
作点B关于CD的对称点M，连接AM即为AF+BF的最短长度，
∴BM＝2BC＝8，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值是，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 子洲县二模）如图，在正五边形ABCDE中，延长AE，CD交于点F，则∠F的度数是 　36　 °．
【解答】解：∵正五边形每个外角度数72°，
∴∠DEF＝∠EDF＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝36°．
故答案为：36．
10．（2025 从江县校级二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，则CF的长为　6﹣2　 ．
【解答】解：如图，延长AF交DC的延长线于H，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝CD＝4，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DECD＝2，
由勾股定理得，AE2，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∵正方形的对边AB∥CD，
∴∠BAF＝∠H，
∴∠EAF＝∠H，
∴EH＝AE，
∴CH＝EH﹣CE＝22，
∵AB∥CD，
∴△HCF∽△ABF，
∴，
∵BF＝BC﹣CF＝4﹣CF，
∴，
∴CF＝6﹣2．
故答案为：6﹣2．
11．（2025 虞城县二模）如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°．过菱形ABCD的中心O分别作边AB、BC的垂线，交各边于点E、F、G、H．则四边形EFGH的周长为 　　 ．
【解答】解：连接BD，AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，，BD⊥AC，
∴，，即，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE＝OF，BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF＝GH＝3，，
∴四边形EFGH的周长，
故答案为：．
12．（2025 千山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE、AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段CH的长是　　 ．
【解答】解：设DH＝x，
过H作HQ⊥AC于Q，
在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，
∴AC＝10，
由作图得：AG平分∠CAD，
∴∠CAG＝∠DAG，
∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH，
∴△ADH≌△AQH（AAS），
∴DH＝HQ＝x，AQ＝QD＝8，
∴CQ＝AC﹣QA＝2，
在Rt△CHQ中，有CQ2+QH2＝CH2，
即：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x，
∴CH＝6，
故答案为：．
13．（2025 旺苍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDFE，当AE取得最小值时，BD的长为　　 ．
【解答】解：过点E作EH⊥AC于H，如图所示：
由条件可知∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，
∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°，
∴△BDC≌△DEH（AAS），
∴EH＝CD，DH＝BC＝2，
∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣2﹣CD＝2﹣CD，
∵AE2＝AH2+EH2＝（2﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣1）2+2，
∵2＞0，
∴当CD＝1时，AE2最小，则AE也最小，
此时，
故答案为：．
14．（2025 天河区校级四模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点E为边BC上一动点，点F为AE中点，点G为DE上一点，满足EF＝FG，连接CG，则CG的最小值为　　 ．
【解答】解：F是AE的中点，如图1，连接AG，
∴，
∵EF＝FG，
∴AF＝FG＝EF，
∴∠FAG＝∠FGA，∠FGE＝∠FEG，
∵∠FAG+∠FGA+∠FGE+∠FEG＝2（∠FGA+∠FGE）＝180°，
∴∠FGA+∠FGE＝90°＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图2：
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，AD＝CD＝AB＝4，
∴，
∵，，
∴∠COD＝90°，
在直角三角形OCD中，由勾股定理得：，
∴CG的最小值为．
故答案为：．
15．（2025 广东模拟）如图，O是 ABCD内一点，连接AO，BO，CO，DO，过点A作AE∥BO，过点D作DE∥CO交AE于点E．若 ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积为　12　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAB+∠ABO+∠OBC＝180°，
∵AE∥BO，
∴∠EAD+∠DAB+∠ABO＝180°，
∴∠EAD＝∠OBC，
同理∠EDA＝∠OCB，
在△EDA和△OCB中，
，
∴△EDA≌△OCB（ASA），
作 ABCD的高h，△AOD的高h1，△BOC的高h2，
由平行线间的距离处处相等，
∴h＝h1+h2，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：12．
16．（2025 武侯区校级模拟）在 ABCD中，tanB＝2，点E，F分别是BC，AB边上的动点，满足∠DEF＝∠B，DF⊥EF．
①当E为BC中点时，若AF＝2，则BC＝　2　 ；
②的取值范围是　　 ．
【解答】解：①过点D作DG⊥AB，交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H，如图1，
则∠BHE＝∠AGD＝90°，
设BC＝a，
∵E为BC中点，
∴BEa，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝a，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠B，
∵tanB＝2，
∴tan∠DAG＝2，
∴2，
∴BHBEa，EHa，AGa，DGa，
∵AF＝2，
∴FGa+2，
∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
∵∠DEF＝∠B，
∴tan∠DEF2，
∵∠DFG+EFH＝∠DFG+∠FDG，
∴∠EFH＝∠FDG，
∴△EFH∽△FDG，
∴2，
∴FG＝2EH，
∴a+2a，
解得：a＝2，
故答案为：2；
②过点D作DG⊥AB，交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H，如图2，
设AG＝m，BH＝n，
∵tan∠DAG＝tan∠DEF＝tanB＝2，
∴2，
∴DG＝2AG＝2m，DF＝2EF，EH＝2BH＝2n，
则AD＝BCm，BEn，
由①知：△EFH∽△FDG，
∴2，
∴FHDG＝m，FG＝2EH＝4n，
∴AB＝BH+FH+FG﹣AG＝5n，BF＝BH+FH＝n+m，AF＝FG﹣AG＝4n﹣m，
∵点E，F分别是AB，BC边上的动点，
∴BE＜BC，BF＜AB，
即，
∴n＜m＜4n，
∴14，
∵，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
【解答】解：四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵AC＝BC，D是AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
又∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
18．（2025 江阴市一模）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，AE＝2，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠F＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
（2）解：∵AE＝DE＝2，
∴AD＝2AE＝4，
∵DC∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，
∴BC的长为4．
19．（2025 东湖区校级模拟）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离．
【解答】（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，
∴∠ACE＝∠ABD＝118°，∠DEC＝∠GFE＝62°，
则∠ACE+∠DEC＝180°，
∴BC∥DE，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD＝20cm，
延长AC交GF于H，
由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，
∴四边形CHFE是平行四边形，
∴CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm，
则AH＝AC+CH＝100cm，GH＝GF﹣HF＝60cm，
∵∠CHG＝∠EFG＝62°，CH＝CG，
∴∠GCH＝56°，
∵AC＝CG，
∴∠A＝28°，
∴∠A+∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴，
即：椅子最高点A到地面GF的距离为80cm．
20．（2025 南山区一模）在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E为平面内一点，且BE＝1．
（1）若AB＝BC，
①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF＝60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；
②如图2，连接AE，作∠EAF＝30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；
（2）如图3，连接AC，若∠BAC＝90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF＝90°，∠PEF＝60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差为 　　 ．
【解答】（1）①证明：如图1中，
在平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD
∵BA＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠2，
∵∠B＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
②解：过点A作AH⊥BC于点H．连接AC，则BH＝CH＝2．
在Rt△ABH中，sin∠ABH，∠BAH＝30°，
在Rt△AEF中，cos∠EAF，
∴，∠BAE＝∠HAF，
∴△ABE∽△AHF，
∴，
∴FH，
∴当F落在H左侧时，CF＝CH+HF＝2，
当F落在H右侧时，CF＝CH﹣HF＝2．
（2）解：如图3中，过点P作PH⊥AB交∠ABC的角平分线于点H，连接HG．
∵∠BPH＝90°，∠PBH∠ABC＝30°，
∴PBPH，
∵∠EPG＝90°，∠PEG∠PEF＝30°，
∴PEPG，
∴，
∵∠BPH＝∠EPG＝90°，
∴∠BPE＝∠HPG，
∴△BPE∽△HPG，
∴，
∴HGBE，
∴点G的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆，
∴DG的最大值与最小值的差是⊙H的直径．
故答案为：．
21．（2025 孝义市三模）综合与探究
问题情境：在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将△DEF沿EF折叠，点D的对应点为D′，FD′的延长线与边AB交于点G，连接AD′．
数学思考：
（1）如图1，求证：△AGD′是等腰三角形；
拓展探究：
过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H，射线DD′与GH交于点P．
（2）如图2，若点P在DD′的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝4，在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD′是等腰三角形？若存在，请直接写出DF的长；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：连接DD′交EF于点O．
根据折叠图形的轴对称性，EF⊥DD′，OD＝OD′，∠DFE＝∠D′FE．
又∵AD＝DE，
∴EO∥AD′．
∴∠DEF＝∠DAD′，∠DFE＝∠AD′G．
∵∠GAD′+∠DAD′＝∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠GAD′＝∠DFE．
∴∠GAD′＝∠AD′G．
∴△AGD′是等腰三角形．
（2）解：连接EG．
由（1）EF∥AD′，EF⊥DD′，可得∠AD′D＝90°．
在Rt△AD′D中，D′E是斜边中线，则D′E＝AE＝ED．
又∵△AGD′是等腰三角形，AG＝D′G，
∴GE是线段AD′的垂直平分线．
∴GE∥DP．
∴四边形DEGP是平行四边形，
根据题意易得四边形ADHG是矩形．
∴GP＝DE．
∴GP＝PH．
（3）解：△PGD′是等腰三角形分为三种情况：GP＝GD′，GP＝D′P，GD′＝D′P．
当GP＝GD′时，由于P为HG中点，ED＝GD′，则△ED′G为等腰直角三角形，
根据轴对称的性质，四边形形AED′G为正方形，四边形EDFD′也是正方形．
∴D′、P两点重合，P、G、D′三点不构成三角形．
当GP＝D′P时，如图所示．
∵D′EGP＝D′P，
则点D′在PE的垂直平分线上，由于AEPG是矩形，则点D′也在AG的垂直平分线上，
∴AD′＝D′G＝AG，△AGD′是等边三角形．
∴∠EFD＝∠AD′G＝60°，
∴DF＝ED÷tan60°．
当GD′＝D′P时，同理，点D′在GP和AE的垂直平分线上，
∴AD′＝D′E＝AE2，△AD′E是等边三角形．
∴∠DEF＝∠EAD′＝60°．
∴DF＝DEtan60°＝2．
故DF的长度为或2．
22．（2025 昌邑区校级三模）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
【操作发现】
（1）如图②，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点E落在边AD上，线段BE与DG的数量关系是　BE＝DG　 ，∠ABE与∠ADG的关系是　∠ABE＝∠ADG　 ．
【猜想证明】
（2）如图③，正方形AEFG绕点A逆时针旋转某一角度α（0＜α＜90°）时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在直线AD上，当AB＝3，时，直接写出GD的长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAD＝90°，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
故答案为：BE＝DG，∠ABE＝∠ADG；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠GAD＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG；
（3）如图，当点F落在AD上时，过点G作GH⊥AD于H，
∵F落在边AD上，
∴∠AFG＝45°，
∵∠AGF＝90°，，
在Rt△AGF中，
∴，
∵∠GHF＝90°，
∴∠HGF＝45°，
∴∠HGF＝∠AFG＝45°，
∴GH＝HF，
∴GH2+HF2＝2HF2＝GF2＝2，
∴GH＝HF＝1，
∴AH＝AF﹣HF＝1，
∵AD＝AB＝3，
∴DH＝AD﹣AH＝2，
∴；
如图，当点F落在DA延长线上时，过点G作GH⊥AD交DA延长线与于H，
同理得：AH＝GH＝1，
∴DH＝AD+AH＝4，
∴；
综上，GD的长度为或．
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