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★优高联考
高三数学试题
2025.9
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知向量，，若，则（ ）．
A. B. C. 2 D. 4
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D.
5. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ）
A. 93.5 B. 94.1
C. 94.7 D. 95.5
6. 某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ）
A B. C. D.
7. 已知椭圆左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ，互斥 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为2
B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增
10. 在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（ ）
A. 平面 B. ∥平面
C. 平面平面 D. 平面∥平面
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ）
A. 直线的斜率为 B. 的离心率为2
C. 到上最近点的距离为 D.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______．
13. 已知，函数，若，则________．
14. 有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤．
15. 已知等差数列满足，．
（1）求；
（2）求数列的前2n项和．
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求；
（2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．
17 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
18. 如图，在直三棱柱中，为边长为2的正三角形，，为的中点，点在棱上，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值．
19. 过点作抛物线：的两条切线，切点分别为．
（1）若，求；
（2）求证：直线过定点（与取值无关）；
（3）记的焦点为，求证：．
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高三数学试题
2025.9
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1；
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析

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