资源简介

2025年四川省内江市第一中学开学测试
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．下列各对数是互为倒数的是（　　）
A．1和﹣1 B．﹣3和 C．﹣2和 D．0和0
2．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A．8.4×106 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣5
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a2）3＝a5 D．（﹣ab）2＝a2b2
4．如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）
A．CM＝DM B． C．△OCM≌△ODM D．OM＝MB
7．函数中自变量x的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，）点C的坐标为（1，0），且∠AOB＝30°，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点E是平行四边形ABCD内一点，CE∥y轴，且CE，DE∥x轴，连接BE并延长BE与CD交于点F，tan∠CEF＝3，△CBE的面积为．若反比例函数y（x＞0）的图象经过点B和点E，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．15
二．填空题（每小题5分，满分20分）
13．因式分解：2a2b﹣12ab+18b＝　 　 ．
14．如图，边长为10的菱形ABCD，对角线AC＝12，分别以点A，B，C，D为圆心，5为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．（结果保留π）
15．关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 　 　 ．
16．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 　 　 ．
三．解答题
17．（7分）计算：2cos30°﹣（）﹣2+（π﹣2）0．
18．（9分）如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD．上的点，且CE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE＝AE，且∠BAC＝90°，直接判断四边形AECF的形状是 　 　 ．
19．（9分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查随机问卷调直
调查对象 随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位，h）是 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政B．烹饪C．剪纸D．园艺E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 　 　 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 　 　 度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
20．（9分）茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征．某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如表：
课题 测量茗阳阁的高度
测量方案 活动小组在距坡底C处20m的E处测得茗阳阁顶A的仰角为α，在坡底C处测得茗阳阁顶A的仰角为β．B，C，F三点在同一直线上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角α的度数 29.3° 28.7° 29°
仰角β的度数 45.3° 44.7° 45°
参考数据 CE的坡度i＝3：4，sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55．
求茗阳阁的高度AB．（结果精确到整数）
21．（10分）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
四．填空题（满分24分，每小题6分）
22．（6分）关于x的方程ax2﹣2ax﹣3＝0的一个根为x＝﹣1，则该方程的另一个根是 　 　 ．
23．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x，BP+PH记为y1，y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围　 　 ．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，角平分线AD，BE交于点M．现给出以下结论：
①∠AMB＝120°；②ME＝MD；③AE+BD＝AB；④点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上．其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号）
25．（6分）如图，在 ABCD中，，点E为BC边上一点，BE＝6，点F是AB边上的动点，将△BEF沿直线EF折叠得到△GEF，若点G恰好落在线段DE上，则AF的值为　 　 ．
五．解答题（满分36分，每小题12分）
26．（12分）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
（1）小明设甲、乙糖果的单价分别为a、b，用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请你写出他的解答过程；
（2）为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B；
结论2：反比例函数y的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若P的坐标为（x1，y1），Q的坐标为（x2，y2），则线段PQ的中点坐标为（，）．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
27．（12分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接OP，作线段OP的中点A；
②以A为圆心，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接PQ、PR，则PQ、PR是圆O的切线．
（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程；
（3）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR＝2，圆O的半径r，求PQ．
28．（12分）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D B D D A C B C C
题号 12
答案 C
二．填空题
13．解：2a2b﹣12ab+18b
＝2b（a2﹣6a+9）
＝2b（a﹣3）2．
故答案为：2b（a﹣3）2．
14．解：如图，记对角线AC与BD交于点O，
∵菱形ABCD中，AB＝12，AC＝16，
∴AO＝6，AC⊥BD，BD＝2BO，
∴BO＝8，
∴BD＝16，
∴菱形ABCD的面积＝1296，
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，
∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆，
∴图中阴影部分的面积＝96﹣π×52＝96﹣25π，
故答案为：96﹣25π．
15．解：解关于x的分式方程，得x（a≠﹣2），
解不等式，得x＞﹣7．
∵关于x的分式方程的解满足不等式，
∴7，
∴a＜22，
∴a的取值范围是a＜22且a≠﹣2．
16．解：由题知，
第1个黄金三角形的腰为AB，
所以第1个黄金三角形的腰长为1；
第2个黄金三角形的腰为BC，
且，
所以BC，
即第2个黄金三角形的腰长为；
第3个黄金三角形的腰围CD，
且，
所以CD＝（）2，
即第3个黄金三角形的腰长为（）2；
…，
依次类推，第n个黄金三角形的腰长为．
故答案为：．
三．解答题
17．解：原式＝24+1﹣2
4+1﹣2
＝﹣3．
18．（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝AF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BE＝AE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，AF＝CE，
∴AE＝CF＝AF＝CE，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：菱形．
19．解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为20÷20%＝100（名）．
在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为360°126°．
故答案为：100；126．
（2）周家条劳动时间是③2～2.5的人数为100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25（人）．
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．
（3）800176（人）．
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人．
（4）列表如下：
A B C D E
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为．
20．解：由题意得CE＝20m，EF⊥BF．
如图，过点E作DE⊥AB于点D，则四边形DEFB为矩形．
CE的坡度，
故设EF＝3a m，CF＝4a m，则CE＝5a m．
∴5a＝20，
解得a＝4．
∴CF＝4×4＝16m，EF＝3×4＝12m．
设AB＝x m，β＝45°，∠BAC＝β＝45°．
∴AB＝BC＝x m．
由条件可知DE＝BF＝（x+16）m，AD＝（x﹣12）m．
在Rt△ADE中，α＝29°，
∴AD＝DE tan29°≈0.55（x+16）m．
∴0.55（x+16）＝x﹣12．
解得x≈46．
答：茗阳阁的高度AB约为46m．
21．解：（1）根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
∴y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），
整理得y＝﹣10x2+60x+400；
（2）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，
解方程，得x1＝4，x2＝2，
∵要尽可能地清空库存，
∴x＝4，
此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）．
答：应将价格定为24元/千克．
四．填空题
22．解：由题意得，关于x的方程ax2﹣2ax﹣3＝0有两个根，
∴a≠0，
∵方程ax2﹣2ax﹣3＝0的一个根为x＝﹣1，
∴设方程的另一个根为m，则：，
∴m＝3，
故答案为：3．
23．解：过点A作AM⊥BC于点M，
则AM＝AB＝2，
则S平行四边形ABCD＝AM×BC＝CD×PH，
即2×6＝4×PH，
则PH＝3，
当点P在AB上时，
则BP＝4﹣x，
则y1＝4﹣x+3＝7﹣x；
当点P在CB上时，
同理可得：y1x+1，
即y1，
当x＝0时，y1＝7，当x＝4时，y1＝3，当x＝10时，y1＝6，
根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下：
从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）；
（3）当图象y2过（0，7）和（10，6）、（4，3）时，为符合题意的临界点，
当图象y2过（0，7）时，则m＝7，
直线k的表达式为：y（x﹣4）+3x+5，即m＝5，
当图象y2过（10，6）时，则610+m，则m＝11，
故7＜m≤11或m＝5，
故答案为：7＜m≤11或m＝5．
24．解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴，
∴EM＝DM，故②正确，
在AB上取一点T，使得AT＝AE，
在△AME和△AMT中，
，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，
在△BMD和△BMT中，
，
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于AC对称，
∴∠M′＝∠AMC，
∵∠AMC＝90°∠ABC，
∴∠M′与∠ABC不一定互补，
∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，
故答案为：①②③．
25．解：作AM⊥BC于M，作DN⊥BC交BC延长线于N，
∴△ABM、△DCN都是直角三角形，
∵tanB＝2，
∴，
∴AM＝2BM，
∵，BM2+AM2＝AB2，
即，
∴BM＝4，AM＝8，
∵，
∴BC＝8，
∴EC＝ME＝2，
∵AB＝CD，BC＝AD＝8，AM＝DN，
∴EN＝EC+CN＝EC+BM＝6，DN＝AM＝8，DE10，
∴BM＝CN，
∴EN＝EC+CN＝ME+BM＝6，DN＝AM＝8，
∴，
分别延长EF，DA交于点P，
由翻折可知，∠BEP＝∠DEP＝∠DPE，
∴DE＝DP＝10，
∴PA＝10﹣8＝2，
∵PD∥BC，
∴△APF∽△BEF，
∴，
∴．
故答案为：．
五．解答题
26．解：①设按方式1混合后单价为m，按方式2混合后单价为n，
则m，n，
m﹣n，
∵甲，乙单价不同，
∴a≠b，则（a﹣b）2＞0，
又∵2（a+b）＞0，
∴，
即m﹣n＞0，
∴m＞n，
∴方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低；
②由①知，m，n，
则有n，
∵ab＞0且为定值，
∴n与m的关系可用反比例函数n表示，
∵m为可看作横坐标为a、b两点的中点横坐标，
根据反比例函数的性质和中点坐标公式可得，m对应的线段中点纵坐标大于m所在反比例函数的纵坐标n，
∴，
∴方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低．
27．（1）解：如图1，
（2）证明：连接AQ，OQ，AR，OR，如图2，
∵AQ＝AP＝AO，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ是圆O半径，
∴PQ是圆O的切线，
同理可得，PR是圆O的切线；
（3）解：连接QR交OP于点H，连接OR，如图3，
∵PQ、PR是圆O的切线，
∴PQ＝PR，
∵OQ＝OR，
∴PO是线段OR的垂直平分线，
∴HQ＝HR，QR⊥OP，
∵OQ＝OB，BR＝2，
∴，
∵∠PQO＝90°，∠QOP＝∠QOP，
∴△QOH∽△POQ，
∴OQ2＝OH PO，即（）2＝1×PO，
∴OP＝5；
在Rt△PQO中，PQ2+OQ2＝OP2，
∴PQ2+（）2＝52，
解得PQ＝2（负值舍去）．
28．解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 18:32:27；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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