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浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年九年级下学期7月份大讲堂选拔数学试卷
1．（2025九下·鄞州竞赛）定义a*b＝3a－b，若2*(5－x)＝1，则x＝　 　.
【答案】0
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知2*(5-x)=6-(5-x)=x+1=1，得x=0.
故答案为：0.
【分析】根据新定义可得a=2，b=5-x，进而列出方程6-(5-x)=1，即可解得x=0.
2．（2025九下·鄞州竞赛）已知是的因式，则　 　
【答案】-2
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由因式定理可知，
解得，从而.
故答案为：-2.
【分析】根据题意可得，当s时，，进而列出方程，解得，即可求得代数式d的值.
3．（2025九下·鄞州竞赛）如图，在凸四边形ABCD中，AB＞AD，BC＝CD，AC平分∠BAC，∠BAD=25°，则∠BCD＝　 　.
【答案】155°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，
AC平分∠BAC，
∴∠DAC=∠EAC，
AE=AD，AC=AC，
∴，
∴∠D=∠AEC，DC=EC=CB，
∴∠B=∠CEB，
∴∠D+∠B=∠AEC+∠CEB=180°，
∴∠BCD=155°.
故答案为：155°.
【分析】在AB上截取AE=AD，通过SAS判定d得到DC=EC=CB，再利用邻补角的定义证得∠D+∠B=∠AEC+∠CEB=180°，故可得∠BCD=155°.
4．（2025九下·鄞州竞赛）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程(a－1)x2＋(b－2)x＋1＝0有实数解的概率为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知数对(a，b)共有36种可能.
当，时方程均有解；
当时，则此时方程为一元二次方程，要有实数解需满足判别式，下面分类讨论：
当时，有，此时b只能为4，5，6；
当时，有，此时b只能为5，6；
当时，有，此时b只能为；
当时，有，此时b只能为；
当时，有，此时没有满足条件的b.
综上可知：方程有实数解的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知数对(a，b)共有36种可能，当a=1时，该方程为一元一次方程，故当b=1，3，4，5，6时方程均有解；当时，则此时方程为一元二次方程，利用根的判别式可得方程有实数根时的情况有7种，故共有12种情况方程有实数解.
5．（2025九下·鄞州竞赛）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有　 　组.
【答案】10
【知识点】不等式的性质；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：由可得，从而，可得.
例如，当时，原方程等价于，变形得，即，
从而可得或或或或.其余情况同理，可得还有解(4，5，20)，(4，6，12)，(4，8，8)，(5，5，10)，(6，6，6).
故答案为：10.
【分析】由可得，进而解得，又有x，y，z为正整数可得x=3，4，5，6，
当时，可得，从而解得或或或或，同理解出当x=4，5，6时y、z的值即可.
6．（2025九下·鄞州竞赛）　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=2.
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可.
7．（2025九下·鄞州竞赛）已知，，且，则=　 　.
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：显然，将转化为，
故s与是方程的两个根，，
.
故答案为：-5.
【分析】观察两个方程可得s与是方程的两个根，利用韦达定理可得，，进而计算出代数式的值.
8．（2025九下·鄞州竞赛）若关于x的方程(x2－1)(kx2－6x－8)＝0有三个不同的实数解，则k的个数为　 　.
【答案】4
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：显然以及为方程两个不同的实数解，故方程还有一根，若，则，成立；
若，当时，，此时方程根为，成立；
当为方程的根时，，另一根为，成立；
当为方程的根时，，另一根为，成立．
综上的值有4个．
故答案为：4.
【分析】显然以及为方程两个不同的实数解，故方程还有一个不同的根，当时，为一元一次方程，此时方程根为，成立；当时，为一元二次方程，此时方程有两个相等的实数根，或者两个不相等的实数根中有一个根为或，进而求得k的值.
9．（2025九下·鄞州竞赛）已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，以AE为边作正方形AEFG，使得A、G两点在BE的同侧，BD的延长线与AF交于点H.若HD＝，FH＝5，则BE的长为　 　.
【答案】8
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连结AC，过F作交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，
故为等腰直角三角形，易证，，，又，，从而，为AF中点，，，
在中，，解得，，从而.
故答案为：8.
【分析】过F作交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，易证为等腰直角三角形，再通过AAS判定得到BE=MF，进而证得，然后由AAS判定d得到点H为AF的中点，故，在中，利用勾股定理求得OA的值，进而计算出BE的长度.
10．（2025九下·鄞州竞赛）一个人在直角坐标系上从(－3，-3)走到(3，3)，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有　 　种走法.
【答案】74
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：基础标数：
（1）起点(-3，-3)标 “1”（只有 1 种到起点的方法）；
（2）（x=-3）和（y=-3）只能单向走，全标 “1”。
逐点计算（重点标关键位置）：
x\y -3 -2 -1（禁区） 0（禁区） 1（禁区） 2 3
-3 1 1 1 1 1 1 1
-2 1 2 3 4 5 6 7
-1 1 3 0 0 0 6 13
0 1 4 0 0 0 6 19
1 1 5 0 0 0 6 25
2 1 6 6 6 6 12 37
3 1 7 13 19 25 37 74
结果：终点(3，3)的走法数为 74。
故填：74.
【分析】
1. 问题核心：从(-3，-3)走到(3，3)，每次只能往右或往上走 1 格，且不能经过 “禁区”（横坐标x=-1，0，1且纵坐标y=-1，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）。
2. 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）。
11．（2025九下·鄞州竞赛）已知方程(m＋1)x2＋2x－5m－13＝0的根均为整数，求实数m的值.
【答案】解：若，则，此时，满足题意；
若，即，此时方程为一个一元二次方程，，
即，由韦达定理可知，，
从而，，不妨令
则，，或，，解得，，或，，算得对应的或，均满足判别式，综上所述，，或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】当m+1=0时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当s时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意.
12．（2025九下·鄞州竞赛）在△ABC中，点H为垂心.
（1）证明正弦定理.
（2）证明：.
【答案】（1）证明：如图，连接BO并延长交于点M，连接CM，
，
，
，
，
同理可得.
（2）证明：如图，
点H为垂心 ，
，
，
，
，
，
，
由(1)可得，
，
同理可得.
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理可得，进而证得.
(2)利用圆周角定理可得进而证得与相似，通过相似三角形的性质可得，由锐角三角形函数可得，进而证得.
1 / 1浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年九年级下学期7月份大讲堂选拔数学试卷
1．（2025九下·鄞州竞赛）定义a*b＝3a－b，若2*(5－x)＝1，则x＝　 　.
2．（2025九下·鄞州竞赛）已知是的因式，则　 　
3．（2025九下·鄞州竞赛）如图，在凸四边形ABCD中，AB＞AD，BC＝CD，AC平分∠BAC，∠BAD=25°，则∠BCD＝　 　.
4．（2025九下·鄞州竞赛）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程(a－1)x2＋(b－2)x＋1＝0有实数解的概率为　 　.
5．（2025九下·鄞州竞赛）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有　 　组.
6．（2025九下·鄞州竞赛）　 　.
7．（2025九下·鄞州竞赛）已知，，且，则=　 　.
8．（2025九下·鄞州竞赛）若关于x的方程(x2－1)(kx2－6x－8)＝0有三个不同的实数解，则k的个数为　 　.
9．（2025九下·鄞州竞赛）已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，以AE为边作正方形AEFG，使得A、G两点在BE的同侧，BD的延长线与AF交于点H.若HD＝，FH＝5，则BE的长为　 　.
10．（2025九下·鄞州竞赛）一个人在直角坐标系上从(－3，-3)走到(3，3)，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有　 　种走法.
11．（2025九下·鄞州竞赛）已知方程(m＋1)x2＋2x－5m－13＝0的根均为整数，求实数m的值.
12．（2025九下·鄞州竞赛）在△ABC中，点H为垂心.
（1）证明正弦定理.
（2）证明：.
答案解析部分
1．【答案】0
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知2*(5-x)=6-(5-x)=x+1=1，得x=0.
故答案为：0.
【分析】根据新定义可得a=2，b=5-x，进而列出方程6-(5-x)=1，即可解得x=0.
2．【答案】-2
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由因式定理可知，
解得，从而.
故答案为：-2.
【分析】根据题意可得，当s时，，进而列出方程，解得，即可求得代数式d的值.
3．【答案】155°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，
AC平分∠BAC，
∴∠DAC=∠EAC，
AE=AD，AC=AC，
∴，
∴∠D=∠AEC，DC=EC=CB，
∴∠B=∠CEB，
∴∠D+∠B=∠AEC+∠CEB=180°，
∴∠BCD=155°.
故答案为：155°.
【分析】在AB上截取AE=AD，通过SAS判定d得到DC=EC=CB，再利用邻补角的定义证得∠D+∠B=∠AEC+∠CEB=180°，故可得∠BCD=155°.
4．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知数对(a，b)共有36种可能.
当，时方程均有解；
当时，则此时方程为一元二次方程，要有实数解需满足判别式，下面分类讨论：
当时，有，此时b只能为4，5，6；
当时，有，此时b只能为5，6；
当时，有，此时b只能为；
当时，有，此时b只能为；
当时，有，此时没有满足条件的b.
综上可知：方程有实数解的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知数对(a，b)共有36种可能，当a=1时，该方程为一元一次方程，故当b=1，3，4，5，6时方程均有解；当时，则此时方程为一元二次方程，利用根的判别式可得方程有实数根时的情况有7种，故共有12种情况方程有实数解.
5．【答案】10
【知识点】不等式的性质；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：由可得，从而，可得.
例如，当时，原方程等价于，变形得，即，
从而可得或或或或.其余情况同理，可得还有解(4，5，20)，(4，6，12)，(4，8，8)，(5，5，10)，(6，6，6).
故答案为：10.
【分析】由可得，进而解得，又有x，y，z为正整数可得x=3，4，5，6，
当时，可得，从而解得或或或或，同理解出当x=4，5，6时y、z的值即可.
6．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=2.
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可.
7．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：显然，将转化为，
故s与是方程的两个根，，
.
故答案为：-5.
【分析】观察两个方程可得s与是方程的两个根，利用韦达定理可得，，进而计算出代数式的值.
8．【答案】4
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：显然以及为方程两个不同的实数解，故方程还有一根，若，则，成立；
若，当时，，此时方程根为，成立；
当为方程的根时，，另一根为，成立；
当为方程的根时，，另一根为，成立．
综上的值有4个．
故答案为：4.
【分析】显然以及为方程两个不同的实数解，故方程还有一个不同的根，当时，为一元一次方程，此时方程根为，成立；当时，为一元二次方程，此时方程有两个相等的实数根，或者两个不相等的实数根中有一个根为或，进而求得k的值.
9．【答案】8
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连结AC，过F作交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，
故为等腰直角三角形，易证，，，又，，从而，为AF中点，，，
在中，，解得，，从而.
故答案为：8.
【分析】过F作交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，易证为等腰直角三角形，再通过AAS判定得到BE=MF，进而证得，然后由AAS判定d得到点H为AF的中点，故，在中，利用勾股定理求得OA的值，进而计算出BE的长度.
10．【答案】74
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：基础标数：
（1）起点(-3，-3)标 “1”（只有 1 种到起点的方法）；
（2）（x=-3）和（y=-3）只能单向走，全标 “1”。
逐点计算（重点标关键位置）：
x\y -3 -2 -1（禁区） 0（禁区） 1（禁区） 2 3
-3 1 1 1 1 1 1 1
-2 1 2 3 4 5 6 7
-1 1 3 0 0 0 6 13
0 1 4 0 0 0 6 19
1 1 5 0 0 0 6 25
2 1 6 6 6 6 12 37
3 1 7 13 19 25 37 74
结果：终点(3，3)的走法数为 74。
故填：74.
【分析】
1. 问题核心：从(-3，-3)走到(3，3)，每次只能往右或往上走 1 格，且不能经过 “禁区”（横坐标x=-1，0，1且纵坐标y=-1，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）。
2. 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）。
11．【答案】解：若，则，此时，满足题意；
若，即，此时方程为一个一元二次方程，，
即，由韦达定理可知，，
从而，，不妨令
则，，或，，解得，，或，，算得对应的或，均满足判别式，综上所述，，或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】当m+1=0时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当s时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意.
12．【答案】（1）证明：如图，连接BO并延长交于点M，连接CM，
，
，
，
，
同理可得.
（2）证明：如图，
点H为垂心 ，
，
，
，
，
，
，
由(1)可得，
，
同理可得.
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理可得，进而证得.
(2)利用圆周角定理可得进而证得与相似，通过相似三角形的性质可得，由锐角三角形函数可得，进而证得.
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