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第1课时　角
角的定义及表示方法
1.下列说法中,正确的是 (　　)
A.两条射线组成的图形叫作角
B.有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C.角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D.角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2.下列图形中能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是 (　　)
A B C D
3.图中角的表示方法正确的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
角度的换算
4.47.32°用度、分、秒表示为 (　　)
A.47°20'12″ B.47°30'2″ C.47°19'12″ D.47°21'
5.2 700″= (　　)
A.30' B.45' C.60' D.90'
6.请按要求进行换算:
(1)用度、分、秒表示:
①45.6°; ②78.43°。
(2)用度表示:
①57°18'; ②15°10'。
方位角及钟面角
7.(2024广西中考)如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为 (　　)
A.20° B.40°
C.60° D.80°
8.以广场为观测点,学校在广场北偏西30°的方向上,图中正确的是 (　　)
A B C D
1.如图,下列说法中:
①∠1与∠AOB表示的是同一个角;
②∠α与∠COB表示的是同一个角;
③∠AOC可以用∠O来表示;
④图中共有三个角:∠AOB,∠BOC,∠AOC。
正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(易错题)用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角,看到的角的度数是 (　　)
A.300° B.30°
C.3° D.无法确定
3.已知∠A=30°15',∠B=30.3°,∠C=30.15°,则下列说法正确的是 (　　)
A.∠A最大 B.∠B最大
C.∠C最大 D.∠A=∠C
4.(1)如图所示,钟面上时针与分针所成的角是多少度
(2)每经过1 h,时针转过多少度 每经过1 min,分针转过多少度
(3)八点半时,时针和分针的夹角是多少度
5.(新考法)如图,在某地区的一张地图上有学校、超市、公园三地,但地图被墨迹污染,公园的具体位置看不清楚了,只知道公园的位置在学校的南偏西45°的方向上,在超市的北偏东60°的方向上,根据上述信息,请你找出公园的具体位置。
6.(推理能力)如图1,从点O分别引两条射线,则得到一个∠AOB(图中的角均指不大于平角的角)。
(1)探究:①如图2,从点O分别引三条射线,则得到　　　　个角;
②如图3,从点O分别引四条射线,则得到　　　　个角;
③以此类推,从点O分别引n条射线,则得到　　　　个角(用含n的式子表示)。
(2)应用:利用③中发现的规律解决问题:某校七年级共有16个班进行足球比赛,准备进行单循环赛(即每两队之间赛一场),则全部赛完共需多少场比赛
【详解答案】
基础达标
1.C　2.B　3.B　4.C　5.B
6.解:(1)①因为0.6°=0.6×60'=36',
所以45.6°=45°36'。
②因为0.43°=0.43×60'=25.8',
0.8'=0.8×60″=48″,
所以78.43°=78°25'48″。
(2)①因为18'=°=0.3°,
所以57°18'=57.3°。
②因为10'=°≈0.17°,
所以15°10'≈15.17°。
7.C　8.C
能力提升
1.C　解析:①∠1与∠AOB表示的是同一个角,故①正确;②∠α与∠COB表示的是同一个角,故②正确;③以O为顶点的角一共有三个,不能用一个顶点字母表示,故③错误;④由题图可知,图中共有三个角:∠AOB,∠BOC,∠AOC,故④正确。综上,正确的有①②④,共3个。故选C。
2.B　解析:放大镜能放大物体的大小,而角只是形状,是不能被放大镜改变的,30°的角在放大镜下,只有边变长,而表示形状的角的大小是不变的,还是30°。故选B。
3.B　解析:∠A=30°15'=30.25°,因为30.3°>30.25°>30.15°,所以∠B>∠A>∠C,即∠B最大。故选B。
4.解:(1)题图中,钟面上时针与分针所成的角是120°。
(2)每经过1 h,时针转过30°。每经过1 min,分针转过6°。
(3)八点半时,时针和分针的夹角是75°。
5.解:如图所示,点P即为公园的位置。
6.解:(1)①3
解析:由题图2可得,从点O分别引三条射线,图中的角有∠AOB,∠AOC,∠BOC,1+2=3,所以得到3个角。
②6
解析:由题图3可得,从点O分别引四条射线,图中的角有∠AOC,∠AOD,∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB,
1+2+3=6,所以得到6个角。
③
解析:由①②可得,从点O分别引n条射线,则得到1+2+3+…+n-1=(个)角。
(2)根据题意可得,
当n=16时,=120。
所以全部赛完共需120场比赛。第3课时　用尺规画角
作一个角等于已知角
1.如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角,那么在能得出∠A'O'B'=∠AOB的正确作图过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.OC的长度不能随意取
B.O'C'的长度是任意长度
C.C'D'的长度是任意长度
D.C'D'的长度必须等于CD的长度
2.(教材变式)尺规作图:
已知:∠ABC(如图)。
求作:∠A1B1C1,使∠A1B1C1=∠ABC。(保留作图痕迹)
角的和差的作法
3.如图,已知∠α,∠β,请用尺规作∠AOB,使∠AOB=∠α+∠β。(不写作法,保留作图痕迹)
1.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠BCD=∠AOB。以下是排乱的作图过程,则正确的作图顺序是 (　　)
①以C为圆心,OE的长为半径作弧MN,交OB于点M;
②作射线CD,则∠BCD=∠AOB;
③以M为圆心,EF的长为半径作弧,交弧MN于点D;
④以O为圆心,任意长为半径作弧EF,分别交OA,OB于点E,F。
A.①—②—③—④
B.③—②—④—①
C.④—①—③—②
D.④—③—①—②
2.如图,射线OC在∠AOB的内部。
(1)尺规作图:在∠AOB的外部作∠AOD,使∠AOD=∠BOC(要求:不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若∠AOB=70°,则∠COD=　　　　。
3.(几何直观)如图,已知∠A和∠1,求作∠2,使∠2+∠1-∠A=180°。(要求:(1)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹;(2)用两种方法)
【详解答案】
基础达标
1.D
2.解:作法:①如图,作射线B1C1;
②以点B为圆心,以任意长为半径作弧,交BC于点E,交BA于点D;
③以点B1为圆心,以BE的长为半径作弧,交B1C1于点E1;
④以点E1为圆心,以ED的长为半径作弧,交③中所作弧于点D1;
⑤过点D1作射线B1A1,则∠A1B1C1就是所求作的角。
3.解:如图所示,∠AOB即为所求作。
能力提升
1.C　解析:根据作一个角等于已知角的过程可知,正确的作图顺序是④以O为圆心,任意长为半径作弧EF,分别交OA,OB于点E,F;①以C为圆心,OE的长为半径作弧MN,交OB于点M;③以M为圆心,EF的长为半径作弧,交弧MN于点D;②作射线CD,则∠BCD=∠AOB。故选C。
2.解:(1)如图,∠AOD即为所求。
(2)70°
3.解:方法一:如图1,∠COD即为所求。
图1
方法二:如图2,∠COD即为所求。
图2第2课时　比较角的大小
角的测量与大小比较
1.(2025平泉期末)用量角器测量∠AOB的度数,操作正确的是 (　　)
A B C D
2.比较∠1与∠2的大小,下列放置方法正确的是 (　　)
A B C D
3.比较图中∠BOC,∠BOD的大小:因为OB和OB是公共边,　　　　在∠BOD的内部,所以∠BOC　　　 ∠BOD(填“>”“<”或“=”)。
角的和差
4.(2025平顶山期中)如图所示,下列式子错误的是 (　　)
A.∠AOB=∠AOC+∠COB B.∠COB=∠AOB-∠AOC
C.∠AOC=∠BOC D.∠AOC=∠AOB-∠COB
5.如图,用一副三角尺拼出的角的度数为 (　　)
A.120° B.135° C.145° D.150°
角的平分线
6.如图,下列结论中,不能说明射线OC平分∠AOB的是 (　　)
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠BOC
C.∠AOB=2∠AOC
D.∠AOC+∠BOC=∠AOB
7.(2025北京朝阳区期末)如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB,若∠BOC=36°,则∠AOD=　　　　。
8.如图,点O为直线AB上一点,在直线AB的同侧作射线OC,OD,使得∠COD=90°,当射线OE恰好为∠AOD的平分线,且∠COE=32°时,求∠BOD的度数。
1.如图是一副特制的三角板,用它们可以画出一些特殊角。在下列选项中,不能画出的角度是(　　)
A.18° B.55° C.63° D.117°
2.如图,若∠AOC>∠BOD,则下列结论正确的是 (　　)
A.∠AOB>∠COD
B.∠AOB=∠COD
C.∠AOB<∠COD
D.∠AOB与∠COD的大小关系不确定
3.如图,已知OC是∠AOB的平分线,∠BOD=3∠BOC,∠BOD=72°,则∠AOD的度数为 (　　)
A.130° B.120° C.110° D.100°
4.(2025阜新太平区期末)将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠,BD,BE为折痕,若∠ABE=20°,则∠CBD=　　　　。
5.(2025长春期末)如图,射线OA的方向是北偏东15°,射线OB的方向是北偏西40°,∠AOB=∠AOC,射线OD是OB的反向延长线,OE是∠COD的平分线。
(1)射线OC的方向是　　　　;
(2)求∠AOE的度数。
6.(几何直观)定义:我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”。
(1)如图,写出∠DOE的“共边角”;
(2)∠AOB与∠BOC是一组“共边角”,其中∠AOB=90°,∠BOC=30°,直接写出非公共边的两边所成角的度数;
(3)若一组“共边角”∠AOB与∠BOC非公共边的两边所成的角是90°,OM,ON分别是∠AOB,
∠BOC的平分线,请画出图形,并求∠MON的度数。
【详解答案】
基础达标
1.C　2.D　3.OC　<　4.C　5.B　6.D　7.108°
8.解:因为∠COD=90°,∠COE=32°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-32°=58°,
因为OE为∠AOD的平分线,
所以∠AOD=2∠DOE=116°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-116°=64°。
能力提升
1.B　解析:A.18°=90°-72°,则18°能画出;B.55°不能写成36°,72°,45°,90°的和或差的形式,不能画出;C.63°=90°-72°+45°,则63°能画出;D.117°=72°+45°,则117°能画出。故选B。
2.A　解析:因为∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠BOD=∠COD+∠BOC,
又因为∠AOC>∠BOD,
所以∠AOB+∠BOC>∠COD+∠BOC,
所以∠AOB>∠COD。故选A。
3.B　解析:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠BOC=∠AOB。
因为∠BOD=3∠BOC,∠BOD=72°,
所以∠BOC=24°,∠AOB=48°。
所以∠AOD=∠BOD+∠AOB=72°+48°=120°。故选B。
4.70°　解析:由题意可知∠ABE=∠EBA',∠A'BD=∠CBD,因为∠ABE=20°,所以∠CBD=∠A'BC=(180°-∠ABA')=×(180°-2∠ABE)=×(180°-2×20°)=70°。
5.解:(1)北偏东70°
(2)因为∠BOD=180°,
所以∠COD=180°-∠AOB-∠AOC=180°-55°-55°=70°,
因为OE是∠COD的平分线,
所以∠COE=∠COD=35°,
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=55°+35°=90°。
6.解:(1)∠DOE的“共边角”为∠EOF和∠DOF。
(2)非公共边的两边所成角的度数为60°或120°。
解析:当OC在∠AOB的内部时,如图1所示:
图1
∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°;
当OC在∠AOB的外部时,如图2所示:
图2
∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°,
综上所述,非公共边的两边所成角的度数为60°或120°。
(3)如图3,当OB在∠AOC的内部时,
图3
因为OM,ON分别是∠AOB,∠BOC的平分线,
所以∠BOM=∠AOB,
∠BON=∠BOC,
所以∠MON=∠BOM+∠BON=
(∠AOB+∠BOC)=∠AOC,
因为∠AOC=90°,所以∠MON=45°;
如图4,当OB在∠AOC的外部时,
图4
因为OM,ON分别是∠AOB,∠BOC的平分线,
所以∠BOM=∠AOB,
∠BON=∠BOC,
所以∠MON=∠BOM+∠BON=
(∠AOB+∠BOC),
因为∠AOB+∠BOC=360°-∠AOC=270°,
所以∠MON=×270°=135°,
综上所述,∠MON的度数为45°或135°。

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