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第4课时　利用去分母解一元一次方程
利用去分母解一元一次方程
1.将方程-=1去分母,结果正确的是 (　　)
A.-2(x-2)+(3-2x)=1
B.2(x-2)+(3-2x)=1
C.-2(x-2)+(3-2x)=4
D.2(x-2)+(3-2x)=4
2.(易错题)把方程=12的分母化成整数,结果应为 (　　)
A.=12
B.=120
C.=120
D.=12
3.若代数式的值与互为倒数,则x=　　　　。
4.解方程:
(1)=1;
(2)-x=1。
解一元一次方程的步骤
5.下列选项正确的是 (　　)
A.方程=1去分母,得2(3-2x)-3(x-2)=1
B.方程3x+8=-4x-7移项,得3x+4x=-7+8
C.方程7(3-x)-5(x-3)=8去括号,得21-7x-5x+15=8
D.方程x=系数化为1,得x=1
6.下面是小明解方程=1-的过程:
解:去分母,得2(2x-1)=8-(3-x),(第一步)
去括号,得4x-2=8-3+x,(第二步)
移项,得4x+x=8-3-2,(第三步)
合并同类项,得5x=3,(第四步)
系数化为1,得x=。(第五步)
根据解答过程完成下列任务。
任务一:
①上述解答过程中,第一步的变形依据是　　　　　　　;
②第　　　　步开始出现错误,这一步错误的原因是　　　　　　　　　　　　　。
任务二:请你写出解该方程的正确过程。
1.(2025邢台月考)小组活动中,淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解,规则是每人只能看前面一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后求出方程的解,过程如图。接力过程中,自己负责的一步出现错误的是 (　　)
A.淇淇 B.嘉嘉 C.珍珍 D.乐乐
2.若+1与互为相反数,则a的值为 (　　)
A. B.10 C.- D.-1
3.(新定义问题)设a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算为a+b=c+d,则满足的x的值为 (　　)
A.3 B. C. D.4
4.已知关于x的方程=1的解是整数,且k是正整数,则满足条件的所有k值的和为 (　　)
A.4 B.5 C.7 D.8
5.要使与3m-2不相等,则m的值不能为　　　　。
6.解方程:
(1)-1=x-;
(2)-1=。
7.王强参加了一场3 000 m的赛跑,他以6 m/s的速度跑了一段路程,又以4 m/s的速度跑完了其余的路程,一共花了10 min,问王强以6 m/s的速度跑了多少米
8.(创新意识)我们规定:若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a,则称该方程为“和谐方程”。例如:方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为“和谐方程”。
请根据上述规定解答下列问题:
(1)已知关于x的一元一次方程-4x=m是“和谐方程”,求m的值;
(2)已知关于x的一元一次方程2x=m+n是“和谐方程”,求m+n的值。
【详解答案】
基础达标
1.C　2.D　3.
4.解:(1)=1,
去分母,得2(x-7)-3(1+x)=6,
去括号,得2x-14-3-3x=6,
移项,得2x-3x=6+14+3,
合并同类项,得-x=23,
系数化为1,得x=-23。
(2)-x=1,
去分母,得4-2x-3x=3,
移项、合并同类项,得-5x=-1,
系数化为1,得x=。
5.C
6.解:任务一:
①等式的基本性质
②三　移项时没有改变符号
任务二:
正确的过程为
解:=1-,
去分母,得2(2x-1)=8-(3-x),
去括号,得4x-2=8-3+x,
移项,得4x-x=8-3+2,
合并同类项,得3x=7,
系数化为1,得x=。
能力提升
1.A　解析:方程去分母,得4(2x-1)=12-3(x+2),淇淇负责的一步出现错误;
方程4(2x-1)=1-3(x+2),去括号,得8x-4=1-3x-6,嘉嘉负责的一步正确;方程8x-4=1-3x-6,移项、合并同类项,得11x=-1,珍珍负责的一步正确;方程11x=-1,系数化为1,得x=-,乐乐负责的一步正确。故选A。
2.C　解析:根据题意,得+1+=0,去分母,得a+3+2a+1=0,移项、合并同类项,得3a=-4,系数化为1,得a=-。故选C。
3.C　解:由题意,得=2+1,
去分母,得3x+2(x+1)=18,
去括号,得3x+2x+2=18,
移项,得3x+2x=18-2,
合并同类项,得5x=16,
系数化为1,得x=。故选C。
4.A　解析:由=1,
解得x=,因为x是整数,且k是正整数,所以2k-1的值只能是1或5,所以k的值为1或3,所以所有k值的和为1+3=4。故选A。
5.1　解析:解方程=3m-2,
得m=1,所以当m≠1时,与3m-2不相等。
6.解:(1)-1=x-,
2(2x+1)-6=6x-(10x+1),
4x+2-6=6x-10x-1,
4x-6x+10x=-1-2+6,
8x=3,x=。
(2)-1=,
-1=,
15x-6=2(17-20x),
15x-6=34-40x,
15x+40x=34+6,
55x=40,x=。
7.解:设王强以6 m/s的速度跑了x m,则王强以4 m/s的速度跑了(3 000-x)m。根据题意,得=10×60。
解得x=1 800。
答:王强以6 m/s的速度跑了1 800 m。
8.解:(1)解方程-4x=m,得x=-,
因为关于x的一元一次方程-4x=m是“和谐方程”,
所以-=m+(-4),
所以-m=4m-16,所以4m+m=16,
所以5m=16,所以m=。
(2)解方程2x=m+n,得x=,
因为关于x的一元一次方程2x=m+n是“和谐方程”,
所以=m+n+2,
所以m+n=2(m+n)+4,
所以m+n-2(m+n)=4,
所以-(m+n)=4,所以m+n=-4。第1课时　等式的基本性质
等式的基本性质
1.如果m=n,那么下列等式一定成立的是 (　　)
A.m-3=n+3 B.3m+2=3n+2
C.5m=-5n D.
2.已知2a=b+1,则下列等式中不成立的是 (　　)
A.2a-1=b B.2a+3=b+3
C.a= D.4a=2b+2
3.(易错题)如果a=b,那么成立时c应满足的条件是　　　　。
4.如果5x+3=-7,那么5x=-7+　　　　。
利用等式的基本性质解方程
5.利用等式的基本性质补全下列解方程的过程:3-x=4。
解:方程的两边都　　　　,可得3-x-3=4　　　　,于是-x=　　　　。
方程的两边都乘-3,可得x=　　　　。
6.利用等式的基本性质解下列方程:
(1)x+5=7; (2)4x-4=8。
1.如图,从一个平衡的天平两边分别拿走一个砝码,天平仍平衡,下面与这一事实相符的是 (　　)
A.如果a=b,那么a+c=b+c
B.如果a=b,那么ac=bc
C.如果a=b,那么a-c=b-c
D.如果a=b,那么(c≠0)
2.下列变形中,正确的是 (　　)
A.若a+3=b-1,则a+3=3b-3
B.若2x-6=4y-2,则x-3=2y-2
C.若a-3=2b-5,则a=2b-8
D.若a-3=b+4,则a=b+7
3.将等式3a-2b=2a-2b变形,过程如下:因为3a-2b=2a-2b,所以3a=2a(第一步),所以3=2(第二步),上述过程中,第一步的根据是　　　　　　　,第二步得出了明显错误的结论,其原因是　　　　　　　。
4.已知等式a-2b=b-2a-3成立,试利用等式的基本性质比较a,b的大小。
5.(运算能力)规定:*为一种新运算,对任意的有理数a,b,有a*b=,若6*x=,试利用等式的基本性质求x的值。
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.c≠1　4.(-3)
5.减3　-3　1　-3
6.解:(1)方程的两边都减5,得x+5-5=7-5,得x=2。
(2)方程的两边都加4,得4x-4+4=8+4,即4x=12。方程的两边都除以4,得x=3。
能力提升
1.C　解析:观察题中图形,可得相符的是等式a=b的两边都减c,得到a-c=b-c。故选C。
2.D　解析:A.a+3=b-1的两边都乘3,得a+9=3b-3,选项错误,不符合题意;B.2x-6=4y-2的两边都除以2,得x-3=2y-1,选项错误,不符合题意;C.a-3=2b-5的两边都加3,得a=2b-2,选项错误,不符合题意;D.a-3=b+4的两边都加3,得a=b+7,选项正确,符合题意。故选D。
3.等式的基本性质　没有考虑a=0的情况
4.解:a-2b=b-2a-3的两边都加2a+2b,得a-2b+2a+2b=b-2a-3+2a+2b,即3a=3b-3,3a=3b-3的两边都除以3,得a=b-1,所以a5.解:由定义可知,
方程的两边都乘3,得6+2x=2。
方程的两边都减6,得2x=-4,
方程的两边都除以2,得x=-2。第2课时　利用移项解一元一次方程
移项
1.解方程x-3=4-x,移项正确的是 (　　)
A.x-x=4-3 B.x+x=4-3
C.x-x=4+3 D.x+x=4+3
2.若x-1=3-y,则x+y=　　　　。
利用移项解一元一次方程
3.方程4x-1=3x的解是 (　　)
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
4.(2024海南中考)若代数式x-3的值为5,则x等于 (　　)
A.8 B.-8
C.2 D.-2
5.如图是小明解方程3x+1=x-3的过程,墨迹覆盖了最后的答案,则覆盖的数是　　　　。
6.解下列一元一次方程:
(1)5x=2x-9;
(2)3x+5=30-2x;
(3)x-2=x+1;
(4)3-1.2x=x-12。
7.某市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米
1.(2025遵义期末)如果代数式2x+3与2-3x的值互为相反数,则x的值为 (　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
2.如果3ab2m-1与9abm+2是同类项,那么m等于 (　　)
A.3 B.1 C.-1 D.0
3.小文同学在解方程-5x+1=2x+a时,将“-5x”中的负号抄漏了,解出x=2,则方程正确的解为 (　　)
A.x= B.x=
C.x=- D.x=-
4.我们知道,无限循环小数都可以转化为分数。例如,将0.转化为分数时,可设x=0.,则10x=3.,所以10x=3+x,解得x=,即0.。仿照此方法,将0.转化为分数是　　　　。
5.(易错题)如图所示是一个计算流程图,若输出的数是2,则输入x的值为　　　　。
6.(新定义问题)我们定义:如果两个有理数的和等于这两个有理数的积,那么这两个有理数就叫作“和积等数对”,即:如果a+b=a×b,那么a与b就叫作“和积等数对”,记为(a,b)。例如:2+2=2×2,则称数对(2,2)是“和积等数对”。根据上述材料,如果(x,5)是“和积等数对”,那么x=　　　　。
7.解方程:
(1)6x-9=4x-5;
(2)8x+7+2x=1+11x-6。
8.把若干块糖分给若干个小朋友,若每人5块,则多13块,若每人7块,则少5块,问共有多少个小朋友 多少块糖
9.(应用意识)阅读材料,解答下列问题:
　　幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”,如图1。把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方,如图2,它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
(1)在图2中,每行、每列、每条对角线上三个数的和为　　　　;
(2)将-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这9个数中除-1,2,5外的6个数,填入图3其余的方格中,使其成为一个三阶幻方;
(3)如图4是一个三阶幻方,按方格中已给的信息,x的值为　　　　,4x上方的方格中的数为　　　　。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.4　3.B　4.A　5.-2
6.解:(1)移项,得5x-2x=-9,
合并同类项,得3x=-9,
系数化为1,得x=-3。
(2)移项,得3x+2x=30-5,
合并同类项,得5x=25,
系数化为1,得x=5。
(3)移项,得x-x=1+2,
合并同类项,得-x=3,
系数化为1,得x=-6。
(4)原方程可化为3-x=x-12,
移项,得-x-x=-12-3,
合并同类项,得-x=-15,
系数化为1,得x=。
7.解:设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米。
依题意,得5.8-x=3x+0.6,
解得x=1.3,
所以5.8-x=5.8-1.3=4.5。
答:生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米。
能力提升
1.C　解析:因为代数式2x+3与2-3x的值互为相反数,所以2x+3+2-3x=0,移项、合并同类项,得-x=-5,将系数化为1,得x=5。故选C。
2.A　解析:根据题意,得2m-1=m+2,所以2m-m=2+1,所以m=3。故选A。
3.D　解析:因为小文同学在解方程-5x+1=2x+a时,将“-5x”中的负号抄漏了,解出x=2,所以把x=2代入方程5x+1=2x+a,得10+1=4+a,解得a=7,即方程为-5x+1=2x+7,-5x-2x=7-1,-7x=6,x=-,即方程正确的解是x=-。故选D。
4.　解析:设x=0.,则10x=5.,
所以10x=5+x,解得x=。
5.5或1.6　解析:若x大于1.8,则x=2,解得x=5,符合题意;若x不大于1.8,则x+=2,解得x=1.6,符合题意,综上,输入x的值为5或1.6。
6.　解析:因为(x,5)是“和积等数对”,
所以x+5=5x,所以x=。
7.解:(1)移项,得6x-4x=-5+9,
合并同类项,得2x=4,系数化为1,得x=2。
(2)移项,得8x+2x-11x=1-6-7,
合并同类项,得-x=-12,
系数化为1,得x=12。
8.解:设共有x个小朋友,根据题意,得
5x+13=7x-5,
移项,得5x-7x=-5-13,
合并同类项,得-2x=-18,
方程两边都除以-2,得x=9。
所以5x+13=5×9+13=58。
答:共有9个小朋友,58块糖。
9.解:(1)15
(2)补全图3如图所示。
(3)3　1
解析:由题意知x+7+4x=x+19,解得x=3,设4x上方的方格中的数为m,因为x+7=10,4x=12,所以10+3=12+m,解得m=1,即4x上方的方格中的数为1。第3课时　利用去括号解一元一次方程
利用去括号解一元一次方程
1.(2025贵阳云岩区月考)将方程-3(x-1)=0去括号正确的是 (　　)
A.-3x-1=0 B.-3x+1=0
C.3x-3=0 D.-3x+3=0
2.方程2(x-1)+=0的解是 (　　)
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=
3.解方程4(x-1)-x=2的步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1;②移项,得4x+x-2x=1+4;③合并同类项,得3x=5;④方程的两边都除以3,得x=。则从第　　　　步开始出现错误。(填序号)
4.在梯形面积公式S=(a+b)h中,已知S=20,b=8,h=4,则 a=　　　　。
5.解方程:
(1)1-(3-2x)=x;
(2)-6x+3=-3(x-5);
(3)4-2(x+4)=2(x-1)。
6.若3x+1的值比2(3-x)的值少2,求x的值。
7.某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电减少3 000 kW·h,全年用电13.8万千瓦时。这个工厂去年上半年每月平均用电多少千瓦时
1.当x=4时,式子5(x+b)-10与bx+4的值相等,则b的值为 (　　)
A.-6 B.-7 C.6 D.7
2.小马虎在解关于x的方程1-x=-2(x-2a)时,误将等号右边的“-2a”看作“+2a”,其他解题过程均正确,从而得到方程的解为x=-5,则原方程正确的解为 (　　)
A.x=2 B.x=3
C.x=4 D.x=5
3.若三个连续偶数的和为18,则它们的积为 (　　)
A.216 B.49 C.192 D.480
4.(新定义问题)我们规定,对于任意两个有理数x,y,有x*y=2x-3y+1,如1*3=2×1-3×3+1=2-9+1=-6。若(a+4)*(2-5a)=-14,则a的值为 (　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.0
5.按如图的程序计算,如果输入的x的值每增加2,输出的值就减少3,那么k的值为 (　　)
A.2 B.-3 C.- D.-
6.(2025靖江期末)在植树节活动中,A班有30人,B班有21人,现从B班调一部分人去A班,使A班人数为B班人数的2倍,那么应从B班调出　　　　人。
7.解方程:
(1)2x+3(2x-1)=16-(x+1);
(2)2(x-4)-3(4x-1)=5(1-x)。
8.已知方程x+3=0与关于x的方程5x-3(x+k)=-12的解相同。
(1)求k的值;
(2)若|m-5|+(n-1)k=0,求m+n的值。
9.(教材变式)一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,如果这个两位数加上45,恰巧等于原数的个位数字与十位数字对调后所得的两位数,求原来的两位数。
10.(创新意识)规定:用{m}表示大于m的最小整数,如{2.6}=3,{7}=8,{-4.5}=-4,用[m]表示不大于m的最大整数,如=2,[-4]=-4,[-1.5]=-2。如果整数x满足关系式2[x]-5{x-2}=29,求x的值。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D　3.②　4.2
5.解:(1)1-(3-2x)=x,
去括号,得1-3+2x=x,
移项、合并同类项,得x=2。
(2)-6x+3=-3(x-5),
去括号,得-6x+3=-3x+15,
移项、合并同类项,得-3x=12,
系数化为1,得x=-4。
(3)4-2(x+4)=2(x-1),
去括号,得4-2x-8=2x-2,
移项、合并同类项,得-4x=2,
系数化为1,得x=-0.5。
6.解:根据题意,得3x+1=2(3-x)-2,解得x=。
7.解:设这个工厂去年上半年每月平均用电x kW·h则下半年每月平均用电(x-3 000)kW·h,根据题意,得6x+6(x-3 000)=138 000。
解这个方程,得x=13 000。
答:这个工厂去年上半年每月平均用电13 000 kW·h。
能力提升
1.A　解析:根据题意,得当x=4时,5(x+b)-10=bx+4,把x=4代入5(x+b)-10=bx+4,得5(4+b)-10=4b+4,解得b=-6。故选A。
2.B　解析:根据题意,得x=-5为方程1-x=-2(x+2a)的解,把x=-5代入1-x=-2(x+2a),解得a=1,即原方程为1-x=-2(x-2),解得x=3。故选B。
3.C　解析:设中间一个偶数为x,列方程得(x-2)+x+(x+2)=18,解得x=6。则这三个偶数分别为4,6,8,其积为4×6×8=192。故选C。
4.B　解析:因为(a+4)*(2-5a)=-14,所以2(a+4)-3(2-5a)+1=-14,解得a=-1。故选B。
5.D　解析:由题意可得kx+5-[k(x+2)+5]=3,整理得-2k=3,解得k=-。故选D。
6.4　解析:设应从B班调出x人,由题意可得,x+30=2(21-x),解得x=4。
7.解:(1)2x+3(2x-1)=16-(x+1),
去括号,得2x+6x-3=16-x-1,
移项,得2x+6x+x=16-1+3,
合并同类项,得9x=18,
系数化为1,得x=2。
(2)2(x-4)-3(4x-1)=5(1-x),
去括号,得2x-8-12x+3=5-5x,
移项,得2x-12x+5x=5+8-3,
合并同类项,得-5x=10,
系数化为1,得x=-2。
8.解:(1)解方程x+3=0,得x=-3,
由已知可得x=-3是关于x的方程5x-3(x+k)=-12的解,
所以5×(-3)-3(-3+k)=-12,
解得k=2。
(2)因为|m-5|+(n-1)k=0,
即|m-5|+(n-1)2=0,
所以m-5=0,n-1=0,
所以m=5,n=1,
所以m+n=5+1=6。
9.解:设原来的两位数的十位数字为x,则个位数字为(7-x),由题意,得10x+(7-x)+45=10(7-x)+x,解得x=1,则7-x=7-1=6,故原来的两位数为16。
10.解:由题意将2[x]-5{x-2}=29化为2x-5(x-2+1)=29,
整理得-3x=24,
解得x=-8。

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