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专题训练十一　线段与角中的动态问题
与线段有关的动态问题
题型1　线段上动点与中点问题的综合
1.(2025河源紫金县期末)如图,O是线段AB上一点,C,D分别是线段AO,BO的中点。
(1)当AB=x时,求线段CD的长度;
(2)当AB=10时,CD=　　　　;
(3)小明进行题后反思,提出新的问题:如果在(2)的条件下,点O运动到线段AB的延长线上,求此时线段CD的长度。
题型2　线段上动点问题中的定值问题
2.在如图所示的数轴上,某点从原点开始运动,先向左平移2个单位长度到达点A,再向左平移4个单位长度到达点B,最后向右平移10个单位长度到达点C。
(1)分别写出点A,B,C表示的数;
(2)若点P在线段BC上运动,当BP=3AP时,求出点P表示的数;
(3)若点Q从点C出发,在线段BC的延长线上运动,M是BQ的中点,N是CQ的中点,试说明BM-CN是一个定值。
题型3　线段上动点的方案问题
3.如图,A,B是河流两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短 请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由。
题型4　线段上的动线段问题
4.已知点C在线段AB上,AC=2BC,线段DE在直线AB上移动(点D,E不与点A,B重合)。
(1)若AB=24,求AC和BC的长。
(2)若AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动,且点D在点E的左侧,
①如图,当点E为BC的中点时,求AD的长;
②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上,AF=3AD,CF=3,求AE的长。
与角有关的动态问题
题型1　求角度问题
5.已知直线MN,O是MN上的一个定点。点A是直线MN下方的一个动点,作射线OA及∠AON的平分线OB,点C与点A在直线MN的两侧,点D在线段CO的延长线上。
(1)若∠AON=100°,∠COM=125°,在图1中补全图形,并求出∠BOD的大小。
(2)射线OE是∠AOC的平分线。
①如图2,当∠DON>∠AON时,写∠BOE与∠DOM的数量关系,并说明理由;
②当∠DON≠∠AON,且∠COM+∠BOE=140°时,直接写出∠BOE的度数。
题型2　定值问题
6.如图,∠AOB=90°,∠DOE=40°,将∠AOB绕点O旋转。
(1)当射线OB,OD重合时,∠AOE的度数为　　　　。
(2)在∠AOB绕点O旋转的过程中,若射线OB,OD与OE中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线,则∠BOD的度数为　　　　　　。
(3)在∠AOB绕点O旋转的过程中,若射线OB始终在∠DOE的内部。
①善于思考的小明发现,在旋转过程中,∠AOE-∠BOD的值为定值,请你求出这个定值;
②作∠BOD和∠AOE的平分线OM,ON,在旋转过程中∠MON的值是否发生变化 若不变,请求出这个定值;若变化,请求出变化的范围。
题型3　探究问题
7.已知O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠AOD。
(1)如图1,若∠COE=20°,则∠DOB的度数为　　　　;
(2)将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转至图2的位置,其他条件不变,探究∠COE和∠DOB之间的数量关系,写出你的结论并说明理由;
(3)将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转至图3的位置,其他条件不变,直接写出∠COE和∠DOB之间的数量关系。
图1 图2 图3
【详解答案】
1.解:(1)因为C,D分别是AO,BO的中点,所以CO=AO,DO=BO。
因为AB=x,所以CD=CO+DO=AO+BO=AB=x。
(2)5
(3)当点O运动到线段AB的延长线上时,如图,
因为C,D分别是线段AO,BO的中点,所以CO=AO,DO=BO,
所以CD=CO-DO=AO-BO=AB=5。
2.解:(1)点A表示的数为-2,
点B表示的数为-6,
点C表示的数为4。
(2)可分为以下两种情况讨论:
①当点P在线段AB上时,BP+AP=AB=4。
因为BP=3AP,
所以3AP+AP=4,
解得AP=1,
所以点P表示的数为-3。
②当点P在线段AC上时,BP-AP=AB=4。
因为BP=3AP,
所以3AP-AP=4,
解得AP=2,
所以点P表示的数为0。
综上所述,点P表示的数为-3或0。
(3)设点Q表示的数为m,则BQ=m-(-6)=m+6,CQ=m-4。
因为M是BQ的中点,N是CQ的中点,所以BM=BQ=,CN=CQ=,
所以BM-CN==5,
所以BM-CN是一个定值。
3.解:如图,点P即为所求。
理由是两点之间线段最短。
4.解:(1)因为AB=24,AC+BC=AB,AC=2BC,
所以2BC+BC=24,即3BC=24,
所以BC=8,AC=2×8=16。
(2)因为AB=15,AC=2BC,
所以AB=AC+BC=3BC=15,
所以BC=5,AC=10。
①因为点E为BC的中点,
所以CE=BC=,
因为DE=6,
所以CD=DE-CE=6-,
所以AD=AC-CD=10-。
②分两种情况:
(i)如图1所示,当点F在点C右侧时,
图1
因为AC=10,CF=3,
所以AF=AC+CF=10+3=13,
因为AF=3AD,
所以AD=AF=,
因为DE=6,
所以AE=AD+DE=+6=。
(ii)如图2所示,当点F在点C左侧时,
图2
因为AC=10,CF=3,
所以AF=AC-CF=10-3=7,
因为AF=3AD,
所以AD=AF=,
所以AE=AD+DE=+6=。
综上所述,AE的长为或。
5.解:(1)补全图形如图所示,
因为∠AON=100°,OB是∠AON的平分线,
所以∠AOB=∠AON=50°,
因为∠COM=125°,
所以∠DON=180°-∠DOM=∠COM=125°,
所以∠DOA=∠DON-∠AON=25°,
所以∠BOD=25°+50°=75°。
(2)①∠DOM=2∠BOE,理由如下:
如图,设∠AOB=α,∠DOM=β,
则∠CON=180°-∠COM=
∠DOM=β,
因为OB是∠AON的平分线,
所以∠BON=∠AOB=α,
因为OE是∠AOC的平分线,
所以∠AOE=∠AOC=(2α+β),
所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=(2α+β)-α=β,
所以∠DOM=2∠BOE。
②∠BOE=40°。
解析:如图,设∠BOE=x,∠AOB=y,
因为∠COM+∠BOE=140°,所以∠COM=140°-x,所以∠CON=180°-∠COM=40°+x。因为OB是∠AON的平分线,所以∠BON=∠AOB=y,所以∠EON=y-x。因为OE是∠AOC的平分线,所以∠AOE=∠EOC,即x+y=40°+x+y-x,解得x=40°,所以∠BOE=40°。
6.解:(1)50°
解析:如图1,
图1
因为∠AOB=90°,∠DOE=40°,
所以∠AOE=∠AOD-∠DOE=50°。
(2)20°或40°或80°
解析:①如图2,射线OB是∠DOE的平分线。
图2
因为∠DOE=40°,射线OB是∠DOE的平分线,
所以∠BOD=∠DOE=20°。
②如图3,射线OD是∠BOE的平分线。
图3
因为∠DOE=40°,射线OD是∠BOE的平分线,
所以∠BOD=∠DOE=40°。
③如图4,射线OE是∠BOD的平分线。
图4
因为∠DOE=40°,射线OE是∠BOD的平分线,
所以∠BOD=2∠DOE=80°。
综上,∠BOD的度数为20°或40°或80°。
(3)①因为∠AOE=∠AOB-∠BOE,
∠BOD=∠DOE-∠BOE,
所以∠AOE-∠BOD=∠AOB-∠DOE。
因为∠AOB=90°,∠DOE=40°,
所以∠AOE-∠BOD=50°。
②在旋转过程中∠MON的值不发生变化。如图5,
图5
因为OM平分∠BOD,ON平分∠AOE,
所以∠BOM=∠BOD,
∠NOE=∠AOE。
因为∠MON=∠NOE+∠BOE+∠BOM,
所以∠MON=(∠BOD+∠AOE+2∠BOE)=(∠AOB+∠DOE)=×(90°+40°)=65°,所以在旋转过程中∠MON的值不发生变化,∠MON=
65°。
7.解:(1)40°
(2)∠DOB=2∠COE。理由如下:因为∠COD是直角,OE平分∠AOD,所以∠COE=∠COD-∠DOE=90°-∠AOD。
因为∠DOB=180°-∠AOD=2(90°-∠AOD),
所以∠DOB=2∠COE。
(3)∠DOB=360°-2∠COE。
解析:因为∠COD是直角,OE平分∠AOD,所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+∠AOD,所以∠AOD=2∠COE-180°,所以∠DOB=180°-∠AOD=180°-(2∠COE-180°)=360°-2∠COE。专题训练九　双角平分线模型
两个角无公共部分
条件:如图,射线OC在∠AOB内部,OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC。
结论:∠MON=∠AOB。
1.如图,已知∠AOB=160°,OD是∠AOB内的一条射线,OE平分∠AOD,OC平分∠BOD,∠AOE=55°,则∠BOC=　　　　。
2.如图,点A,O,B在同一条直线上,OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC。
(1)求∠DOE的度数。
(2)如果∠COD=60°。
①求∠AOE的度数;
②若OF为平面内一条射线,且∠AOF=20°,直接写出∠FOD的度数。
两个角有公共部分
条件:如图,射线OC在∠AOB外部,OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC。
结论:∠MON=∠AOB。
3.(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OP平分∠AOC,OQ平分∠BOC,求∠POQ的度数;
(2)若(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠POQ的度数;
(3)若(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠POQ的度数;
(4)从(1)(2)(3)中的结果你能看出什么规律
【详解答案】
1.25°　解析:因为OE平分∠AOD,∠AOE=55°,所以∠AOD=2∠AOE=110°,因为∠AOB=160°,所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=160°-110°=50°,
因为OC平分∠BOD,所以∠BOC=∠BOD=25°。
2.解:(1)因为OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠DOC=∠AOC,∠COE=∠BOC,
则∠DOE=∠DOC+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC),
因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=(∠AOC+∠BOC)=90°。
(2)①因为∠COD=60°,∠DOE=90°,
所以∠COE=∠DOE-∠COD=30°,
由(1)可知,∠DOC=∠AOC,
则∠AOC=2∠DOC=120°,
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+30°=150°。
②∠FOD的度数为40°或80°。
解析:由①可知,∠AOC=120°,
因为OD平分∠AOC,
所以∠AOD=∠AOC=60°,
当OF在OA上方时,如图1,
图1
∠FOD=∠AOD-∠AOF=60°-20°=40°;
当OF在OA下方时,如图2,
图2
∠FOD=∠AOD+∠AOF=60°+20°=80°。综上,∠FOD的度数为40°或80°。
3.解:(1)因为OP平分∠AOC,
所以∠POC=∠AOC=×(90°+30°)=60°。
又因为OQ平分∠BOC,
所以∠COQ=∠BOC=15°。
所以∠POQ=∠POC-∠COQ=60°-15°=45°。
(2)因为∠POC=(α+30°)=α+15°,
∠COQ=×30°=15°,
所以∠POQ=∠POC-∠COQ=α+15°-15°=α。
(3)因为∠POC=(90°+β)=45°+β,∠COQ=β,
所以∠POQ=∠POC-∠COQ=45°+β-β=45°。
(4)∠POQ的度数始终是∠AOB度数的一半,和∠BOC的度数没有关系。专题训练十　数学思想在线段与角的计算中的应用
方程思想
1.如图,B,C两点把线段AD分成2∶5∶3的三部分,M为AD的中点,BM=15,求CM和AD的长。
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC。
(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数;
(2)若∠EOC∶∠EOD=2∶3,求∠BOD的度数。
整体思想
3.(2025长春期末)课题学习:把一条线段分成两条相等的线段的点,叫作这条线段的中点。如图1,点C是线段AB的中点,可以写成AC=CB=AB,或AB=2AC=2CB。
学以致用:
(1)如图2,点C是线段AB的中点,点M,N分别是线段AC,CB的中点,若MN=2 cm,则线段AB的长为　　　　cm;
(2)如图3,点C是线段AB上的一点,点M,N分别是线段AC,CB的中点,若AB=10 cm,求线段MN的长。
图1 图2 图3
4.如图,OB,OC是∠AOD内部的两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,∠MON=80°。
(1)若∠BOC=40°,求∠AOD的度数;
(2)若∠AOD=x°,求∠BOC的度数(用含x的代数式表示)。
分类讨论思想
5.【新知理解】
点C在线段AB上,若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的“优点”,线段AC,BC称作互为“优点”伴侣线段。
如图1,线段AB的长度为6,点C在AB上,AC的长度为2,则点C是线段AB的其中一个“优点”。
(1)若点C为图1中线段AB的“优点”,AC=6(AC(2)若点D也是图1中线段AB的“优点”(不同于点C),则AC　　　　BD(填“=”或“≠”)。
【解决问题】
如图2,数轴上有O,E,F三点,其中O为原点,点E表示的数为1,点F表示的数为4。
(3)若点M在点N的左侧,且M,N均为线段OF的“优点”,求线段MN的长。
(4)若点G在线段EF的延长线上,且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段,求点G表示的数。
6.如图,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内的一条射线,且∠AOC∶∠BOC=1∶2。
(1)求∠AOC,∠BOC的度数;
(2)作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作射线ON,使得∠CON∶∠BON=1∶3,求∠MON的度数;
(3)过点O作射线OD,若2∠AOD=3∠BOD,求∠COD的度数。
从特殊到一般思想
7.已知O是直线AB上一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC。
(1)①如图1,若∠AOC=60°,求∠DOE的度数;
②若∠AOC=α,则∠DOE的度数为　　　　(用含α的式子表示)。
(2)当∠DOC的位置如图2所示时,试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由。
图1　　　 　　　图2
【详解答案】
1.解:设AB=2x,BC=5x,CD=3x(x>0),则AD=AB+BC+CD=10x,
因为M为AD的中点,
所以AM=DM=AD=5x,
因为BM=AM-AB=15,
所以5x-2x=15,
解得x=5,
所以AD=10x=50,
CM=DM-CD=5x-3x=2x=10。
2.解:(1)因为OA平分∠EOC,
所以∠AOC=∠EOC=×70°=35°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC=35°。
(2)设∠EOC=2x,∠EOD=3x,根据题意,得2x+3x=180°,
解得x=36°,所以∠EOC=2x=72°,
所以∠AOC=∠EOC=×72°=36°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC=36°。
3.解:(1)4
(2)因为M是AC的中点,N是CB的中点,
所以AM=CM=AC,CN=CB,
所以MN=CM+CN=AC+CB=(AC+CB)=AB,
因为AB=10 cm,
所以MN=×10=5(cm)。
4.解:(1)因为∠MON-∠BOC=
∠BOM+∠CON,∠BOC=40°,
∠MON=80°,
所以∠BOM+∠CON=80°-40°=40°,
因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD,
所以∠AOM=∠BOM,∠DON=∠CON,
所以∠AOM+∠DON=40°,
所以∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=80°+40°=120°。
(2)因为∠AOD=x°,∠MON=80°,
所以∠AOM+∠DON=∠AOD-∠MON=(x-80)°,
因为∠BOM+∠CON=∠AOM+∠DON=(x-80)°,
所以∠BOC=∠MON-(∠BOM+∠CON)=80°-(x-80)°=(160-x)°。
5.解:(1)18
(2)=
(3)因为点F表示的数为4,
所以OF=4。
因为点M在点N的左侧,所以MF=2OM,ON=2NF,
所以OM=NF=OF=。
因为OF=OM+MN+NF,
所以MN=。
(4)因为点E表示的数为1,点F表示的数为4,
所以EF=4-1=3,
线段EF,GF互为“优点”伴侣线段时,有EF=2GF或GF=2EF,
当EF=2GF时,GF=1.5,
所以点G表示的数为5.5,
当GF=2EF时,GF=6,
所以点G表示的数为10,
综上,点G表示的数为5.5或10。
6.解:(1)因为∠AOC∶∠BOC=1∶2,∠AOB=120°,
所以∠AOC=∠AOB=×120°=40°,∠BOC=∠AOB=×120°=80°。
(2)因为OM平分∠AOC,
所以∠COM=∠AOC=×40°=20°,
因为∠CON∶∠BON=1∶3,
所以∠CON=∠BOC=×80°=20°,
所以∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°。
(3)如图1,当OD在∠AOB内部时,
图1
设∠BOD=x°,
因为2∠AOD=3∠BOD,
所以∠AOD=x°。
因为∠AOB=120°,
所以x+x=120,
解得x=48,
所以∠BOD=48°,
所以∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-48°=32°;
如图2,当OD在∠AOB外部时,
图2
设∠BOD=y°,
因为2∠AOD=3∠BOD,
所以∠AOD=y°,
因为∠AOB=120°,
所以y+y+120=360,
解得y=96,
所以∠COD=∠BOD+∠BOC=96°+80°=176°。
综上所述,∠COD的度数为32°或176°。
7.解:(1)①因为∠AOC=60°,
所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°,
又因为OE平分∠BOC,
所以∠COE=∠BOC=×120°=60°,
又因为∠COD=90°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-60°=30°。
②α
(2)∠DOE=∠AOC,理由如下:
因为∠BOC=180°-∠AOC,
OE平分∠BOC,
所以∠COE=∠BOC=(180°-∠AOC)=90°-∠AOC,
所以∠DOE=90°-∠COE=90°-(90°-∠AOC)=∠AOC。

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