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第十三章　三角形
13.1　三角形的概念
学习要点
知识点1　三角形的有关概念
1.三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段　首尾顺次相接　所组成的图形叫三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 定义 表示方法
三角形 的边 组成三角形的线段叫三角形的边 线段AB，BC，CA
三角形的 顶点 相邻两边的公共端点叫三角形的顶点 点A，B，C（必须用大写字母）
三角形 的角 相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角 ∠A，∠B， ∠C
3.三角形中角与边的对应关系
∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB；反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B.
4.三角形的表示
三角形用符号“△”表示，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
知识点2　三角形的分类
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边都叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角.
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫等边三角形.
3.三角形的分类
（1）按边的相等关系分类
三角形
（2）按内角的大小分类
三角形
课堂达标
1.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为 （B）
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.三角形按角分类可以分为 （A）
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、等腰三角形
D.以上答案都不正确
3.在课堂上，老师在黑板上画出了边长如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是 （D）
①　　②　　③
A.①——不等边三角形
B.②③——等腰三角形
C.③——等边三角形
D.②③——等边三角形
4.图中共有三角形　8　个，其中以AE为边的三角形有　2　个；△ABO中，∠AOB所对的边是　AB　，边OB所对的角是　∠BAO　.
5.若三角形的三边之比为2∶3∶3，其周长为32 cm，则这个三角形的三边的长分别为　8 cm，12 cm，12 cm　.按边分，这个三角形是　等腰　三角形.
6.用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么三边长分别是多少？
（2）能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形吗？若能，写出所围成等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由.
解：（1）三边长分别为8 cm，8 cm，4 cm.
（2）能.当长为6 cm的边为底边时，所围成的等腰三角形的三边长分别为7 cm，7 cm，6 cm；当长为6 cm的边为腰时，所围成的等腰三角形的三边长分别为6 cm，6 cm，8 cm.
13.2　与三角形有关的线段
第1课时　三角形的边
学习要点
知识点　三角形的三边关系
1.三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的三边关系反映了任意三角形的限制条件.
图形 文字语言 符号语言 理论 依据
三角形两边的和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点 之间， 线段 最短
三角形两边的差小于第三边 a－bb>c）
2.三角形三边关系的应用
（1）判断已知的三条线段能否构成三角形.
（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围.
（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）.
（4）式子的化简.
课堂达标
1.已知三角形的两边长分别为3 cm和6 cm，则这个三角形的第三边长可以是 （C）
A.1 cm　 B.3 cm　 C.6 cm　 D.9 cm
2.满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是 （C）
A.a∶b∶c＝1∶2∶3
B.a＋b＝4，a＋b＋c＝9
C.a＝3，b＝4，c＝5
D.a＝3t，b＝2t，c＝t
3.王师傅想做一个三角形的框架，他有如图所示的两根细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以选择的是 （B）
A.6 cm的木条 B.8 cm的木条
C.两根都可以 D.两根都不行
第3题图　　第4题图
4.四边形ABCD各边的长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 （B）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.若△ABC的两边长是方程组的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有　3　个.
6.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
（1）若a，b，c满足（a－b）2＋（b－c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值.
解：（1）∵（a－b）2＋（b－c）2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形.
（2）∵a＝5，b＝2，∴5－2第2课时　三角形的稳定性
学习要点
知识点　三角形的稳定性
1.三角形三条边确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的稳定性.
2.三角形的稳定性在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成包含三角形的形状，如图所示.
钢架桥　　屋顶架
课堂达标
1.下列图形具有稳定性的是 （D）
A.正方形　　　　　B.长方形
C.平行四边形 D.直角三角形
2.手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作成一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓个数为 （A）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是　三角形具有稳定性　.
第3课时　三角形的中线、角平分线、高
学习要点
知识点1　三角形的中线
1.三角形的中线的概念
在三角形中，连接一个　顶点　和它所对的边的　中点　的线段叫三角形的中线.
2.三角形中线的数量和位置
任何三角形都有　三条　中线，三条中线都在三角形　内部　，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部.
3.三角形的重心
三角形三条　中线　的交点叫三角形的重心.
【拓展】三角形的一条中线所分成的两个三角形的面积及周长的关系
（1）面积关系：如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高，则S△ABD＝BD·AE，S△ACD＝CD·AE.∵BD＝CD，∴BD·AE＝CD·AE，∴S△ABD＝S△ACD.
（2）周长关系：如图所示，∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD，△ACD的周长＝AC＋CD＋AD，BD＝CD，∴△ABD的周长－△ACD的周长＝（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）＝|AB－AC|.
知识点2　三角形的角平分线
1.三角形的角平分线的概念
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点所连线段叫三角形的角平分线.
2.三角形的角平分线的位置
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形　内　一点.
知识点3　三角形的高
1.三角形的高的概念
从三角形的一个　顶点　向它　所对的边　所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫三角形的高.
2.三角形三条高的位置
三角形 高的位置 三条高 交点的 位置 图示
锐角 三角形 三条高都在三角形的内部 三角形的内部
直角 三角形 有两条高恰好是直角三角形的两直角边，另一条高在三角形内部 三条高的交点是直角顶点
钝角 三角形 有两条高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部 三条高所在直线交于三角形外一点
课堂达标
1.下列四个图形中，线段AD是△ABC的高是 （D）
　　　 　　　　 　　　　 　
　　A 　　B
　　C 　　D
2.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC边上的一点，若△ABD的周长比△ACD的周长大2，则AD是 （C）
A.△ABC的高
B.△ABC的角平分线
C.△ABC的中线
D.都有可能
3.如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为 （C）
A.4
B.5
C.6
D.7
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 （A）
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
5.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为　90°或50°　.
6.如图，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则△BFE（图中阴影部分）的面积为　1 cm2　.
7.如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB边上一点，CF⊥AD交AD于点H.有下列说法：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线.其中说法正确的有　③④　.（填序号）
8.如图，在△ABC中（AB>BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长.
解：设BD＝CD＝x，则AC＝2BC＝4x.BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，AB>BC.①当AC＋CD＝70，AB＋BD＝50时，4x＋x＝70，解得x＝14，∴AC＝4x＝4×14＝56，BD＝CD＝14，∴AB＝50－BD＝50－14＝36，∴AB>BC，满足条件.∵BC＋AB>AC，满足三边关系，∴AC＝56，AB＝36.②当AC＋CD＝50，AB＋BD＝70时，4x＋x＝50，解得x＝10，∴AC＝4x＝4×10＝40，∴BD＝CD＝10，AB＝70－BD＝70－10＝60.∵AC＋BC＝60＝AB，∴不满足三角形的三边关系，∴舍去，∴AC＝56，AB＝36.
9.如图，点D是△ABC的角平分线BM上的一点，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，DG∥AB，交BC于点G，连接EG交BD于点O.DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由.
解：是. 理由：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBG.∵DG∥AB，∴∠DBE＝∠BDG.∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBG，∴∠EDB＝∠BDG，∴DB平分∠EDG，∴DO是△DEG的角平分线.
13.3　三角形的内角与外角
第1课时　三角形的内角
学习要点
知识点　三角形的内角和定理
1.定理：三角形三个内角的和等于180°，即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2.利用拼合法探索三角形的内角和定理的示意图
3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理
证明思路 运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角
推 理 过 程 方法1 如图所示，过点A作EF∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
方法2 如图所示，延长BC到点E，过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°
方法3 如图所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于点E， 作DF∥AC，交AB于点F. ∵DF∥AC，∴∠1＝∠C，∠2＝∠DEC. ∵DE∥AB，∴∠3＝∠B，∠DEC＝∠A，∴∠A＝∠2. 又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°
方法4 如图所示，过点B作BD∥AC， 则∠2＝∠A，∠DBC＋∠C＝180°. ∵∠DBC＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＋∠C＝180°， 即∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
方法5 如图所示，过点A作直线l1，过点B作l2∥l1，过点C作l3∥l1， 则l2∥l3. ∵l1∥l3，∴∠1＝∠2.同理∠3＝∠4. ∵l2∥l1，∴∠5＋∠1＋∠6＋∠4＝180°， ∴∠5＋∠2＋∠6＋∠3＝180°. 又∵∠2＋∠3＝∠ACB，∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
课堂达标
1.下列各组角中，属于同一个三角形的内角的是 （A）
A.95°，75°，10°　　　　　B.60°，73°，67°
C.34°，36°，50° D.25°，160°，15°
2.如图①②③④所示的四种方法中，能成为证明三角形内角和定理思路的是 （B）
过A作直线l∥BC图① 过A作直线l图②
延长BA至D，过A作射线l∥BC图③ 延长BA至D，过A作射线l图④
A.①②③④ B.①③
C.③④ D.①②
3.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α被称为“特征角”.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
（2）是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
解：设这个“特征三角形”的三个内角分别为α，β，γ.
（1）∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
（2）不存在.理由：∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”.
第2课时　直角三角形的性质与判定
学习要点
知识点　直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的表示
用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”.
2.直角三角形的性质与判定
如图所示，在Rt△ABC中，直角所对的边AB叫斜边，夹直角的两条边CA和CB叫直角边.
（1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
符号语言：如图所示，在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°.即△ABC是直角三角形.
【注意】
（1）具体的直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母.
（2）可直接利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数，但前提是在直角三角形中.
【拓展】　直角三角形的三种判定方法
（1）证明三角形中有一个内角为90°（或证明三角形的两条边互相垂直）.
（2）证明一个三角形中有两个内角互余.
（3）证明三角形中有一个内角与已知的直角相等.
课堂达标
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是 （B）
A.40°　 　B.50°　 　C.60°　 　D.70°
2.在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有 （C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，已知AB∥CD，Rt△EFG的直角顶点在直线CD上，若∠FEC＝35°，则∠GHB＝ （C）
A.35° B.45° C.55° D.65°
第3题图　　第4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　.
5.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上任意一点，连接BE交AD于点F.
（1）若∠ABD＝40°，∠AFE＝70°，求证：BE平分∠ABC；
（2）在（1）的条件下，若∠AFE＝∠AEF，请直接写出图中所有直角三角形.
解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△BDF中，∠DBF＋∠BFD＝90°.∵∠BFD＝∠AFE＝70°，∴∠DBF＝20°.∵∠ABD＝40°，∴∠DBF＝∠ABD，∴BE平分∠ABC.
（2）解：∵AD⊥BC，∴△ABD，△ACD，△BDF是直角三角形.∵∠ABE＝∠CBE＝20°，
∠AEF＝∠AFE＝70°，∴∠ABE＋∠AEF＝20°＋70°＝90°，∴∠BAE＝90°，∴△ABC，△ABE是直角三角形.综上所述，△ABC，△ABE，△ABD，ACD，△BDF都是直角三角形.
6.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP.过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α.
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，求∠PAB的度数；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的度数（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且α≠50°，求∠AED的度数（用含α的式子表示）.
图1　　　图2
备用图1　　　备用图2
解：（1）当α＝60°时，∠APC＝60°.在△APB中，∠PAB＝180°－∠B－∠APB＝180°－∠B－（180°－60°）＝60°－40°＝20°.
（2）同（1）得∠PAB＝α－40°.∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠PAB＋∠AED＝90°，∴∠AED＝90°－∠PAB＝90°－（α－40°）＝130°－α.
（3）①如图1，当α>50°时，△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°－α.∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠DAE＝90°－（50°＋90°－α）＝α－50°.
图1　　　图2
②如图2，当α<50°时，∠AED＝90°－∠PAE＝90°－（180°－∠PAB）＝90°－［180°－（180°－α－40°）］＝90°－（α＋40°）＝50°－α.综上，∠AED为α－50°或50°－α.
第3课时　三角形的外角
学习要点
知识点　三角形的外角
1.三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
【注意】
（1）三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角.
（2）三角形的每一个顶点处都有两个外角，这两个外角相等，是一对对顶角，一个三角形共有六个外角.一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角.
2.三角形外角的性质（三角形内角和定理的推论）
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：如图所示，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.
【拓展】　三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
3.三角形的外角和定理
（1）三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫三角形的外角和.
（2）三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°.
课堂达标
1.下图中，∠1是△ABC的外角的是 （D）
A B C D
2.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1等于 （B）
A.95° B.105° C.120° D.135°
第2题图　　　　第3题图
3.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝　235　°.
4.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.
求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
证法1：∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，
∴ 　，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2（∠1＋∠2＋∠3）.
∵ 　，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
解：∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2　∠1＋∠2＋∠3＝180°
证法2：∵平角等于180°，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－（∠1＋∠2＋∠3）.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.第十三章　三角形
13.1　三角形的概念
学习要点
知识点1　三角形的有关概念
1.三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 定义 表示方法
三角形 的边 组成三角形的线段叫三角形的边 线段AB，BC，CA
三角形的 顶点 相邻两边的公共端点叫三角形的顶点 点A，B，C（必须用大写字母）
三角形 的角 相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角 ∠A，∠B， ∠C
3.三角形中角与边的对应关系
∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB；反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B.
4.三角形的表示
三角形用符号“△”表示，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
知识点2　三角形的分类
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边都叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角.
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫等边三角形.
3.三角形的分类
（1）按边的相等关系分类
三角形
（2）按内角的大小分类
三角形
课堂达标
1.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.三角形按角分类可以分为 （ ）
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、等腰三角形
D.以上答案都不正确
3.在课堂上，老师在黑板上画出了边长如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是 （ ）
①　　②　　③
A.①——不等边三角形
B.②③——等腰三角形
C.③——等边三角形
D.②③——等边三角形
4.图中共有三角形 个，其中以AE为边的三角形有 个；△ABO中，∠AOB所对的边是 ，边OB所对的角是 .
5.若三角形的三边之比为2∶3∶3，其周长为32 cm，则这个三角形的三边的长分别为 .按边分，这个三角形是 三角形.
6.用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么三边长分别是多少？
（2）能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形吗？若能，写出所围成等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由.
13.2　与三角形有关的线段
第1课时　三角形的边
学习要点
知识点　三角形的三边关系
1.三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的三边关系反映了任意三角形的限制条件.
图形 文字语言 符号语言 理论 依据
三角形两边的和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点 之间， 线段 最短
三角形两边的差小于第三边 a－bb>c）
2.三角形三边关系的应用
（1）判断已知的三条线段能否构成三角形.
（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围.
（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）.
（4）式子的化简.
课堂达标
1.已知三角形的两边长分别为3 cm和6 cm，则这个三角形的第三边长可以是 （ ）
A.1 cm　 B.3 cm　 C.6 cm　 D.9 cm
2.满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是 （ ）
A.a∶b∶c＝1∶2∶3
B.a＋b＝4，a＋b＋c＝9
C.a＝3，b＝4，c＝5
D.a＝3t，b＝2t，c＝t
3.王师傅想做一个三角形的框架，他有如图所示的两根细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以选择的是 （ ）
A.6 cm的木条 B.8 cm的木条
C.两根都可以 D.两根都不行
第3题图　　第4题图
4.四边形ABCD各边的长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.若△ABC的两边长是方程组的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个.
6.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
（1）若a，b，c满足（a－b）2＋（b－c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值.
第2课时　三角形的稳定性
学习要点
知识点　三角形的稳定性
1.三角形三条边确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的稳定性.
2.三角形的稳定性在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成包含三角形的形状，如图所示.
钢架桥　　屋顶架
课堂达标
1.下列图形具有稳定性的是 （ ）
A.正方形　　　　　B.长方形
C.平行四边形 D.直角三角形
2.手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作成一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓个数为 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是 .
第3课时　三角形的中线、角平分线、高
学习要点
知识点1　三角形的中线
1.三角形的中线的概念
在三角形中，连接一个 和它所对的边的 的线段叫三角形的中线.
2.三角形中线的数量和位置
任何三角形都有 中线，三条中线都在三角形 ，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部.
3.三角形的重心
三角形三条 的交点叫三角形的重心.
【拓展】三角形的一条中线所分成的两个三角形的面积及周长的关系
（1）面积关系：如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高，则S△ABD＝BD·AE，S△ACD＝CD·AE.∵BD＝CD，∴BD·AE＝CD·AE，∴S△ABD＝S△ACD.
（2）周长关系：如图所示，∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD，△ACD的周长＝AC＋CD＋AD，BD＝CD，∴△ABD的周长－△ACD的周长＝（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）＝|AB－AC|.
知识点2　三角形的角平分线
1.三角形的角平分线的概念
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点所连线段叫三角形的角平分线.
2.三角形的角平分线的位置
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形 一点.
知识点3　三角形的高
1.三角形的高的概念
从三角形的一个 向它 所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫三角形的高.
2.三角形三条高的位置
三角形 高的位置 三条高 交点的 位置 图示
锐角 三角形 三条高都在三角形的内部 三角形的内部
直角 三角形 有两条高恰好是直角三角形的两直角边，另一条高在三角形内部 三条高的交点是直角顶点
钝角 三角形 有两条高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部 三条高所在直线交于三角形外一点
课堂达标
1.下列四个图形中，线段AD是△ABC的高是 （ ）
　　　 　　　　 　　　　 　
　　A 　　B
　　C 　　D
2.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC边上的一点，若△ABD的周长比△ACD的周长大2，则AD是 （ ）
A.△ABC的高
B.△ABC的角平分线
C.△ABC的中线
D.都有可能
3.如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为 （ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 （ ）
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
5.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 .
6.如图，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则△BFE（图中阴影部分）的面积为 .
7.如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB边上一点，CF⊥AD交AD于点H.有下列说法：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线.其中说法正确的有 .（填序号）
8.如图，在△ABC中（AB>BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长.
9.如图，点D是△ABC的角平分线BM上的一点，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，DG∥AB，交BC于点G，连接EG交BD于点O.DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由.
13.3　三角形的内角与外角
第1课时　三角形的内角
学习要点
知识点　三角形的内角和定理
1.定理：三角形三个内角的和等于180°，即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2.利用拼合法探索三角形的内角和定理的示意图
3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理
证明思路 运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角
推 理 过 程 方法1 如图所示，过点A作EF∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
方法2 如图所示，延长BC到点E，过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°
方法3 如图所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于点E， 作DF∥AC，交AB于点F. ∵DF∥AC，∴∠1＝∠C，∠2＝∠DEC. ∵DE∥AB，∴∠3＝∠B，∠DEC＝∠A，∴∠A＝∠2. 又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°
方法4 如图所示，过点B作BD∥AC， 则∠2＝∠A，∠DBC＋∠C＝180°. ∵∠DBC＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＋∠C＝180°， 即∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
方法5 如图所示，过点A作直线l1，过点B作l2∥l1，过点C作l3∥l1， 则l2∥l3. ∵l1∥l3，∴∠1＝∠2.同理∠3＝∠4. ∵l2∥l1，∴∠5＋∠1＋∠6＋∠4＝180°， ∴∠5＋∠2＋∠6＋∠3＝180°. 又∵∠2＋∠3＝∠ACB，∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
课堂达标
1.下列各组角中，属于同一个三角形的内角的是 （ ）
A.95°，75°，10°　　　　　B.60°，73°，67°
C.34°，36°，50° D.25°，160°，15°
2.如图①②③④所示的四种方法中，能成为证明三角形内角和定理思路的是 （ ）
过A作直线l∥BC图① 过A作直线l图②
延长BA至D，过A作射线l∥BC图③ 延长BA至D，过A作射线l图④
A.①②③④ B.①③
C.③④ D.①②
3.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α被称为“特征角”.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
（2）是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
第2课时　直角三角形的性质与判定
学习要点
知识点　直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的表示
用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”.
2.直角三角形的性质与判定
如图所示，在Rt△ABC中，直角所对的边AB叫斜边，夹直角的两条边CA和CB叫直角边.
（1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
符号语言：如图所示，在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°.即△ABC是直角三角形.
【注意】
（1）具体的直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母.
（2）可直接利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数，但前提是在直角三角形中.
【拓展】　直角三角形的三种判定方法
（1）证明三角形中有一个内角为90°（或证明三角形的两条边互相垂直）.
（2）证明一个三角形中有两个内角互余.
（3）证明三角形中有一个内角与已知的直角相等.
课堂达标
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是 （ ）
A.40°　 　B.50°　 　C.60°　 　D.70°
2.在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，已知AB∥CD，Rt△EFG的直角顶点在直线CD上，若∠FEC＝35°，则∠GHB＝ （ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
第3题图　　第4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE＝ .
5.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上任意一点，连接BE交AD于点F.
（1）若∠ABD＝40°，∠AFE＝70°，求证：BE平分∠ABC；
（2）在（1）的条件下，若∠AFE＝∠AEF，请直接写出图中所有直角三角形.
6.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP.过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α.
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，求∠PAB的度数；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的度数（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且α≠50°，求∠AED的度数（用含α的式子表示）.
图1　　　图2
备用图1　　　备用图2
第3课时　三角形的外角
学习要点
知识点　三角形的外角
1.三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
【注意】
（1）三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角.
（2）三角形的每一个顶点处都有两个外角，这两个外角相等，是一对对顶角，一个三角形共有六个外角.一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角.
2.三角形外角的性质（三角形内角和定理的推论）
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：如图所示，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.
【拓展】　三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
3.三角形的外角和定理
（1）三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫三角形的外角和.
（2）三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°.
课堂达标
1.下图中，∠1是△ABC的外角的是 （ ）
A B C D
2.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1等于 （ ）
A.95° B.105° C.120° D.135°
第2题图　　　　第3题图
3.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝ °.
4.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.
求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
证法1：∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，
∴ 　，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2（∠1＋∠2＋∠3）.
∵ 　，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

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