资源简介

第十四章　全等三角形
14.1　全等三角形及其性质
学习要点
知识点1　全等三角形及其相关概念
1.全等形：能够　完全重合　的两个图形叫全等形.全等形的形状、大小相同.
2.全等三角形的相关概念
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（2）全等三角形的对应元素
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；
②对应边：全等三角形中，能够重合的边；
③对应角：全等三角形中，能够重合的角.
3.全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，用“≌”表示两个三角形全等时，须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
知识点2　全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
2.书写格式
∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'.
课堂达标
1.盈盈想在图中再加一个方格，使整个图形被直线l分成的两部分全等，这个方格可放的位置为 （B）
A.①
B.②或③
C.①或②
D.③或④
2.如图所示，△AOC≌△BOD，C，D是对应点，则下列结论错误的是 （C）
A.∠A与∠B是对应角
B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边
D.OC与OD是对应边
第2题图　　　第4题图
3.已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个三角形三边的长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝　5或4　.
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB.若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是　（3，－2）　.
5.如图，已知△ABC≌△DEF，∠C和∠F是对应角，在△ABC中，BC是最长边，在△DEF中，EF是最长边，AC＝2.6 cm，CE＝0.7 cm，EF＝3.5 cm，∠CAE＝15°，∠F＝56°.
（1）求线段DF及线段BE的长度；
（2）求∠AEB的度数.
解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，AC＝DF.∵AC＝2.6 cm，∴DF＝2.6 cm.∵CE＋BE＝BC，CE＝0.7 cm，EF＝3.5 cm，∴BE＝BC－CE＝EF－CE＝3.5－0.7＝2.8（cm）.
（2）∵△ABC≌△DEF，∠F＝56°，∴∠C＝∠F＝56°.∵∠CAE＝15°，∴∠AEB＝∠C＋∠CAE＝56°＋15°＝71°.
14.2　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定（一）
学习要点
知识点1　三角形全等的基本事实：边角边
1.边角边：　两边和它们的夹角分别相等　的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）.
知识点2　三角形全等的基本事实：角边角
1.角边角：　两角和它们的夹边分别相等　的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.
知识点3　三角形全等的基本事实：角角边
1.角角边：　两角分别相等且其中一组等角的对边相等　的两个三角全等，简写成“角角边”或“AAS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）.
课堂达标
1.如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是 （C）
　　　 　　　　 　　　　 　
A.AB∥CD
B.AB＝CD
C.AB≠CD但AB∥CD
D.∠A＝∠C
2.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF，AB＝CE，则与BC相等的线段是 （D）
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.如图，已知AB∥CD，且∠B＝∠D，要判定△ABC≌△CDA最直接的方法是 （A）
A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS
第3题图　　　　第4题图
4.如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为　40°　.
5.如图，在△ABC和△DBE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEB，BC＝BE.若EF⊥BC于F，∠BEF＝60°，求∠ABD的度数.
解：在△DBE和△ABC中，
∴△DBE≌△ABC（SAS），∴∠DBE＝∠ABC，∴∠DBE－∠ABE＝∠ABC－∠ABE，即∠ABD＝∠EBF.∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°.∵∠BEF＝60°，∴∠EBF＝90°－∠BEF＝30°，∴∠ABD＝∠EBF＝30°.
第2课时　三角形全等的判定（二）
学习要点
知识点1　三角形全等的基本事实：边边边
1.边边边：　三边分别相等　的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
知识点2　用直尺和圆规作一个角等于已知角
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'.
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'.
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求作的角.
知识点3　直角三角形全等的判定方法：HL
1.斜边、直角边：　斜边和一条直角边分别相等　的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”.
2.书写格式
如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.
课堂达标
1.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是 （C）
A　　B　　C　　D
第1题图　　　　第2题图
2.如图，AB＝ED，AC＝CE，点C是BD的中点，若∠A＝35°，则∠E＝　35　°.
3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明△COD≌△C'O'D'，进而得出∠AOB＝
∠A'O'B'的依据是　SSS　.
4.如图，在△ABC中，过点A向BC作垂线，垂足为E，D为CA延长线上一点，过点D作DF∥AE交BC于点F，交AB于点P，若DF＝BE，BA＝DC.请判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：AB⊥CD.理由：∵AE⊥BC，DF∥AE，∴DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠D.∵∠BPF＝∠APD，∴∠DAP＝∠BFD＝90°，
∴AB⊥CD.
14.3　角的平分线
学习要点
知识点1　角的平分线的性质
1.角的平分线的作法
作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）.根据全等三角形的对应角相等，找到角的平分线.
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
2.角的平分线的性质
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离　相等　.
（2）几何语言
如图所示，∵OM平分∠AOB，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE＝CF.
知识点2　角的平分线的判定
1.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离　相等　的点在角的平分线上.
2.几何语言
如图所示，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE＝PF，∴点P在∠AOB的平分线上.
课堂达标
1.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值 （A）
　　　 　　　　 　　　　 　
A.等于3 B.大于3
C.小于3 D.无法确定
第1题图　　　　　第2题图
2.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝ （A）
A.120° B.125° C.130° D.140°
3.在平面直角坐标系的x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是　2或－2　.
4.在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，BC＝10，△ABC的面积为27，求AB的长.
解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DA＝3.∵△ABC的面积为27，∴△ABD的面积＋△BDC的面积＝27，∴AD·AB＋BC·DE＝27，∴×3AB＋×10×3＝27，∴AB＝8，∴AB的长为8.
5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC.
（1）求∠ADE的度数；
（2）若DE＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°－50°－62°＝68°.∵AD是角平分线，∴∠DAC＝∠BAC＝34°.∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°－34°＝56°.
（2）作DF⊥AB于F，如图所示.∵AD是角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF＝DE＝5，即点D到AB的距离为5.第十四章　全等三角形
14.1　全等三角形及其性质
学习要点
知识点1　全等三角形及其相关概念
1.全等形：能够 的两个图形叫全等形.全等形的形状、大小相同.
2.全等三角形的相关概念
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（2）全等三角形的对应元素
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；
②对应边：全等三角形中，能够重合的边；
③对应角：全等三角形中，能够重合的角.
3.全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，用“≌”表示两个三角形全等时，须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
知识点2　全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
2.书写格式
∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'.
课堂达标
1.盈盈想在图中再加一个方格，使整个图形被直线l分成的两部分全等，这个方格可放的位置为 （ ）
A.①
B.②或③
C.①或②
D.③或④
2.如图所示，△AOC≌△BOD，C，D是对应点，则下列结论错误的是 （ ）
A.∠A与∠B是对应角
B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边
D.OC与OD是对应边
第2题图　　　第4题图
3.已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个三角形三边的长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝ .
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB.若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是 .
5.如图，已知△ABC≌△DEF，∠C和∠F是对应角，在△ABC中，BC是最长边，在△DEF中，EF是最长边，AC＝2.6 cm，CE＝0.7 cm，EF＝3.5 cm，∠CAE＝15°，∠F＝56°.
（1）求线段DF及线段BE的长度；
（2）求∠AEB的度数.
14.2　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定（一）
学习要点
知识点1　三角形全等的基本事实：边角边
1.边角边： 的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）.
知识点2　三角形全等的基本事实：角边角
1.角边角： 的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.
知识点3　三角形全等的基本事实：角角边
1.角角边： 的两个三角全等，简写成“角角边”或“AAS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）.
课堂达标
1.如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是 （ ）
　　　 　　　　 　　　　 　
A.AB∥CD
B.AB＝CD
C.AB≠CD但AB∥CD
D.∠A＝∠C
2.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF，AB＝CE，则与BC相等的线段是 （ ）
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.如图，已知AB∥CD，且∠B＝∠D，要判定△ABC≌△CDA最直接的方法是 （ ）
A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS
第3题图　　　　第4题图
4.如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为 .
5.如图，在△ABC和△DBE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEB，BC＝BE.若EF⊥BC于F，∠BEF＝60°，求∠ABD的度数.
第2课时　三角形全等的判定（二）
学习要点
知识点1　三角形全等的基本事实：边边边
1.边边边： 的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
2.书写格式
如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
知识点2　用直尺和圆规作一个角等于已知角
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'.
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'.
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求作的角.
知识点3　直角三角形全等的判定方法：HL
1.斜边、直角边： 的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”.
2.书写格式
如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.
课堂达标
1.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是 （C）
A　　B　　C　　D
第1题图　　　　第2题图
2.如图，AB＝ED，AC＝CE，点C是BD的中点，若∠A＝35°，则∠E＝ °.
3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明△COD≌△C'O'D'，进而得出∠AOB＝
∠A'O'B'的依据是 .
4.如图，在△ABC中，过点A向BC作垂线，垂足为E，D为CA延长线上一点，过点D作DF∥AE交BC于点F，交AB于点P，若DF＝BE，BA＝DC.请判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
14.3　角的平分线
学习要点
知识点1　角的平分线的性质
1.角的平分线的作法
作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）.根据全等三角形的对应角相等，找到角的平分线.
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
2.角的平分线的性质
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 .
（2）几何语言
如图所示，∵OM平分∠AOB，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE＝CF.
知识点2　角的平分线的判定
1.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离 的点在角的平分线上.
2.几何语言
如图所示，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE＝PF，∴点P在∠AOB的平分线上.
课堂达标
1.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值 （ ）
　　　 　　　　 　　　　 　
A.等于3 B.大于3
C.小于3 D.无法确定
第1题图　　　　　第2题图
2.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝ （ ）
A.120° B.125° C.130° D.140°
3.在平面直角坐标系的x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是 .
4.在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，BC＝10，△ABC的面积为27，求AB的长.
5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC.
（1）求∠ADE的度数；
（2）若DE＝5，求点D到AB的距离.

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