资源简介

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
素养目标
1.知道三角形的中线、角平分线、高的意义,并能熟练地画出任意三角形的中线、角平分线、高.
2.能应用三角形的中线、角平分线、高的性质进行简单的计算.
3.了解三角形的重心.
三角形的中线、角平分线、高的定义及画法.
【自主预习】
如图,在△ABC中,D是BC的中点,AE平分∠BAC,AF⊥BC于点F,请分别写出△ABC的中线、角平分线和高.
1.如图,若∠ACB=56°,CD是△ABC的角平分线,则∠ACD的度数为　　　　.
2.如图,∠E=∠F=90°,点A,B,F在一条直线上,点C,B,E在一条直线上,在△ABC中,AB边上的高是线段　　　　.
【合作探究】
知识点一：三角形的中线
1.如图,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的 E,所得线段AE叫作△ABC的边BC上的中线.∵ AE是△ABC的边BC上的中线,∴ BE= =BC.
2.三角形的三条中线相交于一点,这个点叫作三角形的 .
【讨论】在第1题的图中,△ABE与△AEC的面积有什么关系 为什么
如图,在△ABC中,AD为中线,AB=5,AC=9,则△ACD与△ABD的周长之差为 ( )
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
知识点二：三角形的角平分线
如图,在△ABC中,画∠BAC的平分线AF,交∠A所对的边BC于点F,所得线段AF叫作△ABC的 .∵ AF是△ABC中的∠BAC的平分线,∴ ∠BAF= = ∠BAC.
如图,AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E,若∠BAC=100°,则∠ADE的度数为　　　　°.
知识点三：三角形的高
如图,从△ABC的顶点A向它所对的边BC 画垂线,垂足为D,所得 叫作△ABC的边BC上的高线,三角形的高线简称为三角形的高.
∵AD是△ABC的边BC上的高,∴AD⊥BC于点D,∠ADB=∠ADC= °.
如图,是△ABC的高的是 ( )
A.射线BD　
B.线段EC
C.线段BD　
D.线段CD
题型1 三角形的高与等面积法
例1　在△ABC中,∠B=90°,若AB=3,BC=4,AC=5,则AC边上的高为 .
【方法归纳交流】当三角形中有高出现时,可考虑借助 解决问题.
题型2 利用三角形的中线求线段长
例2　如图,在△ABC中(AB>BC),AB=2AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分,求AB和BC的长.
变式训练　如图,在△ABC中,AD是中线,AB+AC=14,△ABD的周长比△ACD的周长大4.
(1)求AB,AC的长.
(2)求△ABC周长的取值范围.
题型3 三角形的中线、角平分线、高的综合应用
例3　如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点,∠ACB=50°.
(1)求∠ACE和∠ADB的度数.
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请求出结果;若不能,请你补充条件并解答.
参考答案
【自主预习】
预学思考
解:△ABC的中线、角平分线和高分别是AD,AE,AF.
自学检测
1.28°　2.CF
【合作探究】
知识生成
知识点一
揭示概念
1.中点　EC　2.重心
讨论　面积相等,理由是等底同高的两个三角形的面积相等.
对点训练
A
知识点二
揭示概念
角平分线　∠CAF　
对点训练
50
知识点三
揭示概念
所在直线　线段AD　90
对点训练
C
题型精讲
题型1
例1
方法归纳交流　面积(或等面积法)
题型2
例2
解:设AC=x,则AB=2x.
∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC=x.
由题意得2x+x=30,解得x=12,
∴AC=12,AB=24,BC=20-×12=14,
∴AB的长为24,BC的长为14.
变式训练
解:(1)∵BD=CD,
∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=4,
即AB-AC=4①.
又∵AB+AC=14②,
①+②得2AB=18,解得AB=9,
②-①得2AC=10,解得AC=5,
∴AB=9,AC=5.
(2)∵AB=9,AC=5,
∴AB-AC即9-5∴4∴4+9+5∴18<△ABC的周长<28.
题型3
例3
解:(1)∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°.
∵CE是△ACB的角平分线,∠ACB=50°,
∴∠ACE=∠ACB=×50°=25°.
(2)能求出BC的值.
∵F是AC中点,
∴AF=FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3,
∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,
∴BC-AB=3.
∵AB=7,∴BC=3+7=10.

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