资源简介

13.3.1　第2课时　直角三角形的性质与判定
素养目标
1.知道直角三角形的表示方法,能推导出直角三角形两锐角互余的性质并会应用.
2.知道两个角互余的三角形是直角三角形,并能简单应用.
直角三角形的性质和判定及应用.
【自主预习】
1.直角三角形的两个锐角的和等于多少度
2.怎样从内角的关系判断一个三角形是直角三角形
1.在一个直角三角形中,一个锐角的度数是40°,另一个锐角的度数是 ( )
A.70° B.50° C.30° D.10°
2.若在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,则△ABC是　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【合作探究】
知识点一：直角三角形的性质
　　阅读课本本课时“例3”及其前面的内容,解答下列问题.
1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,则由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C= ,即∠A+∠B+ = ,所以∠A+∠B= .从而说明直角三角形的两个锐角 .
2.如图2,若∠A=∠C=90°,则∠B与∠D的数量关系是 .若∠A=∠C≠90°,则∠B与∠D的数量关系是　　　　.
直角三角形的两个锐角 .
1.在直角三角形ABC中,若∠A=90°,∠B=2∠C,则∠C的度数是 ( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
2.若直角三角形的两个锐角的度数比为1∶3,则较小的锐角的度数为 .
知识点二：直角三角形的判定
　　阅读课本本课时“思考”部分的内容,解答下列问题.
如图,在△ABC中,若∠A+∠B=90°,由三角形内角和定理,有∠A+∠B+∠C= ,所以∠C= ,即△ABC是 三角形.
　　有两个角 的三角形是直角三角形.
【讨论】在说明一个三角形工件是不是直角三角形时,小明采取的办法是直接测量三角形中有没有等于90°的角,小文采取的办法是测量两个较小的角后再计算它们的和是否等于90°.你认为他们的方法可行吗
具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4
题型1 三角形中的高与直角三角形的判定
例1　如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AB上一点,CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求证:△ACE是直角三角形.
变式训练　如图,AD,BF分别是△ABC的高与角平分线,BF,AD交于点E,∠1=∠2.求证:△ABC是直角三角形.
题型2 直角三角形的性质与判定的综合运用
例2　如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C.求证:△ABD是直角三角形.
变式训练　如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证:△ACD是直角三角形.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.解:直角三角形的两个锐角的和等于90°.
2.解:有两个角互余的三角形是直角三角形.
自学检测
1.B
2.直角
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.180°　90°　180°　90°　互余　
2.相等　相等
归纳总结　互余
对点训练
1.D
2.22.5°
知识点二
180°　90°　直角
归纳总结　互余
讨论　解:都可行.
对点训练
C
题型精讲
题型1
例1
证明:∵AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠DCM=∠MAE,∠CMD=∠AME,
∴180°-(∠MAE+∠AME)=180°-(∠DCM+∠CMD),
∴∠AEC=∠ADC=90°,
∴△ACE是直角三角形.
变式训练
证明:∵AD⊥BC,
∴∠BED+∠EBD=90°.
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBD,
∴∠BED+∠ABE=90°.
∵∠1=∠BED,
∴∠1+∠ABE=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠ABE=90°,
∴∠BAF=90°,
∴△ABC是直角三角形.
题型2
例2
证明:∵CE⊥AD,
∴∠CED=90°.
∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C,
∴∠A+∠D=90°,
∴∠ABD=90°,∴△ABD是直角三角形.
变式训练
证明:∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,∴△ACD是直角三角形.

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