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第十三章 三角形 复习课
复习目标
1.掌握三角形的三边关系,了解三角形具有稳定性.
2.知道三角形的中线、角平分线、高、内角、外角的概念,会画三角形的中线、角平分线、高.
3.知道三角形的内角及外角、直角三角形的性质,并能简单应用.
能熟练应用三角形的边、角的相关知识解决问题.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：三角形具有稳定性
例1　(真情境)如图,敏敏自制了一个风筝去参加风筝节,为了让风筝更稳定地在空中飞行,他设计的风筝骨架结构为三角形,这种设计的原理是 ( )
A.三角形具有稳定性 B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
变式训练
1.下列四个图形中,具有稳定性的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(真情境)如图,某桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构,其数学原理是　　　　　　　　.
专题二：三角形的三边关系
例2　若一个三角形的三边长都是正整数,且三边长的比是2∶3∶4,则它的周长不可能是
( )
A.18cm B.19cm C.54cm D.36cm
变式训练
1.若一个三边都不相等的三角形的两边长分别为6和10,且第三边长为偶数,则符合条件的三角形有 ( )
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
2.(1)若一个等腰三角形的周长为11cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的腰长为　　　　.
(2)已知一个等腰三角形的两边长分别为m,n,且满足|3-m|+(2n-8)2=0,则这个等腰三角形的周长为　　　　.
专题三：三角形的角平分线、中线和高
例3　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AC上一点,连接BP,∠ABP=∠ABC.
(1)BP是△ABC的　　　　.(填“高”“中线”或“角平分线”)
(2)若∠A=34°,求∠BPC的度数.
变式训练　如图,在△ABC中(AB>AC),AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线.
(1)若DE=2,求BC的长.
(2)若△ABC的周长为35,BC=11,且△ABD与△ACD的周长差为3,求AC的长.
专题四：三角形的内角
例4　如图,在△ABC中,∠A=2∠B,∠C-∠B=80°,求∠A的度数.
变式训练　在△ABC中,∠B=∠A+20°,∠C=∠B+41°,求∠A的度数.
专题五：直角三角形的性质
例5　如图,F是△ABC的边BC延长线上的一点,FD⊥AB于点D,若∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数.
专题六：三角形的外角
例6　如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,延长BA至点E,连接EC.设∠B=α,∠E=β,若∠BAC=α+2β,求证:CE平分∠ACD.
变式训练　如图,∠CAE是△ABC的一个外角,AD平分∠CAE,交BC的延长线于点D,若∠B=30°,∠CAD=65°,求∠ACD的度数.
专题七：与三角形有关的新定义题
例7　(新趋势)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们称为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在△ABC中,∠A=35°,∠B=40°,△ABC是“三倍角三角形”吗 请判断并说明理由.
(2)若钝角△ABC是“三倍角三角形”,且∠B=30°,求△ABC中∠A的度数.
变式训练　(新趋势)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足:α+2β=90°.那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠B=60°,则∠A的度数为　　　　.
(2)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①若AD是△ABC的角平分线,△ABD是“准互余三角形”吗 请判断并说明理由;
②若E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,∠B=24°,求∠EAC的度数.
参考答案
【专题复习】
专题一
例1
A
变式训练
1.B　2.三角形具有稳定性
专题二
例2
B
变式训练
1.B　2.(1)4.5cm　(2)11或10
专题三
例3
解:(1)角平分线.
(2)∵∠ACB=90°,∠A=34°,
∴∠ABC=56°,
∴∠ABP=∠ABC=28°,
∴∠BPC=∠A+∠ABP=34°+28°=62°.
变式训练
解:(1)∵AE是△ACD的中线,DE=2,
∴CD=2DE=2×2=4.
∵AD是△ABC的中线,
∴BC=2CD=2×4=8.
(2)∵△ABC的周长为35,
∴AB+AC+BC=35.
∵BC=11,
∴AB+AC=24.
∵△ABD与△ACD的周长差为3,
∴(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=3,
∴解得
∴AC的长为10.5.
专题四
例4
解:∵∠A=2∠B,∠C-∠B=80°,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=∠B+80°,
∴2∠B+∠B+∠B+80°=180°,解得∠B=25°,
∴∠A=2∠B=50°.
变式训练
解:∵∠B=∠A+20°,∠C=∠B+41°,
∴∠C=∠A+20°+41°=∠A+61°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A+20°+∠A+61°=180°,解得∠A=33°.
专题五
例5
解:∵FD⊥AB于点D,∴∠FDB=90°.
∵∠F=40°,∠FDB+∠F+∠B=180°,∴∠B=50°.
∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACF=∠A+∠B=30°+50°=80°.
专题六
例6
证明:∵∠BAC=∠E+∠ACE=β+∠ACE,∠BAC=α+2β,∴∠ACE+β=α+2β,∴∠ACE=α+β.
∵∠DCE=∠B+∠E=α+β,∴∠ACE=∠DCE,
∴CE平分∠ACD.
变式训练
解:∵AD平分∠CAE,交BC的延长线于点D,∠CAD=65°,
∴∠CAE=2∠CAD=130°.
∵∠CAE=∠B+∠ACB,∠B=30°,
∴∠ACB=∠CAE-∠B=130°-30°=100°,
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-100°=80°.
专题七
例7
解:(1)△ABC是“三倍角三角形”.
理由:∵∠A=35°,∠B=40°,
∴∠C=180°-35°-40°=105°=35°×3=3∠A,
∴△ABC是“三倍角三角形”.
(2)∵∠B=30°,∴∠A+∠C=150°.
设最小的角为x.
①当30°=3x时,x=10°,△ABC三个内角分别为10°,30°,140°;
②当x+3x=150°时,x=37.5°,△ABC三个内角分别为30°,37.5°,112.5°;
③当x=30°时,30°×3=90°,不符合题意.
综上所述,钝角△ABC中∠A的度数为10°或140°或37.5°或112.5°.
变式训练
解:(1)15°.
(2)①△ABD是“准互余三角形”.
理由:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,∴△ABD是“准互余三角形”.
②∵△ABE是“准互余三角形”,
∴∠EAB+2∠B=90°或2∠EAB+∠B=90°.
∵∠B=24°,∴∠EAB=42°或∠EAB=33°.
当∠EAB=42°,∠B=24°时,
∠EAC=90°-∠B-∠EAB=24°.
当∠EAB=33°,∠B=24°时,
∠EAC=90°-∠B-∠EAB=33°,
∴∠EAC的度数为24°或33°.

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