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14.2　第5课时　直角三角形全等的判定:斜边、直角边(HL)
素养目标
1.经历探索判定直角三角形全等的方法的过程,理解“斜边、直角边”.
2.会应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.
3.树立探索、发现隐含条件的意识.
应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.
【自主预习】
我们知道已知两边及一边的对角分别相等,不能判定两个三角形全等,那么当一边的对角是直角时,即斜边和一直角边分别相等,能确定两个直角三角形全等吗
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,且根据“HL”判定,还需添加的条件是　　　　.
【合作探究】
知识点：用“HL”判定直角三角形全等
　　阅读课本本课时全部内容,解答下列问题.
和一条 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
1.判定两个直角三角形全等的方法不正确的是 ( )
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是 ( )
A.AAS　　B.SAS　　C.ASA　　D.HL
3.如图,BD,CE都是△ABC的高,且BE=CD,求证:△BEC≌△CDB.
题型1 添加条件后“斜边、直角边”证明直角三角形全等
例1　如图,∠C,∠D是直角,添加一个条件使得△ABC≌△ABD,并根据你添加的条件给出证明.
【方法归纳交流】(1)“HL”是判定 三角形全等的特殊方法,只对 三角形适用,在证明直角三角形全等时,先考虑运用“ ”,再考虑其他方法.
(2)运用“HL”的前提条件是在 三角形中,且必须是 、 边分别相等.
变式训练　如图,已知点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AB,FD⊥AD,AB=CD,若用“HL”证明Rt△AEC≌△Rt△DFB,请添加一个条件,并写出你的证明过程.
题型2 “斜边、直角边”证明直角三角形全等与全等三角形性质的综合应用
例2　如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
变式训练　如图,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足.求证:CF=DF.
题型3 其他判定方法证明直角三角形全等
例3　如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F.求证:BF=DE.
【方法归纳交流】因为直角三角形是特殊的三角形,所以不仅可以用一般三角形判定全等的方法: , , , ,还能用直角三角形特殊的判定方法: .
变式训练　如图,AD∥BC,∠BAD=90°,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,与射线AD相交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F. 不添加辅助线找出图中与BF相等的线段,然后再加以证明.
(1)结论:BF=　　　　.
(2)请写出(1)中结论的证明过程.
参考答案
【自主预习】
预学思考
解:能.
自学检测
AB=AC
【合作探究】
知识点
斜边　直角边　斜边、直角边　HL
对点训练
1.D　2.D
3.证明:∵BD,CE分别是△ABC的高,
∴∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中,
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
题型精讲
题型1
例1
解:添加的条件①AC=AD或②BC=BD.
①证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
②证明:在Rt△ABC与Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
方法归纳交流
(1)直角　直角　HL　(2)直角　斜边　直角
变式训练
解:条件是EC=BF.
证明:∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,
∴AC=BD.
∵EA⊥AB,FD⊥AD,
∴∠A=∠D=90°.
在Rt△AEC和Rt△DFB中,
∴Rt△AEC≌Rt△DFB(HL).
题型2
例2
证明:在Rt△ACD和Rt△BFD中,
∴Rt△ACD≌Rt△BFD(HL),
∴∠CAD=∠FBD.
∵∠FBD+∠BFD=90°,∠BFD=∠AFE,
∴∠CAD+∠AFE=90°,
∴∠AEF=90°,
∴BE⊥AC.
变式训练
证明:如图,连接AC,AD.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
又∵AF⊥CD,∴∠AFC=∠AFD=90°,
在Rt△ACF和Rt△ADF中,
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),
∴CF=FD.
题型3
例3
证明:∵FA⊥AE,∴∠FAB+∠EAB=90°.
又∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,
∴∠EAB+∠DAE=90°,∴∠FAB=∠EAD.
又∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADE=∠ABC=∠FBA=90°,且AB=AD,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴BF=DE.
方法归纳交流　SAS　ASA　AAS　SSS　HL
变式训练
解:(1)AE.
(2)证明:根据题意,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,与射线AD相交于点E,
∴BE=BC.
∵CF⊥BE,∴∠CFB=90°.
又∵∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠CFB=90°.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠FBC.
在△ABE和△FCB中,
∴△ABE≌△FCB(AAS),
∴AE=BF.

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