资源简介

14.3　第2课时　角的平分线的判定
素养目标
　　1.会叙述角的平分线的判定方法,并能应用这个判定方法解决一些简单的问题.
2.通过画图、文字及符号的翻译活动,增强概括归纳的能力.
正确运用角的平分线的判定方法.
【自主预习】
角的内部到角的两边的距离相等的点一定在什么线上
1.如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE,则 ( )
A.点P在∠A的平分线上
B.点P在∠B的平分线上
C.点P在∠C的平分线上
D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点
2.如图,∠AOB=50°,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC= °.
【合作探究】
知识点：角的平分线的判定
　　阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上.
【温馨提示】在应用角的平分线的判定方法时,一定要注意“距离”是点到直线的垂线段的长度.
1.人们常用两个全等的三角尺平分一个任意角,
做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,使这两个三角尺的一直角边分别与OA,OB重合,移动三角尺使两个直角顶点分别与M,N重合,三角尺的另两条直角边相交于点C,作射线OC,可证得△MOC≌△NOC,从而得OC平分∠AOB.在上述过程中,判定两个三角形全等的方法是 ( )
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
2.如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D.若BD=CD,求证:AD平分∠BAC.
题型1 角的平分线判定的实际运用
例1　(真情境)如图,点O为码头,OM,ON为海岸线,A,B两个灯塔与码头的距离相等.一艘轮船从码头开出,计划沿∠MON的平分线航行,航行途中,某时刻测得轮船所在的位置C与灯塔A,B的距离相等,问此时轮船是否偏离航线 请说明理由.
【方法归纳交流】这个题目能不能用角的平分线的判定方法直接判定 如果不能,为什么
变式训练　(真情境)如图,有三条公路l1,l2,l3两两相交,要选择一地点建一座加油站,使加油站到三条公路的距离相等,这样的位置有 ( )
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
题型2 角的平分线的性质与判定的综合运用
例2　如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CP与∠ABC的平分线BP相交于点P,连接AP.
(1)求证:AP平分∠CAB.
(2)若△ABC的周长为22,面积为,求点P到AB的距离.
变式训练　如图,点D在边BC的延长线上,∠ACE=α,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD于点H,且∠CEH=90°-α.
(1)求证:AE平分∠CAF.
(2)若AB=8,CD=10,AC=6,且S△ABE=16,求△ACD的面积.
参考答案
【自主预习】
预学思考
解:在角的平分线上.
自学检测
1.B
2.25
【合作探究】
知识生成
知识点
平分线
对点训练
1.A　
2.证明:在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DF=DE.
∵DF⊥AB,DE⊥AC,
∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC.
题型精讲
题型1
例1
解:此时轮船没有偏离航线.
理由:连接OC(图略).
由题意得OA=OB,AC=BC.
在△AOC和△BOC中,
∴△AOC≌△BOC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠MON,
∴此时轮船没有偏离航线.
方法归纳交流　解:不能.AC,BC不是点C到角两边的距离,所以不能直接利用角的平分线判定方法来直接判定.
变式训练
D
题型2
例2
解:(1)证明:如图,过点P作PD⊥AB于点D,作PE⊥BC于点E,作PF⊥AC于点F,则PD,PE,PF分别是P到AB,BC,CA的距离.
∵CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,
∴PE=PF,PD=PE,
∴PF=PD,
∴AP平分∠CAB.
(2)∵△ABC的周长为22,
∴AB+AC+BC=22.
∵△ABC的面积为,
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA=,
∴AB·PD+BC·PE+CA·PF=.
由(1)得PE=PF=PD,
∴(AB+BC+CA)·PD=,
∴×22×PD=,
解得PD=,
即点P到AB的距离为.
变式训练
解:(1)证明:如图,过点E作EM⊥BF于点M,EN⊥AC与点N.
∵BE平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=α,∠CEH=90°-α,EH⊥BD,
∴∠HCE=90°-∠CEH=α=∠ACE,
∴CE平分∠ACD,∴EN=EH,∴EM=EN,
∴AE平分∠CAF.
(2)∵AB=8,CD=10,AC=6,且S△ABE=16,
∴16=S△ABE=AB·EM=×8×EM,∴EM=4,
∴EN=EH=EM=4,
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC·EN+CD·EH
=×6×4+×10×4=32,
∴△ACD的面积为32.

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