资源简介

15.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定
素养目标
1.知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形是轴对称图形.
2.会叙述、推理证明等边三角形的性质和判定.
3.经历应用等边三角形性质和判定的过程,增强分析问题、解决问题的能力.
等边三角形的性质、判定及其应用.
【自主预习】
1.等边三角形的三个角有什么关系
2.满足什么条件的三角形是等边三角形
1.在一个三角形中,添加下列条件,不能得到该三角形是等边三角形的是 ( )
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【合作探究】
知识点一：等边三角形的性质
　　阅读课本本课时“探究”后面第一、第二自然段的内容,解答下列问题.
如图,△ABC是等边三角形,试完成如下证明过程.
证明:在等边△ABC中,由定义有AB= .
∴ =∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A= = .
又∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B=∠C= .
　　等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 .
如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( )
A.25°　　　B.60°　　　C.85°　　　D.95°
知识点二：等边三角形的判定
　　阅读课本本课时“探究”后面第三自然段至“例4”的内容,解答下列问题.
1.如果一个三角形有两个角是60°,那么第三个角的度数为 ,从而可知该三角形是 三角形.
2.若一个等腰三角形有一个角等于60°(若这个角是顶角,则两个底角分别等于 ;若这个角是底角,则另一个底角为 ,顶角为60°),则这个三角形是 三角形.
判定一个三角形是等边三角形的方法:
①定义法: 的三角形是等边三角形.
② 的三角形是等边三角形.
③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
1.在△ABC中,∠A=60°,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC为等边三角形的是 ( )
A.AB=AC
B.∠A=∠B
C.AD⊥BC(D为BC上一点)
D.∠B=∠C
2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB的长为 .
题型 等边三角形判定与性质的综合应用
例　如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)求证:△ABD是等边三角形.
(2)求证:BE=AF.
变式训练　如图,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到点D,延长BA到点E,使AE=BD,连接CE,DE,使EC=DE,求证:△ABC是等边三角形.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.解:等边三角形的三个角相等且都等于60°.
2.解:三个角都相等的三角形或有一个60°角的等腰三角形是等边三角形.
自学检测
1.D　2.A
【合作探究】
知识生成
知识点一
AC　∠B　∠B　∠C　60°
归纳总结　相等　60°
对点训练
D
知识点二
1.60°　等边
2.60°　60°　等边
归纳总结　①三条边都相等　②三个角都相等　③60°
对点训练
1.C　2.10
题型精讲
例
证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)由(1)可知,△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
变式训练
证明:如图,延长BD至点F,使DF=BC,连接EF.
∵EC=ED,
∴∠ECD=∠EDC,
∴∠ECB=∠EDF,
∴易证得△ECB≌△EDF(SAS),
∴BE=EF.
∵∠B=60°,
∴△BEF为等边三角形,
∴BE=BF.
∵AE=BD,
∴DF=AB.
∵BC=DF,
∴AB=BC,
∴△ABC是等边三角形.

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