资源简介

15.3.2　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质
素养目标
1.通过拼图,探索、发现、归纳、证明含30°角的直角三角形的性质.
2.掌握有一个角为30°的直角三角形的性质与应用.
含30°角的直角三角形的性质定理及应用.
【自主预习】
在直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么数量关系
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,AB的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图,∠C=90°,∠B=2∠A,AB=6,则线段BC的长为　　　　.
【合作探究】
知识点：含30 °角的直角三角形的性质
　　阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题.
1.如图1,若△ABC是等边三角形,AD是高,因为等边三角形是轴对称图形,沿AD折叠后,点B与点C重合,则BD= = ,∠ADB=∠ADC= ,∠BAD=∠CAD= = °.
又AB=BC,∴BD= AB.
2.上述结果我们也可以采用如下方法证明:
如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B= .
如图3,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,又AC= ,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB= ,∴△ABD是 三角形,∴BC= BD=AB.
　　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为 ( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.(真情境)如图,这是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE均垂直于横梁AC,AB=8米,∠A=30°,则DE的长为 ( )
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
3.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若AD=2,则BD的长为 .
题型1 含30°角的直角三角形的性质的应用
例1　如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,过点P作PC平行OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,且PC=6.
(1)求证:△OPC是等腰三角形.
(2)求PD的长.
变式训练　如图,在△ABC中,∠ACB=30°,线段AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,点O在DE上,∠OAB=∠OBA.
(1)求证:△OAB是等边三角形.
(2)若OD=2,OE=4,求BE的长.
题型2 含30°角的直角三角形的性质的实际应用
例2　如图,一艘轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险 请判断并说明理由.
【方法归纳交流】当题目中有15°的角出现时,常构造 三角形解决问题.
变式训练　(真情境)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形ABC空地上种植某种草皮美化环境,其中AB=20m,AC=40m,∠BAC=150°.已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱
参考答案
【自主预习】
预学思考
解:在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
自学检测
1.D　2.3
【合作探究】
知识点
1.CD　BC　90°　∠BAC　30　
2.60°　AC　AD　等边　
归纳总结　一半
对点训练
1.B　2.C　3.6
题型精讲
题型1
例1
解:(1)证明:∵OP平分∠AOB,
∴∠POB=∠POA.
又∵PC∥OA,∴∠POA=∠OPC,
∴∠POB=∠OPC,
∴OC=PC,
∴△OPC是等腰三角形.
(2)如图,过点P作PE⊥OB,垂足为E.
∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,
∴∠POC=∠AOB=15°.
又∵∠POC=∠POA=∠OPC=15°,
∴∠PCE=∠POC+∠OPC=15°+15°=30°.
∵PE⊥OB,∴∠PEC=90°,
∴PE=PC=×6=3.
∵OP平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA,
∴PD=PE=3.
变式训练
解:(1)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.
∵OC=OA,∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°,
∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°,
∴∠OAB=∠OBA=60°,
∴△OAB是等边三角形.
(2)如图,过点O作OF⊥BC于点F.
在Rt△CDE中,∠ACB=30°,DE=OD+OE=6,
则CE=2DE=2×6=12,∠CED=60°,
∴∠EOF=30°,∴EF=OE=2,
∴CF=CE-EF=12-2=10.
∵OB=OC,OF⊥BC,
∴BC=2CF=20,
∴BE=BC-CE=20-12=8.
题型2
例2
解:有触礁的危险.
理由:过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C(图略).
∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,
∴∠APB=15°,
∴∠PAB=∠APB,
∴PB=BA,
∴PC=AB=15,即点C距小岛P只有15海里,而小岛周围18海里内有暗礁,
∴轮船继续向前航行,会有触礁的危险.
方法归纳交流　含30°角的直角
变式训练
解:如图,过点B作BE⊥CD,垂足为E.
∵∠BAC=150°,
∴∠EAB=180°-∠BAC=30°.
在Rt△ABE中,AB=20m,
∴BE=AB=10m,
∴△ABC的面积=AC·BE
=×40×10
=200(m2),
∴200·a=200a(元),
∴购买这种草皮一共需要200a元.

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