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第十四章 全等三角形 复习课
复习目标
1.知道全等形及全等三角形的概念及其性质.
2.能通过已知条件或添加辅助线证得两个三角形全等,利用三角形全等的性质证明线段或角相等,利用三角形全等的性质求线段长或角的度数.
3.掌握尺规作图原理,会基本的尺规作图方法.
4.掌握角的平分线的性质、判定及与角的平分线有关的作图.
全等三角形的判定和性质的综合应用,角的平分线的性质和判定的综合应用,添加辅助线.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：全等三角形的性质
例1　已知△ABC≌△DCB,若BC=6,AB=5,AC=4,则CD的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.4或5
变式训练　已知△ABC≌△DEF,BC=6,△ABC的面积为24,则EF边上的高为　　　　.
专题二：三角形全等的判定
例2　如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
变式训练
1.如图,MS⊥PS,MN⊥SN,PQ⊥SN,垂足分别为S,N,Q,且MS=PS.求证:△MNS≌△SQP.
2.如图,在△ABC与△A'B'C'中,边BC与边B'C'上的中线分别为AD与A'D'.若AB=A'B',BC=B'C',AD=A'D'.求证:△ABC≌△A'B'C'.
专题三：利用全等三角形证明线段或角相等
例3　如图,在△ABC和△EDC中,∠B=∠D=90°,AB=DE,EC=AC.
求证:(1)∠BCE=∠DCA.
(2)HA=HE.
专题四：全等三角形的实际应用
例4　(真情境)如图,小华同学用10块高度都是2cm的除颜色外,其余都相同的长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板,点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE.
(1)求证:△ADC≌△CEB.
(2)求两堵木墙之间的距离(DE的长).
专题五：角平分线的性质与判定
例5　如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部且CA=CB,过点C作CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC平分∠MON.
(2)若AO=12,BO=4,求OD的长.
专题六：尺规作图
例6　如图,在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°,CD是△ABC的角平分线.
(1)尺规作图:过点D作DE∥BC,交AC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求∠EDC的度数.
变式训练　如图,在△ABC中,AB>AC.
(1)尺规作图:作∠A的平分线交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连接DE.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:∠C>∠B.
专题七：与全等三角形有关的创新问题
例7　(新趋势)综合与实践
问题提出
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作“偏等积三角形”,如图1,在△ABC中,AC=7,BC=9,AB=10,P为AC上一点,当AP的长为　　　　时,△ABP与△CBP是“偏等积三角形”.
问题探究
(2)如图2,△ABD与△ACD是“偏等积三角形”,AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,求AD的长.
问题解决
(3)如图3,在四边形ABED中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°(0°<∠BCE<90°),则△ACD与△BCE是“偏等积三角形”吗 请判断并说明理由.
变式训练　如图1,四边形ABCD是正方形,点M,N分别在边CD,BC上,且∠MAN=45°,我们把这种模型称为“半角模型”.在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法,将△ADM绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE,连接MN.
(1)试判断DM,BN,MN之间的数量关系,并写出证明过程.
(2)如图1,若正方形的边长为4,求△CMN的周长.
(3)如图2,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD的延长线上,∠MAN=45°,连接MN,请写出MN,DM,BN之间的数量关系,并说明理由.
参考答案
【专题复习】
专题一
例1
B
变式训练
8
专题二
例2
证明:∵C是BD的中点,
∴BC=DC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
变式训练
1.证明:∵MS⊥PS,MN⊥SN,PQ⊥SN,
∴∠MSP=∠N=∠PQS=90°,
∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ=90°,
∴∠M=∠PSQ.
在△MNS和△SQP中,
∴△MNS≌△SQP(AAS).
2.证明:∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的中线,BC=B'C',
∴BD=BC,B'D'=B'C',
∴BD=B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS),
∴∠B=∠B'.
在△ABC和△A'B'C'中,
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
专题三
例3
证明:(1)在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(HL),
∴∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE,
∴∠BCE=∠DCA.
(2)∵Rt△ABC≌Rt△EDC,
∴BC=DC,∠A=∠E.
在△BCF和△DCG中,
∴△BCF≌△DCG(ASA),
∴CF=CG.
∵AC=EC,∴EF=AG.
在△EFH和△AGH中,
∴△EFH≌△AGH(AAS),
∴HA=HE.
专题四
例4
解:(1)证明:∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠ECB=90°.
又∵∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠ECB=∠DAC.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)由题意得AD=2×3=6(cm),BE=7×2=14(cm),
由(1)得△ADC≌△CEB,
∴EC=AD=6 cm,DC=BE=14 cm,
∴DE=DC+CE=20(cm).
答:两堵木墙之间的距离为20cm.
专题五
例5
解:(1)证明:∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDA=∠CEB=90°.
在Rt△CDA和Rt△CEB中,
∴Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),
∴CD=CE,
∴点C在∠MON的平分线上,
∴OC平分∠MON.
(2)设OD=x.
∵OA=12,
∴AD=OA-OD=12-x,
∴AD=BE=12-x.
在Rt△OCD和Rt△OCE中,
∴Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),
∴OD=OE=x,
∴BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12.
∵BO=4,
∴2x-12=4,
解得x=8,∴OD=8.
专题六
例6
解:(1)(作法不唯一)如图,DE即所求.
(2)∵∠A=62°,∠B=74°,
∴∠ACB=180°-62°-74°=44°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACB=22°.
∵DE∥CB,∴∠EDC=∠BCD=22°.
变式训练
解:(1)如图,射线AD,DE即所求.
(2)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△EAD和△CAD中,
,
∴△EAD≌△CAD(SAS),
∴∠AED=∠C.
∵∠AED=∠B+∠BDE,
∴∠AED>∠B,∴∠C>∠B.
专题七
例7
解:(1).
(2)∵△ABD与△ACD是“偏等积三角形”,且△ABD与△ACD在BD,CD边上的高相等,
∴BD=CD.
∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD.
在△ECD和△ABD中,
,
∴△ECD≌△ABD(AAS),
∴ED=AD,EC=AB=2.
在△ACE中,AC-EC∴6-2<2AD<6+2,
∴2∵线段AD的长度为正整数,
∴AD=3.
(3)△ACD与△BCE是“偏等积三角形”.
理由:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠BCE=180°.
∵0°<∠BCE<90°,
∴∠ACD>90°,
∴∠ACD≠∠BCE.
∵CA=CB,CD=CE,
∴△ACD与△BCE不全等.
如图,过点B作BF⊥CE于点F,过点A作AG⊥DC交DC的延长线于点G,则∠G=∠BFC=90°.
∵∠ECG=180°-∠DCE=90°,
∴∠ACG=∠BCF=90°-∠BCG.
在△ACG和△BCF中,
,
∴△ACG≌△BCF(AAS),
∴AG=BF,
∴CD·AG=CE·BF,
∴△ACD与△BCE面积相等,
∴△ACD与△BCE是“偏等积三角形”.
变式训练
解:(1)MN=DM+BN.
证明:∵△ABE是△ADM绕点A顺时针旋转90°得到的,
∴DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE.
∵∠MAN=45°,∴∠BAN+∠MAD=45°,
∴∠BAE+∠BAN=45°,
∴∠EAN=∠MAN.
在△AEN和△AMN中,
,
∴△AEN≌△AMN(SAS),
∴EN=MN.
∵EN=EB+BN,
∴MN=DM+BN.
(2)由(1)得MN=DM+BN,
∴C△CMN=MN+CM+CN=CM+DM+CN+BN=BC+CD.
∵正方形的边长为4,
∴C△CMN=BC+CD=4+4=8.
(3)BN=DM+MN.
理由:如图,在BC上截取BE=MD,连接AE.
在△ABE和△ADM中,
,
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴AE=AM,∠BAE=∠MAD,
∴∠MAE=∠BAD=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.
在△EAN和△MAN中,
,
∴△EAN≌△MAN(SAS),
∴EN=MN.
∵BN=BE+EN,∴BN=DM+MN.

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