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第十五章 轴对称 复习课
复习目标
1.能复述轴对称图形、轴对称的概念及性质.
2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形,能指出对称轴.
3.能用尺规作出线段的垂直平分线,能利用垂直平分线的性质解决问题.
4.能复述等腰(等边)三角形的性质和判定,并能熟练应用,解决问题.
轴对称的性质、等腰(等边)三角形的性质和判定.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：轴对称图形(图案)的识别
例1　(跨学科)下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
变式训练　下列图形既是轴对称图形,又是正方体的平面展开图的是 ( )
A.　　B.　　C.　　D.
专题二：画轴对称的图形
例2　(真情境)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示.若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内.若点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为 ( )
A.(6,2)
B.(-6,-2)
C.(2,6)
D.(2,-6)
变式训练　如图,在平面直角坐标系中,A(-1,5),B(-3,0),C(-4,3).△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1(点A,B,C的对应点为点A1,B1,C1).
(1)在图中作出△A1B1C1.
(2)写出点C1的坐标.
(3)求△A1B1C1的面积.
【方法归纳交流】作一个图形关于某直线对称的图形的步骤:(1)确定原图形的关键点;(2)画出关键点关于直线的 ;(3)连接作出的 ,所得图形即所求作图形.
专题三：线段垂直平分线的性质与判定
例3　如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若△ADE的周长为15,AC=7,则AB的长为 ( )
A.4 B.8 C.9 D.10
变式训练　如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,∠CBD=∠A+15°,BC=8,AC=15,求△BCD的周长和∠ABC的度数.
专题四：等腰三角形的性质与判定
例4　如图,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.求证:DE=BF.
变式训练　如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC上一点,且∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数.
(2)求证:△ACD是等腰三角形.
【方法归纳交流】等腰三角形的性质和判定是用来证明 、 的重要工具,但要注意等边对等角和等角对等边都是对同一个三角形而言的.
专题五：等边三角形的性质与判定
例5　如图,这是风筝的结构示意图,D是等边△ABC的外部一点,且AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E.
(1)求证:△CEF是等边三角形.
(2)若BC=10,CF=4,求DE的长.
变式训练　如图1,△ABC为等边三角形,D为BC的中点,连接AD,AE平分∠DAC,交BC于点E,点F在△ABC外,连接 FE,BF,AF,且BF∥AC,∠AFB=∠AEC.
(1)求∠FAE的度数.
(2)如图2,G是AC上一点,连接EG,GF,GF与AE交于点K. 若AK=EK,求证:CG=2CE.
专题六：动点问题
例6　(新趋势)综合与实践
问题情境:
如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,D为直线BC上的动点(不与点B,C重合),点E在射线AC上,且AE=AD,设∠DAC=n.
(1)如图1,若点D在BC边上,且n=36°,求∠BAD和∠CDE的度数.
拓广探索:
(2)如图2,当点D在点B的左侧时,其他条件不变,试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系,并说明理由.
(3)当点D在点C的右侧时,其他条件不变,请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系.
参考答案
【专题复习】
专题一
例1　
B
变式训练
C
专题二
例2　
A
变式训练
解:(1)如图,△A1B1C1即所求.
(2)点C1的坐标为(4,3).
(3)△A1B1C1的面积=3×5-×3×1-×3×2-×5×2=.
方法归纳交流　对称点　对称点
专题三
例3　
B
变式训练
解:∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,∴∠A=∠ABD.
∵∠CBD=∠A+15°,
∠C=90°,
∴∠A+∠A+∠A+15°=90°,
∴∠A=25°,
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠A+15°=65°.
∵AD=BD,∴CD+DB=AC=15,
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=8+15=23.
专题四
例4
证明:∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,
∴∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE.
∵∠A=∠CBE,
∴∠A=∠ECB,∠ADC=∠CEB,
∴AD∥CE,∴∠ADC=∠DCE,
∴∠DCE=∠CEB.
又∵EF=AD=CD,CE=BE,
∴△DCE≌△FEB(SAS),
∴DE=BF.
变式训练
解:(1)∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.
∵∠DAB=45°,
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)证明:∵∠DAC=75°,∠C=30°,
∴∠ADC=180°-∠C-∠DAC=75°,
∴∠DAC=∠ADC,
∴AC=CD,
∴△ACD是等腰三角形.
方法交流归纳　角相等　边相等
专题五
例5
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,即∠FCE=60°.
∵DE∥AB,
∴∠FEC=∠ABC=60°,
∴△CEF是等边三角形.
(2)∵△CEF是等边三角形,
∴CE=CF=4,
∴BE=BC-CE=10-4=6.
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD,
∴DE=BE=6,
∴DE的长为6.
变式训练
解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=∠BAC=60°,AB=AC.
∵BF∥AC,
∴∠ABF=∠BAC=60°,
∴∠ABF=∠C=60°.
在△ABF和△ACE中,
∴△ABF≌△ACE(AAS),
∴∠BAF=∠CAE,
∴∠FAE=∠BAF+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠CAB=60°.
(2)证明:由(1)可知,AF=AE,∠FAE=60°,
∴△AFE为等边三角形,
∴∠AFE=60°,AF=EF.
∵AK=EK,
∴∠AFG=∠EFG=30°,FK⊥AE.
在△AFG和△EFG中,
,
∴△AFG≌△EFG(SAS),
∴∠AGF=∠EGF.
∵△ABC为等边三角形,D为BC的中点,
∴∠DAC=∠BAC=30°.
∵AE平分∠DAC,
∴∠CAE=∠DAC=15°.
∵FK⊥AE,
∴∠AGF=90°-∠CAE=90°-15°=75°,
∴∠AGF=∠EGF=75°,
∴∠CGE=180°-(∠AGF+∠EGF)=30°.
又∵∠C=60°,
∴∠CEG=180°-∠C-∠CGE=90°.
在Rt△CEG中,∠CGE=30°,
∴CG=2CE.
专题六
例6
解:(1)∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-36°=64°.
在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°.
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED.
∵∠DAC=36°,
∴∠ADE=∠AED=72°,
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=104°-72°=32°.
(2)∠BAD=2∠CDE.
理由:在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=40°.
在△ADE中,设∠DAC=n,
∴∠ADE=∠E=.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=40°-=.
∵∠BAC=100°,∠DAC=n,
∴∠BAD=n-100°,
∴∠BAD=2∠CDE.
(3)∠BAD=2∠CDE.
提示:在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ACD=140°.
在△ADE中,∠DAC=n,
∴∠ADE=∠AED=.
∵∠ACD=∠CDE+∠AED,
∴∠CDE=∠ACD-∠AED=140°-=.
∵∠BAC=100°,∠DAC=n,
∴∠BAD=100°+n,
∴∠BAD=2∠CDE.

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