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第十五章轴对称培优提升训练人教版2025—2026学年八年级上册
一、选择题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是（　　）
A．∠ACB＝∠DFB
B．线段AD，BE，CF被直线l垂直平分
C．△AGC≌△DGF
D．AB∥DF
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．70° B．75°
C．105° D．35°
4．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．如果D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　）
B．5
C． D．6
6．如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（　　）
A．β﹣α＝30° B．β+α＝210° C．β﹣2α＝30° D．β+α＝200°
7．如图，△ABC和△ECD是一副三角板，∠A＝30°，∠E＝45°，CD与AB交于点F，DE与BC交于点G，FC＝FA，则∠CGD的度数是（　　）
A．80° B．75° C．65° D．60°
8．如图，直线a∥b，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若∠CBD＝20°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题
9．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，DA交AB于点P，若A′D∥BC且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为　 　 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ．
11．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC．若∠D＝120°，则∠B＝ 　 　 °．
12．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 　 　 ．
13．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 　 　 ．
三、解答题
14．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
15．如图，将面积为8的正方形ABCD和面积为2的正方形CEGF拼在一起，点E在BC边的延长线上，点G在CD边上，连接BD，BF，DF．
（1）求BE的长．
（2）求△BDF的面积．
（3）在直线GF是否存在点P，使PB+PC最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上．
（1）请直接写出点B关于y轴对称的点B1的坐标：　 　 ．
（2）△ABC的面积为　 　 ．（直接写出结果）
（3）若P为x轴上的一点，当PA+PC最小时，此时点P的坐标是　 　 ．
17．如图，已知点O是∠APB内的一点，M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN与PA，PB分别相交于点E、F，已知MN＝10．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，若∠MPN＝76°，求∠APB的度数．
18．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E．
（1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数．
（2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度．
①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ．
②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值．
19．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
20．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证△AEG为等腰三角形；
（2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：轴对称图形的定义可知：
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．【解答】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，
∴∠ACB＝∠DFB，故选项A说法正确，不符合题意；
线段AD，BE，CF被直线l垂直平分，故选项B说法正确，不符合题意；
△AGC≌△DG（SSS），故选项C说法正确，不符合题意；
AB与DF不一定平行，故选项C说法错误，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：由折叠可知，
∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE．
∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°，
∴∠ADE，∠AED．
又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
∴∠A＝180°，
则∠1+∠2＝2∠A＝70°．
故选：A．
4．【解答】故选：D．
5．【解答】解：延长AC到点F，使得AC＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴直线BC是线段AF的垂直平分线，
连接DF，BF，
∴AD＝DF，AB＝BF，
∴AD+DE就变成了DF+DE，
根据DF+DE的最小值就是△ABF的高可得：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴AF＝2AC＝6，，
∴，
∴6×4＝5FG，
∴．
故选：A．
6．【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．
故选：D．
7．【解答】解：∵△ABC和△ECD是一副三角板，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵FC＝FA，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∴∠BCF＝90°﹣∠DCA＝60°，∠ECG＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴∠CGD＝∠E+∠ECG＝75°，
故选：B．
8．【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CBD＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝70°．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：由图形折叠的性质可知，，
∵A′D∥BC，
∴∠ADP＝∠C，
∵∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，
∴，
∴∠DEP＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
10．【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， AC BC AB CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
11．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠D＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠B＝∠C＝60°，
故答案为：60．
12．【解答】解：作点A关于CD的对称点A'，关于BC的对称点A''，连接A'A''交CD于N'，交BC于M'，
此时△AM'N''周长最小，
∵∠DAB＝130°，
∴∠A'+∠A''＝50°，
∴∠A'AN'+∠M'AA''＝50°，
∴∠M'AN'＝∠DAB﹣（∠DAN'+∠BAM'）＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
13．【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4．
因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：
①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，
因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；
②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，
此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10．
故答案为：10．
三、解答题
14．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面积为．
15．【解答】解：（1）∵面积为8的正方形ABCD和面积为2的正方形CEGF拼在一起，点E在BC边的延长线上，
∴BC2＝8，CG2＝2，
解得：BC＝2，CG，
∴BC＝CD＝2，CG＝CE＝EF，
∴BE＝BC+EC3；
（2）∵S△BCDBC CD224，S梯形DCEF（EF+CD） CE3，S△BEFBE EF33，
∴S△BDF＝S△BCD+S梯形DCEF﹣S△BEF＝4+3﹣3＝4．
（3）在直线GF存在点P，使PB+PC最小；当B、P1、D三点共线时，PB+PC最小，且最小值为4．理由如下：
∵CD＝2，CG，CD⊥GF，
∴GD＝GC，
∴直线FG是CD的垂直平分线，
如图：连接PB、PC，延长FG交BD于P1，
∴PD＝PC，
∴PB+PC＝PB+PD≥BD，
∴当B、P1、D三点共线时，PB+PC最小，且最小值为BD4．
16．【解答】解：（1）点B关于y轴对称的点B1的坐标为（﹣3，3）；理由如下：
根据对称的性质，点B关于y轴对称的点B1的坐标为（﹣3，3），
故答案为：（3，3）；
（2）△ABC的面积为；理由如下：
△ABC的面积为：，
故答案为：；
（3）如图，点C关于x轴对称的点C′，连接AC′交x轴于点P，点P即为所求；
由对称的性质得：PC＝PC′，则PA+PC的最小值为AC′，
∴根据网格的特点得：P（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
17．【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴EM＝EO，FN＝FO，
∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．
又∵MN＝10cm，
∴C△OEF＝10cm．
（2）连接OP，
∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，
∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝76°，
∴∠APB＝38°．
18．【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC，
∴∠AMN+∠MNB＝180°，
又∵∠AMN＝110°，
∴∠MNB＝70°，
由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°，
∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ，
在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE，
∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°，
∴∠GMD＝∠ENQ，
设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度，
在△NEQ中，2x+y＝180°，
∴y＝180°﹣2x，
故答案为：y＝180°﹣2x；
②由①知，∠GMD＝∠ENQ，
∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB，
由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°，
∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°，
∴∠GMD＝36°，
即x＝36°，
由①知，y＝180°﹣2x
∴y＝180°﹣2×36°＝108°．
19．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
20．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABD和△CDG都是直角三角形，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠GCD，
∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，
∴AE＝GE，
∴△AEG为等腰三角形；
（2）解：如图，作EF⊥BC，垂足为点F，
∴EF∥AD，
∵G为CE中点，GD＝5，
∴EF＝2GD＝10，
∵BE＝CE，AE＝EG＝CG，
∴，即，
∴AD＝15，
∴AG＝AD﹣DG＝15﹣5＝10．
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