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参考答案及评分标准
1.C2.C3.D4.A5.A6.D7.B8.B
9.AD 10.BD 11.ACD
12.2
13.14.℉，+o)
15.解：(1)由正弦定理得3bsnC
3bc
sinB+simc-sinAb+c-a'
依题意a+b+c=3bc
b+c-a'
(2分)
即(a+b+c)(b+c-a)=3bc,化简得b2+c2-a2=bc,(4分)
由余弦定理得c0sA==克：AE(0,,“A=号
(7分)
2bc
(2):a=V,·bc=b2+c2-3≥2bc-3,
解得bc≤3，当且仅当b=c时取等，(10分)
因此，△ABC面积SAARC=be sin A≤×3×号=，
21
4
综上，当b=c时，△ABC面积取最大值33.(13分)
16.解：(1)零假设Ho:愿意参与数学建模竞赛与性别无关
X2=100x30x25-20x252≈1.010<3.841(4分)
50×50×55×45
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们没有充分的证据推断Ho不成立，即认为愿意参与数学建模竞赛
的意愿与性别无关.(6分)
(2)根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为因此选出11人中，男生人数为
11×号=6人，女生人数为11×品=5人，(8分)
由题意可知：X的取值集合为01,23引.PX=0)=器=品=意P0K=1)=祭=品=益
PK=2)=警=高=品PK=3)=景=器=言（2分)
所以这3人中男生人数X的概率分布列为：
X
0
1
3
2
4
4
33
11
11
33
E0X)=品×0+音×1+品×2+若×3=是。(15分)
11
17.解：（1)在△SBC中，BC=1,5B=V3,∠SCB=60,所以co60°=C3=解得SC=2,所
2SC
数学答案第1页共4页
以SB2+BC2=SC2,所以SB⊥BC,(2分)
又BC⊥AB,AB,SB为平面SAB内两条相交直线，所以BC⊥平面SAB.(4分)
(2)由(1)知，BC⊥平面SAB,因为AD/BC,所以AD⊥平面SAB,所以AD⊥SA,(6分)
在三角形SCD中，SC=2,CD=2,∠SCD=60°，所以SD=2,
又AD=1,所以SA=V4-1=V3,(8分)
(3)取AB的中点O,SA=SB=V3,可知S0⊥AB,因为平面ABCD⊥平面SAB,交线为AB,SO又在平
面SAB内，所以S01平面ABCD,又y=V2,所以×}×2×V2=×V2×NS,所以NS=1,(9分)
如图建立空间直角坐标系，易得
A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(-1,1,0),S(0,0,V2).N(0,-1,V2)
所以SN=(0,-1,0),SC=(1,1,-V2),AB=(2,0,0),AN=(1,-1,V2),
设平面5wC前法向提为=cy则得8所收+yy0
(坑.sN=0
令z=1,得元=(2,0,1)，(11分)
设平面ABN的法向量京=(ab,6,则何：西0所以a-42=0令c=1,则m=Q,2,1)
2a=0
元.AN=0
(13分)
设平面SNc与平面ABN所成夹角为0，所以0s0=哥调=高5=专
1
(15分)
18.解：（1)函数f(的定义域为0，+m,f)=+2x=t2
①当a≥0时，f(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增，(2分)
②当a<0时，令f()=0,解得x=受当0递减：当x>时，f()>0,所以f)在(+∞)上单调递增.(4分)
综上，当a之0时，函数f()在(0，+0)上单调递增：当a<0时，函数f()在(0，)上单调递减，在
(+上单调递增：(6分)
(2)证明：当a=1时，f(x)=lnx+x2,
若证明f(x)≤x2+x-1,只需证nx≤x-1,即证lnx-x+1≤0，
设g6)=x-x+1,则gG)=号，令g()=0得，x=1.
当x∈(0,1)时，g'(x)>0,当x∈(1，+o)时，g'(x)<0,所以x=1为极大值点，也为最大值点.所以
g(x)≤g(1)=0,即nx-x+1≤0.故f(x)≤x2+x-1;(11分)
数学答案第2页共4页鞍山市普通高中2025一2026学年度高三第一次质量监测
8.已知aeR,cosx+3sina=W5,则tan2a=
数学
B.3
C波2
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
考试时间：120分钟满分：150分
是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a=3,au1=Sn,则下列选项正确的是
项是符合题目要求的
A.a2=3
B.数列{an}是等比数列
1.已知集合A={xk>2},，B={xh2-4x+3≤0，则AUB=
C.Sn=3(2”-1
D.数列Sn}是等比数列
A.[13]
B.(23]
c.[l,+∞)
D.(2,+∞)
10.已知函数f()=sin(ox+p)o>0,l间<
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
2.已知函数x)的图象在点P3,f3)处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f'(3)=
A.2
B.-2
C.3
D.-3
A.函数y=f(y)的图象可由y=sin2x图象向左平移个单位得到
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,2),若a⊥b,则a-的值为
B.直线x=-1匹是函数y=f)图象的一条对称轴
12
A.10
B.35
C.35
D.10
C.函数y=f(x)的单调递增区间为kπ
5π
7π
,kπ+
,k∈Z
12
12
4.“a>b+1”是“2°>2”的
10m
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.直线y=与函数y=f()在0，
2
3
上的图象恰有7个交点
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知函数f(x)与g(x)的定义域都为R,f'(x)是f(x)的导函数，若
5.若直线4：(a-2)x+y+1=0与直线2：2x-(a+1)y-2=0互相平行，则实数a的值为
A.0
B.1
C.0或1
D.0或-1
f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,”(x+1)+f'(-x+3)=0,8(2)=1,则下列说
6.已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a的等差中项，若a2=2,则该数列的前5
法正确的是
A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(3，-1)对称
项和为
A.10
B.15
C.30
D.31
C.4为f(x)的一个周期
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=4050
7.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，
数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图
12.若m为实数，且复数(m2-3m+2+(m2+m-2i为纯虚数，则m的值为
为一个阳马与一个鳖需的组合体，已知PA1平面ABCE,四边形
13.已知离散型随机变量X~B(m,p),且E(X)=2,D(X)=q,则2+上的最小值为
P q
ABCD为正方形，AD=2√5，ED=1,若鳖孺P-ADE的体积为2，
则阳马P-ABCD外接球的表面积为
A.144π
B.36π
C.24π
D.18元
数学第2页（共4页）
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