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石家庄市第一中学2025-2026学年高二第一学期开学考试
数学答案
1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B
9.AB 10.ABC 11.BC
12．
13．（形式不唯一，只要符合：，其中即可）
14．
15．解：设，，
直线的方程为：，化为：，
点到直线的距离，
，
解得或．
或．
16．（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
17．（1）证明：连接，与相交于点，连接，如下图：
因为四边形为矩形，故为的中点.
又因为为的中点，故，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
由于平面，故平面，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，得，故，
又因为
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
19．（1）证明：
连接，设，连接，
有平面，由题意得，
连接，，设，则，故在上，
过作为垂足，
在中，，
故，因为，所以，
故，所以，
所以，
又
平面，平面，，
故平面，因为平面，所以.
又平面平面，故平面.
（2）
以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得
，
由（1）得平面，故平面的一个法向量为，
其中，
设平面的一个法向量为，
则，
令可得，
设为二面角的平面角，则，
由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
2．已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设,向量且,则
A．
B．
C．4
D．3
5．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
7．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论错误的是（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则斜率；
B．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为；
C．直线与轴的交点到原点的距离为；
D．斜截式方程不能表示平面内的所有直线．
11．已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________．
13．写出一个过点，的圆的标准方程 ．
14．若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知，在y轴上求点C，使得的面积为12．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，.
(1)求证：；
(2)求的长.
17．如图，在正三棱柱中，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
19．如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
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