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2025年“数学花园探秘”科普活动
初中年级组决赛试卷C
一.填空题I(每小题8分，共32分)
上第试m2+管7}片后+引的计*结深是
20243+1
2.在平面直角坐标系中，满足|x-2025引+|y-2025=1的点(x,y)围成的图形面积为
3.把连续自然数1,2,3，…写成一个多位数1234567891011…，当写到n时这个数第一次
能被225整除，则n的值为■
4.已知三个连续正整数的乘积是比它们和的191倍多48，
则这三个数中最小的一个为
二.填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）
5.从1,2，…，100中取出五个不同的数组成递增的等差数列，则不同的取法共有
种
6.如图，正方形ABCD中，BE:EC=1:3,且∠EAF=45°，
设S.o与SEcD的面积之比为m(其中m,n均为正整数且(m,n）=1),
则m+n=
7.将2025表示成几乎相等的正整数之和，不考虑加数的次序，共有
种表示方法(“几乎
相等”指任意两个加数相差不大于1).
8.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数时按下这个按键，会等可能地将其
替换为0~-1中的任意一个数.若初始时显示2025，反复按这个按键使得最终显示0，
此过程中，设9、99都出现的概率是”（其中m,n均为正整数且(m,n）=1),
1
则m+n=
三.填空题Ⅲ（每小题14分，共42分）
9.在平面直角坐标系xOy中，给定直线1及1上一点Q,对于点P,记点P关于1的对称点为P',将
线段P'Q绕点P'逆时针旋转90°得到线段P'K,如果线段P'K与直线I有交点，则称点K是点P
关于直线/和点Q的“双垂点”.已知某点P在以M(0,7)为圆心、1为半径的圆M上，直线1：y=x+2,
若直线1上存在点K是点P关于直线I和I上某点(a,b)的“双垂点”，则a的最大值与最小值之和
为
10.设a,B,y是方程x-3x+1=0的三个不等实根，那么(a2-B2)(B2-y2(y2-a2的
值为
11.如图，圆O的内接△ABC中，∠CAB=60°，O在AB上，P、Q为圆O上两点，
连结CP、CQ分别交AB于D、E,若∠ABQ=2∠BAP,CD=30,CE=25,
则DE=
D
0
四.解答题（每小题18分，共36分）
12.已知开口向下的抛物线∫(x)=ax2+6x+1(a<0),对于给定的a,有一个最大的正数1(a),
使得在这个区间[0,1(a]上，不等式f(xs2都成立.
(1)当a=-8时，求1(a)的值：
(2)当a=-24时，求1(a)的值
(3)对于任意的a<0,求1(a)的表达式2025年“数学花园探秘”科普活动
初中年级组决赛试卷C
一.填空题I(每小题8分，共32分)
1算式m04+(+(+的计结果是
20243+1
〖答案〗2070
【解析】原式=√2024+1+2025=45+2025=2070，
2.在平面直角坐标系中，满足|x-20251+|y-2025=1的点(x,y)围成的图形面积为
〖答案〗2
【解析】围成的图形是顶点为(2025,2024)，(2026,2025)，(2025,2026)，(2024,2025)的正方形
3.把连续自然数1,2,3，…写成一个多位数1234567891011…，当写到n时这个数第一次
能被225整除，则n的值为」
〖答案〗125
【解析】225=32.52，所以有251n,91(1+2+…+n),n=0,-1(mod9),n=0(mod25).
.n=0,125(mod225),n最小为125.
4.已知三个连续正整数的乘积是比它们和的191倍多48，
则这三个数中最小的一个为
〖答案〗23
〖解析】设三个正整数分别为x-1,x,x+1,则有(x-1)x(x+1)=191·3x+48,
x3-574x-48=0,(x-24)(x2+24x+2）=0,
x2+24x+2>0,.x=24,x-1=23
注：因式分解有理根x=24,可以由x3≈600x猜测出来。
二.填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）》
5.从1,2，…，100中取出五个不同的数组成递增的等差数列，则不同的取法共有
种。
〖答案】1200
〖解析〗设首项为a、公差为d,由于a+4d≤100，.对给定的d,有a≤100-4d,
故取法总数为2(10-4d)）=2400-4.24:25=1200.
2
6.
如图，正方形ABCD中，BE:EC=1:3,且∠EAF=45°，
设S.c与SEn的面积之比为m(其中m,n均为正整数且(m,n)=1),
则m+n=
〖答案〗75
【解析】不妨设AD=4,将三角形ADF逆时针旋转90°至三角形ABH,
可得HB+BE=DF+BE=EF,设DF=x,则EF=1+x,则有EC2+CF2=EF2
即32+(4-x)2=(1+x)2,解得x=2.4,DF=2.4,CF=1.6;
E长4 C交于M.品咒-}cww
3，
品器贵器品：号最+=8
7.将2025表示成几乎相等的正整数之和，不考虑加数的次序，共有
种表示方法(“几乎
相等”指任意两个加数相差不大于1).
【答案〗2025
〖解析】设2025被表示为了k个几乎相等的数之和，则k=1,2,…,2025,
一旦k确定，则只需计算2025÷k=a…r,然后将后r个a变为a+1即可，
即对每个k,表示方法唯一确定，所以表示方法有2025种
8.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数时按下这个按键，会等可能地将其
替换为0~-1中的任意一个数.若初始时显示2025，反复按这个按键使得最终显示0，
此过程中，设9、99都出现的概率是”（其中m,n均为正整数且(m,n)=1),
则m+n=
〖答案〗1001
【解析】面对一个比n大的数，由于第一次出现不大于n的数时，0，l,2,3,…,n是等概率的，
所以当面对一个比n大的数时，过程中会出现n的概率必为
n+1
因此，过程中出现99的概率为
111
100
出现9的概率为0均出现的概率为10×10100

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