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福建省莆田市莆田第四中学2026届高三上学期返校考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. －1 B. 0 C. D. 1
2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
3. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A. B. C. D.
4. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（　　）
A. 事件A与B相互独立
B. 事件A与C相互独立
C
D.
7. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则平面ABCD
B. 若，则
C. 若，，则平面ABCD
D 若，，则平面ABCD
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期
C. 图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集是______
13. 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
14. 如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
16. 已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
17. 如图,在锥体中，四边形ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，
（1）证明：AD⊥平面DEF；
（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
18. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；
（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；
（3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6635 10.828
19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
福建省莆田市莆田第四中学2026届高三上学期返校考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则；
（2）X的可能取值为400、500、800；
，，，则X的分布列为
X
400
500
800
P
【16题答案】
【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.
【17题答案】
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
【18题答案】
【答案】（1），
（2）分布列见解析，
（3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）① 证明见解析；②

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